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Lista de Exerc´ıcios 8
Ondas Eletromagn´eticas
Exerc´ıcios Sugeridos (01/06/2010) A numerac¸ ˜ao corresponde ao Livros Textos A e B.
A24.0 Calcular a freq ¨uˆencia das ondas eletromagn´eticas com os seguintes comprimentos de onda: (a) λ = 1 cm (microondas), (b) λ = 1 μm (infra-vermelho), (c) λ = 580 nm (luz amarela), (d) λ = 100 nm (ultra-violeta), e (e) λ = 1 pm (raio-X).
A24.7 O campo el´etrico de uma onda eletromagn´etica plana se propagando no v´acuo ´e descrito, em unidades SI, pela equac¸ ˜ao: E = 100 sen(1, 00 × 107 x − ωt) ˆy. a) Determinar o comprimento de onda, λ, e a freq ¨uˆencia, f , da onda. b) Determinar o campo magn´etico da onda. c) Determinar o vetor de Poynting, S.
A24.17 Uma estac¸ ˜ao de r´adio AM transmite isotropicamente com uma potˆencia m´edia de 4 ,00 kW. Uma antena de dipolo de 65 cm de comprimento est´a a 2 ,4 km do transmissor. Calcule a amplitude da fem deste sinal entre as extremidades da antena receptora.
A24.19 Uma certa comunidade pretende construir uma instalac¸ ˜ao para converter radiac¸ ˜ao solar em energia el´etrica. A potˆencia necess´aria ´e 1 MW, e o sistema a ser montado tem uma eficiˆencia de 30%. Qual deve ser a ´area efetiva da instalac¸ ˜ao, com uma superf´ıcie perfeitamente absorvedora, supondo-se que o fluxo de energia solar seja constante e igual a 1 kW/m^2?
A24.25 Numa certa regi˜ao a intensidade de uma onda de r´adio ´e de 25 W/m^2. Uma superf´ıcie plana de ´area A, perfeitamente absorvedora, se encontra perpendicular `a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao da onda. Calcular a press˜ao de radiac¸ ˜ao sobre a superf´ıcie.
A24.27 Um laser de h´elio-ne ˆonio (λ = 623,8 nm) emite 15 W de potˆencia num feixe com sec¸ ˜ao reta circular de 2 mm de diˆametro. a) Achar o valor m´aximo do campo el´etrico do feixe. b) Calcular a energia contida em 1 m de comprimento do feixe. c) Calcular o momento linear transportado por 1 m de comprimento do feixe.
A24.28 Dado que a intensidade da radiac¸ ˜ao solar incidente sobre a atmosfera superior da Terra ´e IS =1340 W/m^2 (constante solar), determine: a) a intensidade da radiac¸ ˜ao solar incidente sobre Marte; b) a potˆencia total incidente sobre Marte; c) a forc¸a de radiac¸ ˜ao atuando sobre o planeta, se ele absorve quase toda a luz. d) Compare esta forc¸a com a atrac¸ ˜ao gravitacional do Sol sobre Marte. Dados: Terra: raio rT =6, 37 × 106 m, massa MT =5, 98 × 1024 kg, raio da ´orbita RT =1, 496 × 1011 m, Marte: raio rM =3, 37 × 106 m, massa MM =6, 42 × 1023 kg, raio da ´orbita RM =2, 28 × 1011 m, massa do Sol MS =1, 991 × 1030 kg, constante gravitacional G=6, 6726 × 10 −^11 Nm^2 /kg^2.
A24.52 Uma antena parab ´olica de 20 m de diˆametro recebe, em incidˆencia normal, o sinal de radio de uma fonte distante. O sinal ´e uma onda senoidal cont´ınua, com amplitude E 0 = 0,2 mV/m. A antena absorve toda a radiac¸ ˜ao incidente sobre o coletor parab ´olico. Calcular: (a) a amplitude do campo magn´etico da onda incidente, (b) a intensidade da radiac¸ ˜ao incidente sobre a antena, (c) a potˆencia recebida pela antena, (d) a forc¸a que as ondas de r´adio exercem sobre a antena.
A24.55 Uma microonda linearmente polarizada, com o comprimento de onda de 1 ,5 cm, propaga-se ao longo do eixo dos z positivos. O vetor de campo el´etrico tem o valor m´aximo de 175 V/m e vibra no plano xy. a) Admita que o campo magn´etico da onda possa ser escrito na forma B = B 0 sen(kz − ωt) e dˆe os valores de B 0 , k e ω. Determine tamb´em o plano em que vibra o vetor de campo magn´etico. b) Calcule o vetor de Poynting dessa onda. c) Qual a press˜ao de radiac¸ ˜ao que essa onda exerceria numa incidˆencia normal sobre uma folha perfeitamente condutora? d) Qual a acelerac¸ ˜ao que seria imprimida a uma folha de 500 g (perfeitamente refletora e na incidˆencia normal) com as dimens ˜oes de 1 m × 0 ,75 m?
A24.57 Um astronauta encalhado no espac¸o a 10 ,0 m de sua espac¸onave e em repouso em relac¸ ˜ao a ela, tem massa, incluindo o equipamento, de 110 kg. Como ele tem uma fonte luminosa de 100 W que forma um feixe dirigido, ele considera usar o feixe como um foguete de f´otons para propel´ı-lo continuamente em direc¸ ˜ao a nave. (a) Calcule quanto tempo ele levaria para chegar a espac ¸onave usando este m´etodo. (b) Suponha que, em vez disso, ele decida arremessar a fonte de luz, cuja massa ´e de 3 ,00 kg, para longe em direc¸ ˜ao oposta a espac¸onave. Se, depois de arremessada, ela se move a 12 m/s em rela¸c˜ao ao astronauta, quanto tempo leva para o astronauta chegara nave?
B32.10 Uma onda eletromagn´etica possui um campo magn´etico dado por B(x,t) =
8 , 25 × 10 −^9 T
ˆ sen
[(
1 , 38 × 104 rad/m
x + ωt
]
(a) Em que direc¸ ˜ao e sentido a onda eletromagn´etica est´a se propagando? (b) Qual ´e a freq ¨uˆencia f da onda? (c) Escreva a equac¸ ˜ao vetorial para E(x,t).
B32.45 Dois refletores quadrados, cada qual com 1 ,50 cm de lado e 4 ,0 g de massa, est˜ao localizados em extremidades opostas de uma haste delgada, extremamente leve, de 1 ,0 m e que pode girar sem atrito e no v´acuo em torno de um eixo perpendicular a ela no seu centro. Esses refletores s˜ao suficientemente pequenos para serem tratados como massas puntiformes em c´alculos de momento de in´ercia. Ambos os refletores s˜ao iluminados em uma face por uma onda de luz senoidal com um campo el´etrico de amplitude 1 ,25 N/C, que incide uniformemente sobre am- bas as superf´ıcies e sempre os atinge perpendicularmente ao plano das suas superf´ıcies. Um refletor ´e coberto com um revestimento perfeitamente absorvedor e o outro com um revesti- mento perfeitamente refletor. Qual ´e a acelerac¸ ˜ao angular desse dispositivo?
B32.47 Um condutor cil´ındrico com sec¸ ˜ao reta circular de raio a e resistividade ρ conduz uma corrente constante I. (a) Determine o m ´odulo, a direc¸ ˜ao e o sentido do vetor E em um ponto imediata- mente abaixo da superf´ıcie do fio situado a uma distˆancia a do eixo central. (b) Determine o m ´odulo, a direc¸ ˜ao e o sentido do vetor B nesse mesmo ponto. (c) Calcule o m ´odulo, a direc¸ ˜ao e o sentido do vetor de Poynting S nesse mesmo ponto. (O sentido de S indica o sentido em que a energia eletromagn´etica flui para o interior ou para o exterior do condutor.) (d) Use o resultado do item (c) para calcular a taxa de escoamento de energia para o interior do volume ocupado por um comprimento ` do condutor. Compare o resultado com a taxa da gerac¸ ˜ao de
P3.1 Numa regi˜ao do espac¸o delimitada pelos planos x = −a/ 2 e x = +a/ 2 , h´a uma distribuic¸ ˜ao volum´etrica de carga ρ(r,t) que varia com o tempo. O campo el´etrico criado por esta distribuic¸ ˜ao de carga, entre os planos, ´e expresso por E(r,t) = E 0 x a sen(ωt) ˆx, onde E 0 e ω s˜ao constantes conhecidas. a) Calcule a densidade volum´etrica de carga, ρ(r,t), entre os planos. b) Sabendo que a densidade de corrente J e a densidade de carga satisfazem a Equac¸ ˜ao da Continuidade ∇·J + ∂ρ∂t = 0, determine J(r,t) entre os planos. (Considere que as cargas s ´o se movem ao longo do eixo x.) c) Determine o campo magn´etico B(r,t) entre os planos.
P3.2 Considere um capacitor de placas paralelas cil´ındricas de raio R e separac¸ ˜ao d R, que est´a inicialmente carregado. Entre os instantes t = 0 e t = t 0 o capacitor ´e descarregado de forma controlada, de maneira que o campo el´etrico na regi˜ao entre as placas (0 ≤ z ≤ d, 0 ≤ ρ ≤ R) ´e:
E(ρ,ϕ,z,t) = E 0 (1 − t/t 0 ) ˆz.
Fora dessa regi˜ao pode-se considerar que o campo el´etrico ´e nulo. Veja a figura.
R
z = d
z = 0
a) Calcule a densidade de corrente de deslocamento Jd(ρ,ϕ,z,t) na regi˜ao 0 ≤ z ≤ d, 0 ≤ ρ < ∞. b) Calcule o campo magn´etico B(ρ,ϕ,z,t) na mesma regi˜ao, 0 ≤ z ≤ d, 0 ≤ ρ < ∞. c) Calcule a energia armazenada no espac¸o entre as placas do capacitor.
P3.3 O campo magn´etico de uma onda eletromagn´etica plana se propagando no v´acuo ´e descrito pela equac¸ ˜ao: B = B 0 x ˆ +
3 ˆz 2
sen
[
2 π
y y 0
t t 0
)]
onde y 0 = 4, 00 × 10 −^10 m, B 0 e t 0 s˜ao constantes. a) Encontre o vetor de onda k e a freq ¨uˆencia f da onda. b) Determine a express˜ao do campo el´etrico E desta onda. c) Calcule a potˆencia m´edia por unidade de ´area que essa onda transporta.
NA5.1 Frentes de ondas eletromagn´eticas planas incidem normalmente sobre a superf´ıcie plana de um vidro com ´ındice de refrac¸ ˜ao nv = 1, 5. a) Determine o valor do coeficiente de reflex˜ao do campo el´etrico, r = Erefletido/Eincidente ; b) Determine o coeficiente de transmiss˜ao de intensidade (transmitˆancia), T = Itransmitido/Iincidente
NA5.2 Uma onda eletromagn´etica, propagando-se no v´acuo, tem campo el´etrico expresso por
E(x,t) = 2E 0 cos (k 0 x − ωt) ˆy + 3E 0 sen (k 0 x − ωt) ˆz e incide normalmente sobre a superf´ıcie plana de um meio material cujo ´ındice de refrac¸ ˜ao ´e nv = 1, 2. A interface v´acuo-meio est´a no plano yz, em x = 0. a) Determine a express˜ao do campo el´etrico refletido; b) Determine a express˜ao do vetor de Poynting transmitido.
