Uma Introdução à Álgebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA LINEAR

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem ´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

Marc¸o 2008

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear

Copyright c© 2008 by Reginaldo de Jesus Santos (080221)

E proibida a reproduc´ ¸ ˜ao desta publicac¸ ˜ao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr ´evia autorizac¸ ˜ao, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revis ˜ao, Supervisor de Produc¸ ˜ao, Capa e Ilustrac¸ ˜oes: Reginaldo J. Santos

ISBN 85-7470-018- Ficha Catalogr ´afica

Santos, Reginaldo J. S237i Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos

• Belo Horizonte: Imprensa Universit ´aria da UFMG, 2008.
  1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

CDD: 512.

Conte ´udo vii

´Indice Alfab ´etico 687

Marc¸o 2008 Reginaldo J. Santos

Pref ´acio

Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou de Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas´ n ˜ao e necess ´´ ario, ser acompanhado um programa como o MATLABr^ ∗, SciLab ou o Maxima.

O conte ´udo ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da ´algebra matricial s ˜ao demonstradas. A resoluc¸ ˜ao de sistemas lineares ´e feita usando somente o m ´etodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at ´e que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este m ´etodo requer mais trabalho do que o m ´etodo de Gauss (transformando a matriz, apenas, at ´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb ´em ´e usado no estudo da invers ˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb ´em estudado o determinante, que ´e definido usando cofatores. As demonstrac¸ ˜oes dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a

crit ´erio do leitor, feitas somente para matrizes 3 × 3.

O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e no Rn. Os vetores s ˜ao definidos inicialmente

∗ (^) MATLABr (^) e marca registrada de The Mathworks, Inc.´

viii

x Pref ´acio

cotes para c ´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸ ˜oes que s ˜ao direcionadas para

o estudo de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear pode ser obtido na web na p ´agina do autor, as-

sim como um texto com uma introduc¸ ˜ao ao MATLABr^ e instruc¸ ˜oes de como instalar o pacote gaal.

O MATLABr^ n ˜ao ´e um software gratuito, embora antes a vers ˜ao estudante vinha gr ´atis ao se com- prar o guia do usu ´ario. Atualmente o SciLab ´e uma alternativa gratuita, mas que n ˜ao faz c ´alculo simb ´olico. O Maxima ´e um programa de computac¸ ˜ao alg ´ebrica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de ´Algebra Linear. Na p ´agina do autor na web podem ser encontrados pacotes de func¸ ˜oes para estes programas al ´em de links para as p ´aginas do SciLab e do Maxima e v ´arias p ´aginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.

No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus conheci- mentos. Os Exerc´ıcios Num ´ericos e os Exerc´ıcios usando o MATLABr^ est ˜ao resolvidos ap ´os o ´ultimo cap´ıtulo utilizando o MATLABr. Desta forma o leitor que n ˜ao estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar

sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABr^ e do pacote gaal.

Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸ ˜oes, cr´ıticas e su- gest ˜oes, entre eles Helder C. Rodrigues e Francisco Satuf, Joana Darc A. S. da Cruz e Lucia Brasil.

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Pref ´acio xi

Sugest ˜ao de Cronograma para 60 Horas

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 8 aulas Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.2 8 aulas Cap´ıtulo 3 Sec¸ ˜oes 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Sec¸ ˜oes 4.1 e 4.2 8 aulas Cap´ıtulo 5 Sec¸ ˜oes 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 7 Sec¸ ˜oes 7.1 a 7.3 12 aulas Total 60 aulas

Sugest ˜ao de Cronograma para 90 Horas

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 10 aulas Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.3 12 aulas Cap´ıtulo 3 Sec¸ ˜oes 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Sec¸ ˜oes 4.1 a 4.3 12 aulas Cap´ıtulo 5 Sec¸ ˜oes 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 6 Sec¸ ˜oes 6.1 a 6.3 15 aulas Cap´ıtulo 7 Sec¸ ˜oes 7.1 a 7.3 12 aulas Total 85 aulas

Hist ´orico

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Pref ´acio xiii

exerc´ıcios `a sec¸ ˜ao 4.3. Os exemplos 7.4 na p ´agina 434 e 7.5 na p ´agina 441 foram modificados. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes’ ganhou mais um exerc´ıcio te ´orico.

Julho 2003 V ´arias correc¸ ˜oes incluindo respostas de exerc´ıcios. A sec¸ ˜ao ’Base e Dimens ˜ao’ foi re- escrita. Foi acrescentada uma sec¸ ˜ao de Espac¸os Vetoriais Abstratos no Cap´ıtulo 4. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes’ ganhou mais dois exerc´ıcios te ´oricos. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes Sim ´etricas’ ganhou um ap ˆendice sobre ’Autovalores Complexos’.

Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear’ para ser usado numa´ disciplina de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou ´Algebra Matricial.

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xiv Pref ´acio

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Marc¸o 2008

2 Matrizes e Sistemas Lineares

para i = 1,... , m e a j - ´esima coluna de A e´

a 1 j

a 2 j

amj

para j = 1,... , n. Usamos tamb ´em a notac¸ ˜ao A = (aij )m×n. Dizemos que aij ou [A]ij e o´ elemento

ou a entrada de posic¸ ˜ao i, j da matriz A.

Se m = n, dizemos que A e uma´ matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11 , a 22 ,... , ann

formam a diagonal (principal) de A.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

D =

[

]

, E =

 e F =

[

]

As matrizes A e B s ˜ao 2 × 2. A matriz C e´ 2 × 3 , D e´ 1 × 3 , E e´ 3 × 1 e F e´ 1 × 1. De acordo

com a notac¸ ˜ao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima s ˜ao

a 12 = 2, c 23 = − 2 , e 21 = 4, [A] 22 = 4, [D] 12 = 3.

Uma matriz que s ´o possui uma linha ´e chamada matriz linha , e uma matriz que s ´o possui uma

coluna ´e chamada matriz coluna , No Exemplo 1.1 a matriz D e uma matriz linha e a matriz´ E e uma´

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1.1 Matrizes 3

matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna s ˜ao chamadas de vetores. O motivo ficar ´a claro na Sec¸ ˜ao 3.3 na p ´agina 222. Dizemos que duas matrizes s ˜ao iguais se elas t ˆem o mesmo tamanho e os elementos correspon-

dentes s ˜ao iguais, ou seja, A = (aij )m×n e B = (bij )p×q s ˜ao iguais se m = p, n = q e aij = bij

para i = 1,... , m e j = 1,... , n.

Vamos definir operac¸ ˜oes matriciais an ´alogas `as operac¸ ˜oes com n ´umeros e provar propriedades que s ˜ao v ´alidas para essas operac¸ ˜oes. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸ ˜oes lineares pode ser escrito em termos de uma ´unica equac¸ ˜ao matricial. Vamos, agora, introduzir as operac¸ ˜oes matriciais.

1.1.1 Operac¸ ˜oes com Matrizes

Definic¸ ˜ao 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij )m×n e B = (bij )m×n e´

definida como sendo a matriz m × n

C = A + B

obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,

cij = aij + bij ,

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb ´em [A + B]ij = aij + bij.

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1.1 Matrizes 5

Definic¸ ˜ao 1.2. A multiplicac¸ ˜ao de uma matriz A = (aij )m×n por um escalar (n ´umero) α e definida´

pela matriz m × n

B = αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,

bij = α aij ,

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb ´em [αA]ij = α aij. Dizemos que a matriz B e´

um m ´ultiplo escalar da matriz A.

Exemplo 1.3. O produto da matriz A =

 pelo escalar − 3 e dado por´

− 3 A =

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6 Matrizes e Sistemas Lineares

Definic¸ ˜ao 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o n ´umero de colunas da primeira matriz ´e

igual ao n ´umero de linhas da segunda , A = (aij )m×p e B = (bij )p×n e definido pela matriz´ m × n

C = AB

obtida da seguinte forma:

cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + aipbpj , (1.1)

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb ´em [AB]ij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + aipbpj.

A equac¸ ˜ao (1.1) est ´a dizendo que o elemento i, j do produto ´e igual `a soma dos produtos dos

elementos da i- ´esima linha de A pelos elementos correspondentes da j- ´esima coluna de B.

c 11... c 1 n

. cij

cm 1... cmn

a 11 a 12... a 1 p

ai 1 ai 2... aip

am 1 am 2... amp

b 11

b 21

bp 1

b 1 j

b 2 j

bpj

b 1 n

b 2 n

bpn

A equac¸ ˜ao (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸ ˜ao de somat ´orio.

[AB]ij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + aipbpj =

∑^ p

k=

aikbkj

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