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Lista 1 - Fun¸c˜oes de Vari´aveis Complexas
Exerc´ıcio 1 Reduza `a forma a + ib cada uma das express˜oes abaixo.
a) (3 + 5i) + (−2 + i) b) (
3 − 2 i) − i[2 − i(
3 + 4)] c) (3 − 5 i)(− 2 − 4 i) d) (2 + 3i)^2
e)
2 + 3i
f)
3 − i
2 i − 1
g)
1 − i √ 2 − i
Exerc´ıcio 2 Calcule o valor de:
a) i^99 b) i^402 c) i^372 d) i^217 e)
1 + i
1 − i
f)
i^7 − i^10
i^13 − i^19
g) i^23 + i^24 + i^25 + ... + i^262
Exerc´ıcio 3 Sabendo-se que a soma i^10 + i^11 + ... + in^ ´e nula e que n > 200, determine o menor valor
poss´ıvel de n (n ∈ N).
Exerc´ıcio 4 Sendo z =
1 + i √ 2
, calcule
∑^60
n=
z
n
Exerc´ıcio 5 Considere os n´umeros complexos z 1 = 1 + 5i, z 2 = 4 − 7 i e z 3 = − 2 i + 7i^2.
a) Represente graficamente z 1 , z 2 , z 3 , z 1 − z 3 , z 1 z 2.
b) Calcule z 1 , z 1 z 3 ,
z 2
z 3
, |z 1 |, |z 1 z 2 z 3 |, z 2.
c) Re(z 1 z 2 ) + Im(z 1 z 3 ).
Exerc´ıcio 6 Sejam x e y n´umeros reais tais que
{ x^3 − 3 xy^2 = 1
3 x^2 y − y^3 = 1.
Determine z^3 e |z| onde z = x + iy.
Exerc´ıcio 7 Dois n´umeros complexos s˜ao ortogonais se suas representa¸c˜oes gr´aficas forem perpendicu-
lares entre si. Prove que dois n´umeros complexos z 1 e z 2 s˜ao ortogonais se e somente se z 1 z 2 +z 1 z 2 = 0.
Exerc´ıcio 8 Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os n´umeros complexos
z que satisfazem a rela¸c˜ao |z − ai| ≤ ak, qual ´e o de menor argumento?
Exerc´ıcio 9 Dados dois pontos do plano complexo, z 1 = 2 + 3i e z 2 = 4 + 5i determine e esboce o
lugar geom´etrico dos pontos do plano complexo que satisfazem `a rela¸c˜ao:
Re
z − z 1
z − z 2
= 0 com z 6 = z 2.
Exerc´ıcio 10 Escreva na forma trigonom´etrica:
a) z = 1 +
3 i b) z = 2i c) z = 4 d) z = 5 − 5 i e) z = 2
2 i f) z =
3 − i
g) z 1 z 2 ,
z 1
z 2
onde z 1 =
3 + 3i e z 2 =
3 − i
h) z 1 z 2 ,
z 1
z 2
onde z 1 = 1 − i e z 2 = −1 + i
Exerc´ıcio 11 Calcule a) (1 + i)^10 b) (−
3 + i)^5 c) w^8 onde w =
2(cos 15o^ + i sen 15o).
Exerc´ıcio 12 Seja z um n´umero complexo de m´odulo 1 e argumento θ. Calcule zn^ +
zn^
sabendo que
n ´e um n´umero inteiro positivo.
Exerc´ıcio 13 Determine a parte imagin´aria de (1 + cos(2x) + i sen(2x))k, onde k ´e um inteiro positivo
e x ´e real.
Exerc´ıcio 14 Seja z um n´umero complexo de m´odulo unit´ario que satisfaz `a condi¸c˜ao z^2 n^6 = −1, onde
n ´e um n´umero inteiro positivo. Demonstre que
zn
1 + z^2 n^
´e um n´umero real.
Exerc´ıcio 15 Prove que cos(3θ) = cos^3 (θ) − 3 cos(θ) sen^2 (θ).
Exerc´ıcio 16 Calcule as ra´ızes dos n´umeros complexos:
a)
− 1 b)
1 + i
3 c)
4
−1 + i
3 d)
Exerc´ıcio 17 Resolva a equa¸c˜ao z^5 = z.
Exerc´ıcio 18 Mostre que todas as ra´ızes da equa¸c˜ao (z + 4)^5 + z^5 = 0 pertencem a uma mesma reta
paralela ao eixo imagin´ario.
Exerc´ıcio 19 Considere, no plano complexo, um pol´ıgono regular cujos v´ertices s˜ao as solu¸c˜oes da
equa¸c˜ao z^6 = 1. Determine a ´area deste pol´ıgono, em unidades de ´area.
Exerc´ıcio 20 Determine as ra´ızes de z^2 + 2iz + 2 − 4 i = 0 e localize-as no plano complexo.
Exerc´ıcio 21 Resolva a equa¸c˜ao z^2 = 2 + z no conjunto dos n´umeros complexos.
Exerc´ıcio 22 Sendo a, b e c n´umeros naturais em progress˜ao aritm´etica e z um n´umero complexo
de m´odulo unit´ario, determine um valor para cada um dos n´umeros a, b, c e z de forma que eles
satisfa¸cam a igualdade: 1
za^
zb^
zc^
= z
9 .
Gabarito
Exerc´ıcio 1 a) 1 + 6i b) − 4 − 4 i c) − 26 − 2 i d) −5 + 12i e)
i f) − 1 − i
g)
i
Exerc´ıcio 2 a) −i b) − 1 c) 1 d) i e) − 1 f) −
i g) 0
Exerc´ıcio 3 n = 201
Exerc´ıcio 4
Exerc´ıcio 5 b) z 1 = 1− 5 i, z 1 z 3 = 3+37i,
z 2
z 3
i, |z 1 | =
26, |z 1 z 2 z 3 | =
z 2 = 4 + 7i.
c) 2
Exerc´ıcio 6 z^3 = 1 + i e |z| =
Exerc´ıcio 7 Dica: Seja θ 1 o argumento de z 1 e θ 2 o argumento de z 2. Ent˜ao z 1 ´e perpendicular a z 2
se tg(θ 1 )tg(θ 2 ) = −1.
Exerc´ıcio 8 z = ak
1 − k^2 + ia(1 − k^2 )
Exerc´ıcio 9 O lugar geom´etrico ´e uma circunferˆencia no plano complexo de centro no ponto z 0 = 3+4i
e raio igual a
2, excluindo-se do lugar geom´etrico o ponto z 2.
