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Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia

de Pernambuco

Edição 2008

Recife-PE

Licenciatura em Matemática

Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos

José Arimatéia Rocha

Módulo 1

Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos

A Linguagem da Matemática

Meta: Apresentar as bases de como se organiza o discurso na matemática

Objetivos:

1. Descrever sentenças atômicas

2)Definir o valor lógico de uma sentença e relacioná-lo com o Princípio do Terceiro Excluído

3)Compreender e fazer uso de alguns símbolos de uso freqüente em Matemática.

4)Entender a noção de Conjunto em Matemática como conceito unificador de sua linguagem.

1. Introdução

Neste módulo consideramos de modo elementar a organização da linguagem matemática. Nele você estudará as sentenças ou proposições do ponto de vista de como um Matemático às considera e de como um professor de mate- mática deve fazer uso de modo a organizar o pensamento de seu aluno.

2. Sentenças Atômicas

Consideramos as afirmações traduzidas abaixo:

(a) 3 é um número ímpar. (b) 5 é maior que 8. (c) Hoje é sábado. (d) Plutão é um Planeta. (e) Recife é a capital do estado de Pernambuco. (f) Todo homem tem alma.

Observe que algumas das afirmações acima exprimem fatos que você sabe serem verdadeiros como, por exemplo, (a) e (e). A afirmativa (b) é evidentemente falsa. As demais afirmativas têm sua veracidade dependente

Aristóteles (384 a.C- 322 a.C) foi um dos primeiros pensadores a escrever sobre a lógica. Em seu “Organon”, obra clássica de Filosofia Grega, ele projeta construir um instrumento para construção segura da ciência.

de certas considerações ou convenções humanas. Por exemplo, até bem pouco tempo atrás (d) era verdadeira mais agora não é mais (Veja quadro ao lado), a afirmativa (c) depende do dia que você tiver fazendo a leitura desse texto enquanto que (f) depende de suas considerações pessoais.

De um modo geral, uma proposição ou sentença transmite pensamentos as quais exprimem juízos a respeito de certos objetos ou entes.

Tais juízos podem ser verdadeiros, falsos ou indecidíveis quanto a sua vera- cidade ou falsidade. Em Matemática, iremos considerar sentenças sobre as quais possamos decidir se são verdadeiras ou falsas. Logo, estão excluídas de nosso estudo:

1. As sentenças interrogativas tipo “Que dia é hoje?”

2. As sentenças exclamativas tipo “Que dia calorento!”

3. As sentenças imperativas tipo “Dane-se você e sua corja”.

Assim, a estrutura básica de uma sentença matemática é:

SUJEITO + PREDICADO

em que o predicado descreve algum fato sobre o sujeito para o qual é possí- vel decidir se o fato é verdadeiro ou falso, como mostram os exemplos:

(g) 5 é um número primo.

(h) é um número racional

(i) 2 é maior que 1.

Tal tipo de sentença chamaremos de Sentença Atômica ou Simples.

Atividade 1: Pesquise o significado dos termos Sujeito e Predicado e para cada uma das sentenças (a,b,c,d,e,f,g,h,i) acima, diga qual o sujeito e qual o predicado.

3. Valor Lógico De Uma Proposição

Não é só a estrutura “sujeito + predicado” que determina uma sentença matemática. O fato mais relevante é a possibilidade de podermos decidir o chamado valor lógico da sentença, isto é, se ela é verdadeira ou falsa. Tal fato é chamado Princípio do Terceiro Excluído (PTE) pelos matemáticos e assume um papel fundamental na chamada lógica matemática.

Nas ciências, em geral, determi- nados conceitos podem mudar. Em matemática este é um fato difícil de ocorrer, acontecendo em geral, quando uma estrutura nova é observada permeando o conceito.

Plutão perde o status de Planeta Fonte: Folha Online 15/08/

O DIA O DIA EM QUE UM MATEMÁTICO PROVOU A EXISTÊNCIA DE DEUS. Em uma disputa famosa entre o filosófo Diderot (1713-1784) e o matemático Euler (1707-1783) sobre a existência de Deus, este último coloca a seguinte sentença para o filosófo redargüir:

, logo Deus existe!

Segundo Hogben (1950) “Como acontece a muitos de nós, Diderot ficou cheio de dedos quando defrontado com uma frase na linguagem das grandezas. Por isso, retirou-se abruptamente do salão, debaixo do escárneo dos presentes, fechou-se em seus aposentos, pediu seu passaporte e tratou de partir para França.”(p.19)

O exemplo acima mostra que os símbolos matemáticos podem nos afastar da compreensão de um fato, logo devemos ter cuidado com seu uso em sala de aula.

Tais símbolos, assim como outros, têm significado universal. Você pode en-contrá-los em livros matemáticos americanos, italianos, alemães, etc. Boa parte da tarefa de compreender matemática está associada a apro- priação de uso de símbolos e você deve dedicar atenção especial a isso.

Na tabela abaixo indicamos alguns símbolos de uso freqüente em matemá- tica e seu significado. Você deve consultá-la sempre que achar necessário.

5. A Noção de Conjunto

De um ponto de vista de sua estrutura interna, a Matemática costuma organi- zar seus objetos de estudo em conjuntos. Assim, por exemplo, os pontos do plano são vistos como um conjunto, o conjunto dos pontos do plano. Neste caso, para indicar que um ponto está em um conjunto, usa-se o símbolo

. Desta forma se designarmos o conjunto dos pontos do plano por E, a sen- tença P E (lê-se P pertence a E) significa que P é um ponto do plano E. Do mesmo modo, Q ∉^ E (lê-se Q não pertence a E) significa que Q não é um ponto de E.

É usual, representar-se um conjunto por uma letra maiúscula. Os objetos do conjunto, também chamados de elementos, são colocados entre chaves e separados por vírgulas, sem repetição e numa ordem qualquer. Por exemplo, A={a,e,i,o,u} é uma maneira de indicar que A é o conjunto cujos elementos são as vogais.

Muito freqüentemente, um conjunto matemático é formado por uma infinidade de elementos. Por isso, também podemos indicar o conjunto no formato.

X= {x | x satisfaz a propriedade P}

Tal tipo de representação é chamada Representação por Compreensão.

No caso, P é uma propriedade que caracteriza os elementos de X enquanto x designa um elemento genérico do conjunto X. Veja, isto não quer dizer que x X, mas simplesmente que x representa um elemento qualquer de X.

Ademais é freqüente o uso de símbolos especiais para designar certos con- juntos de objetos matemáticos. Por exemplo:

N → Conjunto dos Números Naturais, isto é

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z → Conjunto dos Números Inteiros, isto é

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q → Conjunto dos Números Racionais, portanto

Q =

Treine tais considerações nas atividades abaixo.

Atividade 3: Assinale V (verdadeiro) ou F(falso) de acordo com as afirmati- vas abaixo:

( ) 2 {1,2,3}

( ) 5 {13,14,15}

( ) 0 ∉^ {10}

( ) – 3 {1,2,3}

( ) a {vogal}

Didaticamente, alguns autores falam em representação por extensão de um conjunto, aquela que indicamos seus elementos separados por virgula. Também podemos representar conjuntos por diagramas como o descrito abaixo

Fig 3. A representação do conjunto das vogais por diagrama.

Resumo

1. As sentenças simples (atômicas) em Matemática têm a forma básica “sujeito+predicado” e admitem um único valor lógico (verdadeiro ou falso);
2. Se p é uma sentença então V(p) é o modo como se indica seu valor lógico.
3. Compreender o uso dos símbolos especiais em matemática é parte impor- tante da tarefa de compreender matemática.
4. A idéia de conjunto é básica em Matemática e amplia a idéia que temos de coleção.São considerados conjuntos com um único elemento, chamados conjuntos unitários e até mesmo um conjunto que não tem elemento, cha- mado vazio.

Auto-avaliação

Muna-se de lápis e papel e em um lugar tranqüilo tente resolver as seguin- tes questões. As respostas para elas podem ser encontradas ao final deste caderno. Só as consulte após ter escrito todas as respostas.

1. Traduza para a linguagem corrente as seguintes sentenças matemáticas:

a.

b.

c.

d.

2. Indique qual o valor lógico das sentenças acima.
3. Traduza para forma simbólica matemática as seguintes sentenças:

a. Todo o número natural é um número racional.

b. Existe um número racional que não é inteiro.

c. Se x é um inteiro par então x^2 é um inteiro par.

d. x é um inteiro impar se, e somente se x^2 também é um inteiro impar.

4. Indique o valor lógico de cada uma das sentenças da questão 3.
5. Escreva explicitamente os elementos dos seguintes conjuntos:

A =

B =

C =

Módulo 2

Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos

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Sentenças Compostas

Objetivos

1. Definir a conjunção e a disjunção de sentenças lógicas;
2. Definir a união de conjuntos e a intersecção de conjunto;
3. Relacionar tais operações de conjuntos com as operações lógicas correspondentes;
4. Inferir as propriedades de tais operações.
5. Introdução

Continuaremos desse modo a apresentação de como a linguagem matemá- tica se organiza. Desta feita, consideraremos a composição de sentenças através dos conectivos: “ ou ” (representado pelo símbolo ∨) e “ e ” (represen- tado por ∧). Relacionaremos também tais conectivos com as operações de união e de intersecção de conjuntos.

2. A Disjunção e a Conjunção Lógicas

Consideremos as sentenças:

p: Recife é a capital do frevo. q: Recife é a cidade mais populosa de Pernambuco.

Com elas, podemos compor as seguintes sentenças:

p ∨ q: Recife é a capital do frevo ou é a cidade mais populosa de Pernambuco. p ∧ q: Recife é a capital do frevo e é a cidade mais populosa de Pernambuco.

A sentença p ∨ q é chamada disjunção da sentença p com a sentença q. Analogamente, a sentença p ∧ q é chamada conjunção da sentença p com a sentença q.

Os conectivos “ou” (∨) e “e” (∧) são usados na matemática como modo de compor sentenças. De fato, eles são considerados como uma espécie de

Dicas de Estudo Uma regra básica, para quem quer aprender matemática, é não acumular dúvidas. Palavras, cujo significado você desconhece, devem ser consultadas nos dicionários ou, ainda, ser solucionadas com os seus tutores ou professores. Por exemplo: Você sabe o que é conectivo?

Meta Indicar modos básicos de composição de sentenças matemáticas.

George Boole (1815-1864) O matemático G. Boole publicou, em 1847, The Mathematical Analysis of Logic , onde fundamentou as bases da lógica moderna.

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produtores de sentenças. Mais tarde, em nosso curso, definiremos a noção de operação caracterizando-os como operadores lógicos. No momento, devemos nos preocupar como associar os valores lógicos (verdadeiro ou falso) a tais sentenças compostas, a partir dos valores lógicos das senten- ças dadas. Isto é feito com a construção das chamadas tabelas lógicas , as quais analisam todas as possibilidades de valores lógicos para as sentenças. Postulamos que:

1. p ∨ q é falso se somente se tanto p quanto q são sentenças falsas.

2. p ∧ q é verdadeiro se somente se ambas as sentenças p e q são verda- deiras.

Com tais postulados, podemos compor as seguintes tabelas lógicas para a disjunção e para conjunção.

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Atividade 1: Considere dado que a sentença p: João é médico é verdadeira, enquanto que a sentença q: João é professor é falsa. Qual o valor lógico para as sentenças

p ∨ q: João é médico ou professor? p ∧ q: João é médico e professor?

Respostas: V (p ∨ q) = V (p ∧ q) =

A partir de tabelas lógicas, é fácil inferir se os operadores lógicos possuem determinadas propriedades. Por exemplo, mostraremos, a seguir, que a conjunção é comutativa, isto é, que p ∨ q é equivalente a q ∨ p. Siga as orientações dadas abaixo:

Passo 1 : Construindo a tabela lógica para p ∨ q.

ATENÇÃO! LEMBRE: Cada sentença tem um único valor lógico V ou F. Assim, para duas sentenças, temos 2 x 2 = 4 possibilidades de análise.

ATENÇÃO! LEMBRE: O “ou” só é falso se ambas as sentenças forem falsas.

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