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Laboratório de Sistemas Controlados por Computador, 2 º semestre de 202 2.
Atividade 1: Apresentação da planta. Revisão de conceitos da modelagem e da análise de sistema
em tempo contínuo. Modelos em tempo discreto.
Objetivos: (i) Revisar técnicas para a representação e análise de sistemas em tempo contínuo; (ii)
introduzir a representação, análise de sinais e sistemas em tempo discreto.
Referências sugeridas.
1 – Phillips, Charles L., Nagle, H. Troy (1995). Digital Control System Analysis and Design. 3a
edição, Prentice Hall.
2 – Katsuhiko Ogata. (2010). Engenharia de Controle Moderno. Editora Pearson, 5
a
edição.
Considere o circuito apresentado na figura a seguir. Os valores dos componentes são: R 1
= R
2
470 k; C 1
= C
2
= 820 nF.
Este circuito será utilizado ao longo do semestre em simulações e em experimentos que abordarão
conceitos de análise e projeto de sistemas de controle. O sistema tem dois elementos armazenadores
de energia e apresenta dinâmica superamortecida quando a saída é a tensão no capacitor C 2
Ele foi escolhido pela simplicidade de montagem e por não demandar atuadores e sensores, o que
facilita a realização dos experimentos.
Além disso, ele pode ser visto como análogo elétrico para alguns sistemas encontrados em processos
industriais. Na página 104 do livro ( 2 ), por exemplo, a dinâmica do sistema de dois tanques da figura
4.2. pode ser analisada como uma combinação de resistores e capacitores.
1 – Utilizando as leis de Kirchhoff, obtenha equações diferenciais de primeira ordem que relacionam
a tensão de entrada v(t) com as tensões v
1
(t), v
2
(t) nos capacitores. A partir destas equações,
determine as funções de transferência G
1
(s) = V
1
(s)/V(s) e G
2
(s) = V
2
(s)/V(s), em que V
1
(s),
V
2
(s) são as transformadas de Laplace de v
1
(t), v
2
(t), respectivamente.
2 – Em simulação computacional, obtenha os gráficos da variação das tensões nos capacitores para
uma entrada v(t) em degrau com amplitude 5 V. Interprete as respostas considerando os polos e zeros
e o ganho dc das funções de transferência correspondentes.
3 – A partir das equações diferenciais do item 1, proponha diagramas de simulação para o sistema
utilizando integradores, ganhos e somadores. Por meio destes diagramas, devemos ser capazes de
observar a forma de onda das tensões v
1
, v
2
para um sinal de entrada v(t) específico.
4 – Obtenha um modelo em espaço de estados para o sistema. Considere que as variáveis de estado
são v 1
(t), v
2
(t) e que as saídas são as próprias variáveis de estados.
5 – A partir do modelo em espaço de estados, calcule os autovalores do sistema e avalie como esses
valores influenciam as respostas observadas no item 2.
6 – Considere que tensão de entrada e as tensões nos capacitores são conhecidas apenas em instantes
de tempo kT, sendo que T é o período de amostragem e k é um número inteiro positivo.
A derivada de um sinal pode ser estimada numericamente por meio da aproximação
dy
dt
y
[(
k + 1
T
]
− y
kT
T
se T é suficientemente pequeno. Utilizando essa aproximação e as equações diferenciais do item 1,
obtenha um modelo em tempo discreto para sistema. Represente o modelo na forma
x(k + 1 ) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k),
em que
x(k) = [
v
1
(k)
v
2
k
] , u(k) = v(k), y(k) = x(k).
Nestas equações, k representa kT, deixando o período de amostragem implícito. Escolha um tempo
de amostragem T de modo a obter a 10 amostras do sinal por constante de tempo dominante na reposta
transitória do sistema.
7 – Obtenha agora um modelo que relaciona a tensão v 2
k
no instante atual com os valores de
v 2
k − 1
, v
2
k − 2
e com os valores v
k
, v
k − 1
, v
k − 2
da tensão de entrada. Faça o mesmo
para v 1
k
. Compare os modelos aqui obtidos com aquele do item anterior.
