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Lista de Exerc´ıcios de C´alculo IV - Transformada de Laplace
- Calcule L{f (t)}.
(a) f (t) =
t, 0 ≤ t < 1 1 , t ≥ 1
(b) f (t) =
sent, 0 ≤ t < π 0 , t ≥ π
- Calcule a transformada de Laplace para as fun¸c˜oes abaixo:
(a) f (t) = 2t^4
(b) f (t) = 4t − 10
(c) f (t) = t^2 + 6t − 3
(d) f (t) = (t + 1)^3
(e) f (t) = (1 + e^2 t)^2
(f) f (t) = sen^2 t
- Dada uma fun¸c˜ao f (t) definida para todo t ≥ 0, mostre que para s > a,
L{eat^ f (t)} =
0
e−(s−a)t^ f (t) = F (s − a)
ou seja, ao multiplicarmos uma fun¸c˜ao pela fun¸c˜ao exponencial f (t) = eat, o efeito ´e um deslocamento na sua transformada de Laplace.
- A partir do resultado do exerc´ıcio anterior, calcule a transformada de Laplace das fun¸c˜oes:
(a) f (t) = eat^ senbt (b) f (t) = eat^ cos bt
(c) f (t) = eat^ senhbt
(d) f (t) = eat^ cosh bt
(e) f (t) = eat^ tn
- Calcule a transformada de Laplace para as fun¸c˜oes abaixo:
(a) f (t) = te^10 t
(b) f (t) = t^3 e−^2 t
(c) f (t) = e^5 t^ senh2t
(d) f (t) = t((et^ + e^2 t)^2 )
- Determine a transformada inversa de Laplace.
(a) F (s) =
s^3
s^5 (b) F (s) =
(s + 1)^3 s^4 (c) F (s) =
s^2 + 49 (d) F (s) = 2 s − 6 s^2 + 9 (e) F (s) = s s^2 + 2s − 3
(f) F (s) = s (s − 2)(s − 3)(s − 6) (g) F (s) = s (s^2 + 4)(s + 2)
(h) F (s) =
s^2 − 6 s + 10 (i) F (s) = s s^2 + 4s + 5 (j) F (s) = 2 s − 1 s^2 (s + 1)^3
- Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
(a) y′′^ − y′^ − 6 y = 0, y(0) = 1, y′(0) = − 1
(b) y′′^ − 2 y′^ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0
(c) y(4)^ −y = 0 y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 1 , y′′′(0) = 0
(d) y′′^ − 2 y′^ +2y = cos t, y(0) = 1, y′(0) = 0
- As transformadas de Laplace de certas fun¸c˜oes podem ser encontradas de modo conveniente pelas suas expans˜oes em s´eries de Taylor. Use a s´erie de Taylor para sent,
sent =
∑^ ∞
n=
(−1)nt^2 n+ (2n + 1)!
e supondo que a transformada de Laplace dessa s´erie possa ser determinada termo a termo, verifique que L{sent} =
s^2 + 1 , s > 1
- Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao dada no intervalo t ≥ 0.
(a) u 1 (t) + 2u 3 (t) − 6 u 4 (t) (b) (t − 3)u 2 (t) − (t − 2)u 3 (t) (c) f (t − 2)u 2 (t), onde f (t) = cos t
- Encontre a transformada de Laplace da fun¸c˜ao dada.
(a) f (t) =
0 , t < 2 (t − 2)^2 , t ≥ 2
(b) f (t) =
0 , t < π t − π, π ≤ t < 2 π 0 , t ≥ 2 π
(c) f (t) = u 1 (t) + 2u 3 (t) − 6 u 4 (t)
(d) f (t) = (t − 3)u 2 (t) − (t − 2)u 3 (t)
(e) f (t) = e^2 −tu 2 (t)
- Use o resultado do exerc´ıcio anterior para encontrar a transformada de Laplace da fun¸c˜ao
dada.
(a) f (t) =
1 , 0 ≤ t < 1 0 , 1 ≤ t < 2
f (t + 2) = f (t)
(b) f (t) =
1 , 0 ≤ t < 1 − 1 , 1 ≤ t < 2
f (t + 2) = f (t)
(c) f (t) = t, 0 ≤ t < 1, f (t + 1) = f (t)
Aplica¸c˜oes `a mecˆanica
- Uma part´ıcula P de massa de 2 gramas se move sobre o eixo x e ´e atra´ıda para a origem
por uma for¸ca numericamente igual a 8x. Se ela est´a inicialmente em repouso em x = 10, encontre sua posi¸c˜ao em qualquer tempo subsequente, supondo:
(a) que nenhuma outra for¸ca atua,
(b) atua uma for¸ca de amortecimento numericamente igual a 8 vezes a velocidade ins- tantˆanea.
Dica item (a): Escolha a dire¸c˜ao positiva para a direita. Quando x > 0, a for¸ca aplicada est´a para a esquerda (isto ´e, negativa) e deve ser dada por − 8 x. Quando x < 0, a for¸ca total est´a para a direita (isto ´e, positiva) e deve ser dada por − 8 x. Portanto, nos dois casos, a for¸ca aplicada ´e − 8 x. Ent˜ao, pela lei de Newton,
(massa)(acelera¸c˜ao) = for¸ca aplicada
2 d^2 x dt^2 = − 8 x
ou d^2 x dt^2
As condi¸c˜oes iniciais s˜ao x(0) = 10, x′(0) = 0.
Use a Transformada de Laplace para encontrar x, fa¸ca um gr´afico do movimento, identifique a amplitude, per´ıodo e a frequˆencia.
Dica item (b): Quando x > 0 e dxdt > 0, P est´a `a direita de 0 movendo-se para a direita. Ent˜ao, a for¸ca de amortecimento est´a para a esquerda (isto ´e, negativa) e deve ser dada por − 8 dx dt. Analogamente, quando x < 0 e dxdt < 0, P est´a a esquerda e movendo-se para a esquerda, logo a for¸ca de amortecimento est´a para a direita (isto ´e, positiva) e deve ser dada por −^8 dtdx. A for¸ca de amortecimento ´e tamb´em −dt^8 dx para os casos x > 0 , dxdt < 0 e x < 0 , dxdt > 0. Ent˜ao,
(massa)(acelera¸c˜ao) = for¸ca aplicada
2 d^2 x dt^2 = − 8 x − 8 dx dt isto ´e,
d^2 x dt^2
dx dt
As condi¸c˜oes iniciais s˜ao x(0) = 10, x′(0) = 0.
Use a Transformada de Laplace para encontrar x, fa¸ca um gr´afico de x em rela¸c˜ao a t. O movimento ´e oscilat´orio.
- Uma part´ıcula de massa m se move ao longo do eixo x e ´e atra´ıda na dire¸c˜ao da origem 0
com uma for¸ca numericamente igual a kx, k > 0. Uma for¸ca de amortecimento dada por βdx dt ,^ β >^ 0, tamb´em atua. Discuta o movimento, tratando todos os casos, supondo que x(0) = x 0 , x′(0) = v 0.
A equa¸c˜ao do movimento ´e d^2 x dt
onde α = β/ 2 m, ω^2 = k/m.
Aplica¸c˜oes a circuitos el´etricos
- Um indutor de 2 henrys, um resistor de 16 ohms e um capacitor de 0, 02 farads s˜ao ligados
em s´erie com uma f.e.m de E volts. Em t = 0, a carga do capacitor e a corrente no circuito s˜ao zero. Encontre a carga e a corrente num tempo t > 0 qualquer se
- A equa¸c˜ao f (t) = g(t) +
∫ (^) t
0
f (x)h(t − x)dx ´e chamada de equa¸c˜ao integral de Volterra para f (t), onde as fun¸c˜oes g(t) e h(t) s˜ao conhecidas. Use a transformada de Laplace para resolver a equa¸c˜ao integral dada.
(a) f (t) +
∫ (^) t
0
(t − x)f (x)dx = 1 (b) f (t) = tet^ +
∫ (^) t
0
xf (t − x)dx
Aplica¸c˜oes a Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais Consideraremos fun¸c˜oes inc´ognitas de duas vari´aveis independentes u(x, t), onde a vari´avel t representa o tempo t ≥ 0. Definimos a transformada de Laplace de u(x, t) em rela¸c˜ao a t como L{u(x, t)} =
0
e−stu(x, t)dt = U (x, s),
onde x ´e tratado como um parˆametro.
Por exemplo a transformada da derivada parcial
L
∂u ∂t
= sU (x, s) − u(x, 0),
de modo similar, L
∂^2 u ∂t^2
= s^2 U (x, s) − su(x, 0) − ut(x, 0),
L
∂^2 u ∂x^2
∂^2 U
∂x^2
- Resolva o problema de valor de contorno
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂t^2 , 0 < x < 1 , t > 0 u(0, t) = 0, u(1, t) = 0
u(x, 0) = 0, ∂u ∂t |t=0= 3senπx + 4sen3πx.
- O deslocamento de uma corda el´astica semi-infinita ´e determinado a partir de
a^2
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂t^2 , x > 0 , t > 0 u(0, t) = f (t), (^) xlim→∞ u(x, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = 0, ∂u ∂t |t=0= 0.
Determine u(x, t)
- Resolva o problema de valor de contorno no problema anterior quando
f (t) =
senπt, 0 ≤ t ≤ 1 0 , t > 1
RESPOSTAS
- (a)
s^2
s^2 e−s
(b) 1 + e−sπ s^2 + 1
- (a)
s^5 (b)
s^2
s (c)
s^3
s^2
s (d)
s^4
s^3
s^2
s (e)
s
s − 2
s − 4 (f)
s(s^2 + 4)
(a) F (s) = b (s − a)^2 + b^2 (b) F (s) = s − a (s − a)^2 + b^2
(c) F (s) = b (s − a)^2 − b^2 (d) F (s) = s − a (s − a)^2 − b^2 (e) F (s) = n (s − a)n+
- (a) F (s) =
(s − 10)^2
(b) F (s) =
(s + 2)^4
(c) F (s) =
(s − 5)^2 − 22
(d) F (s) =
(s − 2)^2
(s − 3)^2
(s − 4)^2
- (a) f (t) = t − 2 t^4
(b) f (t) = 1 + 3t +
t^2 +
t^3
(c) f (t) =
sen7t
(d) f (t) = 2(cos 3t − sen3t)
(e) f (t) =
e−^3 t^ +
et
(f) f (t) =
e^2 t^ − e^3 t^ +
e^6 t
F (s) =
s [1 − e−s^ + ... + e−^2 ns^ − e−(2n+1)s] = 1 − e−(2n+2)s s(1 + e−s) , s > 0
- (a) F (s) =
(s − 10)^2
(b) F (s) =
6 s^2 + 2 (s^2 − 1)^3
(c) F (s) = s(s − 6) (s^2 − 6 s + 18)^2
- F (s) =
s
∑^ ∞
n=
(−1)ne−ns^ =
1 /s 1 + e−s^ , s > 0
F (s) = 1 − (s + 1)e−s s^2 (1 − e−^2 s)
(a) L{f (t)} = 1 − e−s s(1 + e−^2 s) , s > 0
(b) L{f (t)} = e−^2 s^ − e−s s(1 + e−^2 s) , s > 0
(c) L{f (t)} = 1 − (1 + s)e−s s^2 (1 − e−s) , s > 0
- (a) x(t) = 10 cos(2t), per´ıodo 2π, amplitude 10, frequˆencia 1/ 2 π;
(b) x(t) = 10e−^2 t(1 + 2t);
x(t) = x 0 e−αt^ cos[(ω^2 − α^2 )t] =
[
x 0 α + v 0 ω^2 − α^2
]
e−αtsen[(ω^2 − α^2 )t]
- (a) Q(t) = 6 − 6 e−^4 t^ cos(3t) − 8 e−^4 tsen(3t), i(t) = 50e−^4 tsen(3t)
(b) Q(t) = (^7552)
[ 2
3 sen(3t)^ −^ cos(3t) +^ e
− 4 tcos(3t) + 2 3 e
− 4 tsen(3t)],
i(t) = (^7552)
[
2 cos(3t) + 3sen(3t) − 2 e−^4 t^ cos(3t) − 173 e−^4 tsen(3t)
]
- (a) y(t) = 1 − cos t + sent − uπ/ 2 (t)(1 − sent)
(b) y(t) = e−tsent +
uπ(t)[1 + e−(t−π)^ cos t + e−(t−π)sent] −
u 2 π(t)[1 − e−(t−^2 π)^ cos t − e−(t−^2 π)sent
(c) y(t) =
(2sent − sen2t) −
uπ(t)(2sent + sen2t)
(d) y(t) = e−t^ − e−^2 t^ + u 2 (t)[
− e−(t−2)^ +
e−2(t−2)]
- (a) y = u 2 (t)e3(t−2)
(b) y = u 2 π(t)sen(t − 2 π) + sen(t)
(c) y = u 2 π(t)e−2(t−^2 π)sen(t)
- (a) s + 1 s[(s + 1)^2 + 1]
(b) s (s^2 + 1)^2 (c)^
s^5
- (a) f (t) = cos t (^) (b) f (t) = −^1 8
e−t^ +
et^ +
tet^ +
t^2 et
- u(x, t) = 3sen(πx) π sen(πt) + 4 sen(πx) 3 π sen(3πt)
- u(x, t) = f (t − x/a)u(t − x/a)
- u(x, t) =
0 x < a(t − 1) ou x > at sen
[
π
t − xa
)]
, a(t − 1) ≤ x < at
