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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO: QUÍMICA INDUSTRIAL
DISC.: DEMA0182 - ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (QI), 2s. 2019
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS, ENTREGAR no dia 25/11/2019 as Questões: 2, 3,4, 6,9,19, 26, 27, 40, 43
- O tempo de vida (duração até falhar) de um componente eletrônico é uma v. a. T com distribuição
exponencial, i.e.,
() =
(a) Suponha que três desses componentes foram instalados segundo o esquema série-paralelo:
O sistema não funciona (isto é, falha) se a passagem de corrente de A para B for interrompida, quer seja pela falha do componente 1 ou pela falha simultânea dos componentes 2 e 3, ou ainda, pela falha dos três componentes simultaneamente. Considere T 1 , T 2 e T 3 o tempo de duração até falhar dos componentes 1, 2 e 3 com a mesma distribuição da v.a. T para determinar a função de confiabilidade do sistema () = ( > ). Qual é o valor t , segundo o qual ( ≥ ) = 1/2?
(b) Se cinco desses componentes forem instalados em diferentes sistemas, qual é a probabilidade de que pelo menos um esteja funcionando após 12000 horas?
(c) Seja^ T 1^ uma v.a. com distribuição Uniforme no intervalo^ (^0 , t^ 0 ), suponha t 0^ conhecido, e seja T 2 (^) uma v.a independente de T 1 com a mesma distribuição da v.a. T. determine a fdp da v.a. Y = min( T 1 , T 2 ). Determine o valor esperado da v.a^ Y^ e compare com os valores esperados de^ T 1 e T 2^. (d) Determine () = ( ) denominada de função geradora de momentos da v. a. T. (Sugestão: Meyer, 2010, Cap. 10). Verifique que ^ ()| ^ é igual a E(T). (e) Utilizando uma amostra aleatória de tamanho n =1000 da v.a. T, determine a frequência relativa do evento = { > 12000} e compare com o valor exato da probabilidade ( > 12000). Sugestão : Use o código em R: x=rexp(n,b) # para gerar uma amostra aleatória de n valores de uma exponencial com taxa=b. (f) Sejam #, $, ⋯ , & v. a’s. independentes e identicamente distribuídas cada uma com fdp () =
' exp(−^
' ).^ A função^ ,(-) = ∏ &/ # (/)é chamada de função de verossimilhança. Para estimar o parâmetro - devemos determinar o valor - 0 que maximiza a probabilidade da
amostra observada (#, $, ⋯ , &) ter sido obtida. Determine - 0. Sugestão : maximizar a função 1(-) = log ,(-) = ∑ &/ # log (/)em relação a -.
- Um parafuso produzido por uma máquina poderá ter uma pequena variação no seu comprimento, dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório do comprimento pode ser modelado por:
(6) = 7
# :$ ,^
#; ≤ 6 ≤^
:: #: ; 0, 8>? 8?@AáAC?.
D
a) Determine o valor de 8 tal que (6) seja, de fato, uma função densidade de probabilidade. b) Para um parafuso escolhido ao acaso dentre os produzidos por essa máquina, qual a probabilidade de obtermos um comprimento maior que 2 milímetros? c) Determine o comprimento médio desses parafusos.
- Uma variável aleatória E tem a seguinte função de distribuição acumulada:
F(6) =
G
H
I
H
J
D
Determine: a) A função de probabilidade da v.a. E. b) P{X ≤ 6). c) P{X ≤ 8). P{X < 12). d) P(6 < E < 10). e) (E) e Q>A(E).
- Sob a hipótese de que certo programa de treinamento melhora o rendimento de 80% das pessoas a ele submetidas, qual a probabilidade de, numa amostra de 7 pessoas que forem submetidas a este programa de treinamento, cinco ou menos melhorar de rendimento?
- Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?
- (4.6 – Meyer, P. L.). Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido ocorra. Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é suspenso e o equipamento inspecionado. Admita que exista uma probabilidade constante de 0,8 de haver um lançamento bem sucedido e que os sucessivos lançamentos sejam independentes. Suponha que o custo do primeiro lançamento seja K dólares, enquanto os lançamentos subsequentes custam K/3 dólares. Sempre que ocorre um lançamento bem sucedido, certa quantidade de informação é obtida, a qual pode ser expressa como um ganho financeiro de C dólares. Sendo T o custo líquido desse experimento, estabeleça a distribuição de probabilidade T.
- (4.29 – Meyer, P. L.). Suponha que a v.a. X tenha valores possíveis, 1, 2, 3, ... e que
P ( X = x )= k ( 1 −β ) x −^1 , 0 < β< 1. (a) Determine a constante normalizadora k. (b) Ache a moda dessa distribuição (isto é, o valor de x que torne P ( X = x )máxima).
- Suponha que X tenha uma distribuição N(2; 0.16). Calcule as seguintes probabilidades: ( a ) P {X ≥ 2.3} ( b ) P {1.8 < X < 2.1}
- Os pesos de latas de conservas fabricadas numa linha de produção de uma indústria tem distribuição normal com média 200 gramas e desvio-padrão 5 gramas. Achar a probabilidade de que uma lata selecionada aleatoriamente contenha: ( a ) mais de 208 gramas ( b ) entre 190 e 200 gramas Obs: Seja X o peso da lata. Considere a variável padronizada Z = ( X - 200) / 5.
- Os componentes eletrônicos fabricados numa indústria tem tempos de vida normalmente distribuídos com média 506 horas e desvio-padrão 81 horas. Qual proporção dos componentes tem tempos de vida menores do que 574 horas?
- Suponha-se que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, e, tenham distribuição N (40,
- e N (45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual dos dispositivos deve ser preferido? Se tiver de ser usado por um período de 48 horas, qual deles deve ser preferido?
- As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500 e desvio padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada?
- O peso X dos alunos de uma escola têm distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 2 kg. Numa amostra aleatória de 200 alunos, qual o número esperado de alunos com peso entre 55 kg e 63 kg?
- Seja X uma variável aleatória contínua, tal que X ~ N ( 12; 25). Qual a probabilidade de uma observação ao acaso: (a) ser menor do que -3; (b) estar entre -1 e 15 ; (c) ser maior do que 12.
- Se X 1 , X 2 e X 3 são v. a' s. independentes , N(0 , 1) , N(1 , 4) e N(2, 9) , respectivamente, qual a probabilidade de apenas uma das três ser menor ou igual a zero?
- Na distribuição X ~ N( (^) μ , σ^2 ), encontre:
(a) (^) P ( X ≤ μ + 2 σ) (b) (^) P (| X − μ |≤ σ) (c) O número a , tal que (^) P ( μ − a σ≤ X ≤ μ+ a σ)= 0 , 99.
- Os comprimentos de 10000 peças fornecidas por um fabricante têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. a) Qual o no^ esperado de peças cujo o comprimento é superior a 165 cm? b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que contém 95% dos comprimentos das peças?
- Foi verificado que um determinado item possui peso X ~ N( 6,4 ; 0,8^2 ). Num lote de 80 itens fabricados, qual o no^ esperado de itens nos intervalos: a) X < 5 b) 5 ≤ X < 7,5 c) 7,5 ≤ X < 10.
- Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg) , tenha distribuição N (100 , 16). Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de R$ 25, desde que X > 95. Se X ≤ 95 , o cabo poderá ser
utilizado para uma finalidade diferente e um lucro de R$ 10 por rolo será obtido. Determinar o lucro esperado por rolo.
- Suponha que 2 cartas sejam retiradas ao acaso de um baralho comum de 52 cartas. Seja X o número de ases obtidos e seja Y o número de damas obtido. (a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta de (X , Y). (b) Determine a distribuição marginal de X e a de Y. (c) Determine a distribuição condicionada de X (dado Y ) e a de Y (dado X ). (d) Determine a distribuição de probabilidade da v.a. Z=XY. Sugestão: Usar a distribuição hipergeométrica nos itens (a) e (b)
- Calcule o coeficiente de correlação entre as v.a’s X e Y do problema 38. Utilize a seguinte definição. DEFINIÇÃO: Sejam X e Y v.a.’s tendo variâncias finitas e não-nulas. Uma medida do grau de dependência entre as duas v.a.’s é o coeficiente de correlação S(E, T) definido por
S(E, T) =
U?V(E, T)
WRWX
em que,
U?V(E, T) = YZE − (E)[ZT − (T)[\ = (ET) − (E)(T) é a covariância entre X e Y, e WR e WX são os desvios-padrões de X e Y , respectivamente. Observar que −1 ≤ S(E, T) ≤ 1. Obs: (ET) = ∑] ∑^ _6^(E = 6, T = ^)
- Para que valor de k , a expressão f ( x , y ) = ke −( x + y ) é a fdp conjunta de (X ,Y) , sobre a região 0 < x
< 1 , 0 < y < 1?
- Em um cruzamento de tráfego intenso, a probabilidade p de um carro sofrer um acidente é
0,0001. Contudo, durante certa parte do dia, por exemplo, das 16 às 18 horas, um grande número de
carros passa no cruzamento ( 1000 carros, admitamos ). Nessas condições, qual é a probabilidade de
que 2 ou mais acidentes ocorram durante aquele período? Sugestão : Usar as distribuições de Poisson e
Binomial.
- Sejam X 1 , X 2 , .... , Xn v. a’s. independentes e identicamente distribuídas cada um com função de distribuição Fx(x). Mostre que: P[K= min(X 1 , X 2 , .... , Xn ≤ u)] = 1 – [1 – Fx(u)] n
P[M= max(X 1 , X 2 , .... , Xn ≤ u)] = [Fx(u)] n
- Determine no exercício anterior, as fdp’ s das v.a.’ s K= min(X 1 , X 2 , .... , Xn), f(k) e M= max(X 1 , X 2 , .... , Xn), f(m).
- Suponha que uma v.a X assume apenas valores não-negativos. Mostre que, para t > 0,
t
E X
P X t
( | |≥ )≤. (Desigualdade de Markov).
Sugestão: Determinar o valor esperado da v.a
t X t
X t Y ,se
0 , se
e observar que X ≥ Y.
- (Magalhães, 2011). Determine c para a expressão abaixo ser função de probabilidade de uma v. a
discreta X.
vendidos, obtenha a função de probabilidade do lucro. Nesse caso, qual é a probabilidade de pelo
menos R$ 30 de lucro?
- A caixa I contém uma bola vermelha e uma azul, enquanto a caixa II contém duas vermelhas e uma azul. Um experimento consiste em escolher uma bola ao acaso da caixa I e passar para a caixa II e, em
seguida, escolher uma bola da II e passar para a I. Sejam X e Y os números de bolas vermelhas nas
caixas I e II, respectivamente.
a. Determine a distribuição conjunta de X e Y. Elas são independentes?
b. Determine a média e a variância para cada uma das variáveis X e Y.
- Suponha que o tempo de vida T , em segundos, de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma
distribuição Exponencial com parâmetro ∝=
$ .^ Calcule a probabilidade condicional^ P(T > 15 | T > 10).
