Exerc´ıcio 02 - Verifique se a fun¸c˜ao dada ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial. a) y′′^ − y = 0; y(t) = e−t b) ty′^ − y = t^2 ; y(t) = 3t + t^2 c) y′′^ − y′^ + 2y = 0; y(t) = e−^2 t

Exerc´ıcio 03 - Determine os valores de r para os quais a equa¸c˜ao diferencial tem uma solu¸c˜ao da forma y(t) = ert. a) y′′^ − y = 0 b) y′′^ − y′^ − 2 y = 0

Exerc´ıcio 04 - Resolva o problema de valor inicial dado. a) y′^ + 3t^2 y = e−t (^3) +t , y(0) = 2 b) y′^ + 2y = te−^2 t, y(1) = 0 c) ty′^ + 2y = t^2 − t + 1, y(1) = (^12) d)

dy dt − (cos t)y = tet

(^2) +sin t , y(0) = 2

e) cos t dy dt

(sin t)y = 1, y(0) = 0

Exerc´ıcio 05 - Suponha que P (x) seja cont´ınuo em algum intervalo I e que a ∈ I. O que pode ser dito sobre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial.

y′^ + P (x)y = 0, y(a) = 0?

Exerc´ıcio 06 - Encontre o valor de y 0 para o qual a solu¸c˜ao y = y(t) do problema de valor inicial

y′^ − y = 1 + 3 sin t, y(0) = y 0

seja limitada.

Exerc´ıcio 07 - Encontre a solu¸c˜ao geral das EDO’s.

a) y′^ =

x^2 y b) dy dx

x − e−x y + ey c) y′^ =

x^2 y(1 + x^3 ) d) y^2 − 1 − (2y + xy)y′^ = 0 e) ay^2 + b − x^2 yy′^ = 0, para a, b ∈ R, a 6 = 0

Exerc´ıcio 08 - Um tanque em forma de cone com v´ertice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, est´a cheio de ´agua. Se fizermos um furo no fundo do tanque e em 1 minuto o n´ıvel de ´agua cair pela metade, determine o n´ıvel de ´agua h em fun¸c˜ao do tempo e em quanto tempo o tanque ficar´a vazio. A lei de Torricelli diz que a taxa com que um l´ıquido escoa por um orif´ıcio situado a uma profundidade h ´e proporcional a

h.

Exerc´ıcio 09 - A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de varia¸c˜ao da temperatura de um objeto ´e proporcional a diferen¸ca entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que a temperatura de uma x´ıcara de caf´e obedece a lei do resfriamento de Newton. Se o caf´e est´a a uma temperatura de 93 ◦C quando colocado na x´ıcara e, 1 minuto depois, esfriou e est´a a 88 ◦C em uma salaa temperatura de 25 ◦C. Determine quando o caf´e alcan¸ca a temperatura de 65 ◦C.

Exerc´ıcio 10 - Verifique que y 1 (t) = 1 e y 2 (t) = t^1 /^2 s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial yy′′^ +(y′)^2 = 0 para t > 0. Mostre que y(t) = c 1 + c 2 t^1 /^2 n˜ao ´e, em geral, solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao. Por que isto n˜ao contradiz o Princ´ıpio da Superposi¸c˜ao?

Exerc´ıcio 11 - Verifique se as fun¸c˜oes y 1 e y 2 s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial dada. Elas consti- tuem um conjunto fundamental de solu¸c˜oes?

a) y′′^ − 2 y′^ + y = 0; y 1 (t) = et, y 2 (t) = tet b) x^2 y′′^ − x(x + 2)y′^ + (x + 2)y = 0, x > 0; y 1 (x) = x, y 2 (x) = xex

Exerc´ıcio 12 - Encontre a solu¸c˜ao geral das EDO’s a) y′′^ + 2y′^ − 3 y = 0 b) 6y′′^ − y′^ − y = 0 c) y′′^ + 4y = 0 d) y′′^ − 2 y′^ + 2y = 0 e) 9y′′^ + 6y′^ + y = 0 f) 4y′′^ + 12y′^ + 9y = 0

Exerc´ıcio 13 - Encontre uma equa¸c˜ao diferencial cuja solu¸c˜ao geral ´e y(t) = c 1 e^2 t^ + c 2 e−^3 t.

Exerc´ıcio 14 - Encontre uma equa¸c˜ao diferencial cuja solu¸c˜ao geral ´e y(t) = c 13 t^ + c 25 t.

Exerc´ıcio 15 - Resolva o problema de valor inicial: a) 5y′′^ + y′^ − 4 y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1 b) y′′^ − 6 y′^ + 9y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 2 c) y′′^ + 4y′^ + 5y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0

Exerc´ıcio 16 - Resolva o problema de valor inicial y′′^ − y′^ − 2 y = 0, y(0) = α, y′(0) = 2. Encontre o valor de α de modo a solu¸c˜ao tenda a zero quando t → +∞.

Exerc´ıcio 17 - Se a, b e c s˜ao constantes positivas, mostre que todas as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial ay′′^ + by′^ + cy = 0 tendem a zero quando t → +∞. Dica: Analise os casos ∆ > 0, ∆ = 0 e ∆ < 0.

Exerc´ıcio 18 - Use o m´etodo de redu¸c˜ao de ordem para encontrar a segunda solu¸c˜ao fundamental da equa¸c˜ao diferencial dada. c) ty′′^ + y′^ = 0, t > 0; y 1 (t) = ln t d) ty′′^ − y′^ + 4t^3 y = 0, t > 0; y 1 (t) = sin t^2

Exerc´ıcio 19 - Encontre a solu¸c˜ao geral das EDO’s. a) y′′^ − 2 y′^ − 3 y = 3e^2 t