Baixe Geometria Diferencial de Curvas: Primeira Lista de Exercícios e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE DA INTEGRAC¸ ˜AO INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
AFRO-BRASILEIRA
INSTITUTO DE CI ˆENCIAS EXATAS E DA NATUREZA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEM ´ATICA
Primeira lista de exerc´ıcios de Geometria Diferencial de Curvas. Professor: Rafael Di ´ogenes. Aluno:
- Sejam a e b constantes n˜ao nulas. Verifique que a aplicac¸ ˜ao α(t) = (acos t, bsen t), t ∈ R, e uma curva parametrizada diferenci´ ´ avel. Descreva o trac¸o de α. O que representa geometricamente o parˆametro t?
- Obtenha uma curva regular α : R → R^2 tal que α(0) = (2, 0) e α′(t) = (t^2 , et).
- Considere α : I → R^2 tal que α′′(t) = 0, ∀t ∈ I. O que podemos dizer a respeito de α?
- Seja α : I ⊂ R → R^2 uma curva parametrizada que n˜ao passa pela origem. Suponha que α(t 0 ) ´e o ponto do trac¸o de α que esteja o mais pr ´oximo da origem e que α′(t 0 ) 6 = 0. Mostre que α(t 0 ) e α′(t 0 ) s˜ao ortogonais.
- Seja α : I ⊂ R → R^2 uma curva parametrizada e v ∈ R^2 um vetor fixado. Suponha que 〈α′(t), v 〉 = 0 para todo t ∈ I e que 〈α(t 0 ), v 〉 = 0 para algum t 0 ∈ I. Prove que α(t) e´ ortogonal `a v para todo t ∈ I.
- Seja α : I → R^2 uma curva regular. Prove que |α′(t)| e constante se, e s ´´ o se, para cada t ∈ I, o vetor α′′(t) e ortogonal a´ α′(t).
- Considere a aplicac¸ ˜ao
α(t) =
sen t, cos t + ln
tg
t 2
, t ∈ (0, π).
Prove que:
(a) α e uma curva parametrizada diferenci´´ avel; (b) α′(t) 6 = 0 para todo t 6 = π 2 ; (c) o comprimento do segmento da reta tangente, compreendido entre α(t) e o eixo y, e constante igual a 1. O trac´ ¸o dessa curva ´e chamado tratriz.
- Considere um c´ırculo de raio a rolando sobre o eixo x sem deslizar. Um ponto desta circunferˆencia descreve uma cicl´oide. Supondo que para o tempo t = 0 o ponto da circunferˆencia coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtenha uma curva parametrizada diferenci´avel cujo trac¸o ´e a cicl ´oide. Esta curva ´e regular?
- A hipocicl´oide e a trajet ´´ oria descrita pelo movimento de um ponto fixo P pertencente ao c´ırculo de raio r, que gira no interior de um c´ırculo fixo de raio R > r.
(a) Obtenha uma curva parametrizada diferenci´avel cujo trac¸o ´e a hipocicl ´oide; (b) Essa curva ´e regular? Caso negativo, encontre seus pontos singulares;
(c) Esboce o trac¸o da hipocicl ´oide quando R = 4r, neste caso a hipocicl ´oide recebe o nome particular de astr ´oide; (d) Esboce o trac¸o da hipocicl ´oide quando R = 5 e r = 2; (e) Esboce o trac¸o da hipocicl ´oide quando R = 4 e r = 1.
- A epicicl´oide e a trajet ´´ oria descrita pelo movimento de um ponto fixo P, pertencente a um c´ırculo de raio r, que gira sobre a parte externa de um c´ırculo de raio R > r.
(a) Obtenha uma curva parametrizada diferenci´avel cujo trac¸o ´e a epicicl ´oide; (b) Essa curva ´e regular? Caso negativo, encontre seus pontos singulares; (c) Esboce o trac¸o da epicicl ´oide quando R = r, neste caso a epicicl ´oide recebe o nome particular de cardi ´oide; (d) Esboce o trac¸o da epicicl ´oide quando R = 3 e r = 1; (e) Esboce o trac¸o da epicicl ´oide quando R = r = 1.
- Verifique que as curvas regulares α(t) = (t, et), t ∈ R, e β(r) = (ln r, r), r ∈ (0, ∞), tˆem o mesmo trac¸o.
- Calcular o comprimento do arco da curva parametrizada
(a) α(t) = (t, cosh t) entre t = a e t = b; (b) β(t = (at + b, ct + d) entre t = 0 e t = 10; (c) γ(t) = (rsen t, rcos t) entre t = 0 e t = 2π; (d) φ(t) = r(t − sen t, 1 − cos t) entre t = 0 e t = 2π.
- Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva
(a) α(t) = (a(t − sen t), a(1 − cos t)), 0 < t < 2 π. (b) α(t) = (etcos t, etsen t) 0 < t < 2 π. (c) α(t) = (rcos (2t), rsen (2t)), 0 < t < 2 π. (d) α(t) = (at + b, ct + d) m < t < n. (e) α(t) = (t, 2 t) a < t < b.
- Seja η um campo de vetores ao longo do c´ırculo α(t) = (cos t, sen t). Em cada um dos seguintes casos, expresse as coordenadas de η :
(a) η(t) e o vetor de´ α(t) para a origem de R^2. (b) η(t) = α′(t) − α′′(t). (c) η(t) e o vetor de´ α(t) at´e α(π).
- Obtenha o diedro de Frenet, a curvatura, os valores de r onde a curvatura ´e m´axima e/ou m´ınima (se existir) e esboce os trac¸os (com o diedro de Frenet) das seguintes curvas regulares:
(a) α(r) = (r, r^3 ), r ∈ R; (b) α(r) = (r, r^4 ), r ∈ R; (c) α(r) = (cos r(2cos r − 1), sen r(2cos r − 1)), r ∈ R (cardi ´oide); (d) α(r) = (acos r, bsen r), r ∈ R, a > 0 , b > 0 (Elipse);
(b) Suponha que k(s) 6 = 0, ∀s, ent˜ao β e regular se´ k′(s) 6 = 0, ∀s. (c) Nas condic¸ ˜oes do item anterior o vetor tangente `a evoluta em s e paralelo ao vetor´ normal a α em s.
- Seja α(s) uma curva regular PCA e tal que k(s) > 0 e k′(s) > 0 ∀s. Verifique que o comprimento do arco da evoluta de α entre s 0 e s 1 e igual `´ a diferenc¸a entre os raios de curvatura em s 0 e s 1.
- Obtenha a evoluta das seguintes curvas:
(a) α(r) = (3sen r − 2sen 3 r, 3cos r − 2cos 3 r). (b) α(r) = (t^2 , t^3 ).
(c) α(r) =
r^2 1 + r^2
r^3 1 + r^2
(d) α(r) = (acos r, bsen r), a > 0 , b > 0.
- Sejam α : I → R^2 uma curva regular PCA com curvatura k(s) e λ uma constante real. A curva paralela αλ : I → R^2 de α e definida por´
αλ(s) = α(s) + λ · n(s).
Mostre que se λk(s) 6 = 1 ent˜ao αλ e regular e que sua curvatura ´´ e dada por
k(s) | 1 − λk(s)|
- Descreva todas as curvas planas regulares tais que:
(a) tem curvatura constante; (b) todas suas retas tangentes se interceptam num ponto fixado; (c) todas suas retas normais se interceptam num ponto fixado.
- Prove que toda curva regular plana cuja curvatura ´e da forma
k(s) =
as + b
, a 6 = 0,
e uma espiral logaritma. ´
- Determine as curvas planas de modo que:
(a) a curvatura seja k(s) =
cosh s
(b) (Espiral de Cornu) seja PCA com curvatura k(s) = 2s e tal que α(0) = (0, 0). (c) A curvatura seja k(s) = s−^12. (d) A curvatura seja k(s) = (^) a+as 2 (a constante).
- Determine a curva α tal que α(1) = (1, 1), α′(1) = (0, 1) e k(s) =
s
, para todo s > 0.
“Nada ´e pequeno se feito com amor.” Santa Teresinha do Menino Jesus
