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CÁLCULO II - 16
a LISTA DE EXERCÍCIOS - SOLUÇÕES
Questão 1 Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está
sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto.
(a) z = 4x
2 − y
2
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f (− 1 , 2) = 4(−1)
2 − 2
2
∂z
∂x
= 8x ⇒
∂z
∂x
∂z
∂y
= − 2 y + 2 ⇒
∂z
∂y
Equação do plano tangente: z − 4 = −8(x + 1) − 2(y − 2) ⇒ 8 x + 2y + z = 0
(b) z = y ln x, ponto (e
3 , 2 , 6)
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f (e
3 , 2) = 2 ln(e
3 ) = 6
∂z
∂x
y
x
∂z
∂x
(e
3 , 2) =
e
3
∂z
∂y
= ln x ⇒
∂z
∂y
(e
3 , 2) = 3
Equação do plano tangente: z − 6 =
e
3
(x − e
3 ) + 3(y − 2) ⇒ −
e
3
x − 3 y + z = − 2
(c) z = y cos(x − y), ponto (2, 2 , 2)
RESP.
Verificando que o ponto está na superfície: z = f (2, 2) = 2 cos(2 − 2) = 2
∂z
∂x
= −x sen(x − y) ⇒
∂z
∂x
∂z
∂y
= x sen(x − y) + cos(x − y) ⇒
∂z
∂y
Equação do plano tangente: z − 2 = 0(x − 2) + 1(y − 2) ⇒ −y + z = 0
Obs. Para testar os resultados podemos verificar se os pontos fornecidos realmente são soluções para
as equações dos planos tangentes. É uma conta simples que pode ser feita de cabeça.
Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x
2
2 nos pontos
A = (1, 1 , 3) e B = (− 1 , 2 , −2).
RESP. É sempre recomendável verificar se os pontos fornecidos realmente estão na superfície. Esse
é o caso porque z(1, 1) = 2. 1
2
2 = 3 e z(− 1 , 2) = 2.(−1)
2
2 = − 2. As derivadas parciais
e seus valores em cada ponto são:
z x (x, y) = 4x + y
2 ⇒
z x
z x
z y (x, y) = 2xy ⇒
z y
z y
Portanto o plano tangente á superfície no ponto A = (1, 1 , 3) tem equação
z − 3 = 5(x − 1) + 2(y − 1) ⇒ 5 x + 2y − z = 4
e o plano tangente á superfície no ponto B = (− 1 , 2 , −2) tem equação
z + 2 = 0(x + 1) − 4(y − 2) ⇒ 4 y + z = 6
Questão 3 Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto (0, 0).
(a)
2 x + 3
4 y + 1
≈ 3 + 2x − 12 y
RESP. Precisamos checar se a aproximação fornecida para f (x, y) no ponto (a, b) coincide com
L(x, y) = f (a, b) + f x (a, b)(x − a) + f y (a, b)(y − b). Para a função deste item temos
f (x, y) =
2 x + 3
4 y + 1
⇒ f (0, 0) = 3
f x (x, y) =
4 y + 1
⇒ f x
fy(x, y) = −
4(2x + 3)
(4y + 1)
2
⇒ fy(0, 0) = − 12
⇒ L(x, y) = 3 + 2x − 12 y
(b) y + cos
2 x ≈ 1 + y
RESP.
f (x, y) = y + cos
2 x ⇒ f (0, 0) = 1
f x (x, y) = −2 cos x sen x ⇒ f x
f y (x, y) = 1 ⇒ f y
⇒ L(x, y) = 1 + y
(b) f (x, y) = e
−xy cos y, ponto (π, 0)
RESP. As derivadas parciais são fx(x, y) = −y e
−xy cos y e fy(x, y) = −e
−xy (x cos y + sen y). São
combinações de polinômios, exponenciais e funções trigonométricas e portanto contínuas sobre
todo IR
2
. Por esse motivo, f também é diferenciável sobre todo IR
2
. Avaliando no ponto dado,
obtemos f (π, 0) = 1, fx(π, 0) = 0 e fy(π, 0) = −π, de modo que
L(x, y) = 1 + 0(x − π) − π(y − 0) = −πy + 1
Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.
(a) z(x, y) = x
3 ln(y
2 )
RESP. As derivadas parciais são z x (x, y) = 3x
2 ln(y
2 ) e z y (x, y) = 2yx
3
y
2
2 x
3
y
. Portanto, a
diferencial total é
dz = 3x
2 ln(y
2 ) dx +
2 x
3
y
dy
(b) w(x, y, z) =
x
1 + xyz
RESP. Aqui temos três variáveis independentes, mas o procedimento é o mesmo. As derivadas
parciais são w x (x, y) =
(1 + xyz)
2
, w y (x, y) = −
x
2 z
(1 + xyz)
2
e w z (x, y) = −
x
2 y
(1 + xyz)
2
. Portanto,
a diferencial total é
dw =
(1 + xyz)
2
dx −
x
2 z
(1 + xyz)
2
dy −
x
2 y
(1 + xyz)
2
dz
Questão 8 Se z = 5x
2
2 e (x, y) varia de (3, −1) para (2. 96 , − 0 .95), obtenha e compare os
valores de ∆z e dz.
RESP. ∆z é a variação total de z. Portanto
∆z = z(2. 96 , − 0 .95) − z(3, −1)
= [5(2.96)
2
2 ] − [5(3)
2
2 ]
Por outro lado (atenção para a definição de dx e dy como valor final menos valor inicial e para o
cálculo das derivadas parciais no ponto inicial),
dz = z x (x, y) dx + z y (x, y) dy
= 10x dx + 2y.dy
= 10(3)(2. 96 − 3) + 2(−1)[− 0. 95 − (−1)] = -1.
Questão 9 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm,
respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0. 1 cm. Utilize diferenciais para estimar o
erro máximo cometido no cálculo da área desse retângulo.
RESP. Denotamos a largura L = 24 cm e o comprimento C = 30 cm. As diferenciais dL e dC serão
as incertezas em cada medida: dL = dC = 0. 1 cm Temos que a área é o produto
A = LC = (24).(30) = 720 cm
2 .
O erro máximo cometido é
dA =
∂A
∂L
dL +
∂A
∂C
dC
= C dL + L dC
= 30(0.1) + 24(0.1) = 5.4 cm
2
Assim, podemos escrever A = (720 ± 5 .4) cm
2 .
