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2 PARA APRENDER MATENÁTICA te se integram uns aos outros e, com certeza, auxiliarão os profes- sores a melhorarem suas aulas c refletirem sobre suas ações peda- gógicas. No entanto, cada professor precisa adaptá-los às necessi- dades e conveniências de seu curso ou escola, de acordo com a realidade na qual está inserido. Este livro mostra parte do que aprendi com meus alunos, do ensino fundamental ao pós-doutorado, e é consegiência dos incen- tivos de colegas para que eu o escrevesse. É um livro para profes- sor, porém sempre tendo em vista o aluno. Por isso, muitos exem- plos podem ser considerados elementares àqueles que possuem conhecimento mais avançado a respeito do ensino da matemática. 1. Ensinar com conhecimento ar aulas é diferente de ensinar. Ensinar é dar condições para que o aluno construa seu próp: conhecimento. Vale salien- tar a concepção de que há ensino somente quando, em decorrência dele, houver aprendizagem. Note que é possível dar aula sem conhe- cer, entretanto não é possível ensinar sem conhecer. Mas conhecer o quê? Tanto o conteúdo (matemática) como o modo de ensinar (di- dática); e ainda sabemos que ambos não são suficientes para uma aprendizagem significativa. Considerando que ninguém consegue ensinar o que não sabe, decorre que ninguém aprende com aquele que dá aulas sobre o que não conhece. Mesmo quando os alunos conhecem menos que um professor que dá aulas sem domínio do assunto, eles percebem, no mínimo, a insegurança do professor. Qual seria nossa reação num aeroporto, ao tomarmos conhecimento de que o piloto de nosso vôo não conhece bem como nos conduzir? Qual seria sua reação, ao che- gar ao pronto-socorro de um hospital com seu filho em seus braços e saber que lá, de plantão naquele horário, só há veterinários? O que os pais esperam de nós, professores, quando nos entregam seus fi- lhos para que estes aprendam matemática? Reconhe mos que o educando tem o direito de re cber do pro- fessor um correto conteúdo tratado com clareza, e, para que isso pos- sa acontecer, fundamental que o professor conheça a matemática e sua didática. Poderia um professor que não conhece matemática sen- 4 PARA APRENDER MATEMÁTICA, GIO LORENZATO 5 tir a beleza dessa disciplina? Poderia cle sentir o prazer de ensiná-l Conseguiria dar aulas com paixão e deslumbrar seus alunos"? Também sabemos que a falta de compreensão dos alunos os conduz a acreditarem que a matemática é difícil e que eles não são inteligentes, entre inúmeras outras consequências maléficas. Pesqui- sas comprovam o que a experiência de vida já mostrava: as causas, entre clas o professor, são esquecidas no tempo, mas as consegiiên- cias, sejam elas cognitivas ou afetivas, acompanharão os alunos para sempre (Lorenzato, 2003). Por razões de ética e de responsabilidade, independentemen- te de sua remuneração, todo professor tem o dever de conhecer o que vai ensinar. Sobre isso, vamos fazer uma experiência. Leia com aten- ção o texto seguinte: Um jornal é melhor do que uma revista. Um cume ou encosta é melhor do que uma rua. No início parece que é melhor correr do que andar. É preciso experimentar várias vezes. Prega várias partidas, mas é fácil de aprender. Mesmo as crianças podem achá-lo diverti- do. Uma vez com sucesso, as complicações são minimizadas. Os pássaros raramente se aproximam. Muitas pessoas, às vezes, fazem- no ao mesmo tempo, contudo isso pode causar problemas. É preci- so muito espaço. É necessário ter cuidado com a chuva, pois destrói tudo. Sc não houver complicações, pode ser muito agradável. Uma pedra pode servir de âncora. Se alguma coisa se partir, perdemo-lo e não teremos uma segunda chance [Leving, 1994]. Mesmo relendo-o, você ficará inseguro, com dúvidas e se per- guntando: “do que se trata?”, “a que isso se refere?” Agora, releia o texto, mas colocando nele o título “A pipa”. Você perceberá que o texto passa a ter significado. Será que muitos dos nossos alunos sentem dificuldades em aprender porque omitimos informações básicas para eles, as quais, às vezes, nem nós conhecemos? Uma maneira de dar aula sem co- nhecer é repetir exatamente aquilo que o aluno encontra no livro didático, o que pode conduzir o aluno a conceber o professor com um objeto desnecessário à sua aprendizagem. Em contrapartida, o professor que ensina com conhecimento conquista respeito, confiança e admiração de seus alunos. Na ver- dade, “ensinar com conhecimento” aqui tem a conotação de que “quem não conhece não consegue ensinar”, ou então de que “nin- guém ensina o que não conhece”. Na prática, essa questão envolve outras, tais como: * A respeito de cada assunto a ser ensinado, todo professor precisa conhecer mais do que deve ensinar... e deve ensi- nar somente aquilo que o aluno precisa ou pode aprender; * O professor não tem a obrigação de a tudo saber respon- der corretamente, no momento da indaga ão, mas deve ter a humildade de dizer “não sei”, mostrar disposição de pro- curar uma resposta adequada à questão e de informá-la aos alunos; « Geralmente se referindo ao ensino da geometria, é comum professores se dizerem com o direito de não ensiná-la por se sentirem inseguros; não conhecer o assunto a ser ensi- nado não gera direitos ao professor, e sim, o inevitável de- ver de aprender ainda mais. Aqui surge uma questão que não poderia faltar quando se pen- sa a respeito do conhecimento docente: qual matemática o profes- sor deve conhecer? A resposta óbvia seria: no mínimo, aquela que o professor terá que ensinar. No entanto, aqueles que cursaram a licen- ciatura em matemática sabem que nela estudaram matemática supe- rior, com seus laplacianos, jacobianos, divergentes, gradientes, rotacionais, cortes de Dedekind, intervalos encaixantes de Cauchy, topologia algébrica, geometria diferencial, entre outros conteúdos, e sempre pelo método dedutivo, repleto de demonstrações. Por isso. 8 PARA APRENDER MATEMÁTICA através de parâmetros ou de legislação ou, ainda, quando impõe cri- térios avaliativos de qualidade de ensino. A moda tem desempenhado um relevante papel na educação matemática ao mostrar novos olhares acerca do ensino, os quais for- çam educadores, pesquisadores, professores, autores de livros didá- ticos a uma reflexão referente às mudanças propostas pela moda. Em última instância, cabe aos professores a análise dos mo- dismos e, sempre tendo em vista a procura do que pode ser melhor para seus alunos, tentar separar, no antigo, aquilo que é antiquado, e, na moda, aquilo que é conveniente, pois nem sempre a novidade é boa, e nem sempre o que é antigo é ruim. Para tal reflexão, os pro- fessores devem estar sempre atentos, pois uma simples retrospecti- va das últimas décadas mostra que muitos deles acreditaram que a presença de materiais didáticos na sala de aula garantiam uma efi- ciente aprendizagem; outros acreditaram que o método Kumon cra a solução para bem aprender matemática; outros, que a etnromatemá- tica era a chave do sucesso do ensino dessa ciência; outros, ainda, viram a modelagem matemática como a redentora do ensino. ssores também foram assediados por novas téc- nicas de ensino, tais como estudo dirigido e instrução programada. Surgiram também o livro didático descartável e a utilização da cal- Muitos profe: culadora. Mais recentemente, o uso do computador c a teoria de Vigotsky exigiram posicionamentos dos professores e é de se espe- rar que novidades continuarão a surgir. É importante que o professor perceba que nenhuma delas é pa- nacéia para todos os conteúdos, cursos c alunos, mas que deve se uti- lizar dessas novidades, conforme as exigências de cada situação de ensino, semelhantemente como faz o maestro diante de vários ins- trumentos disponíveis na orquestra. Refletir sobre sua prática docente e manter-se atualizado pode ser um caminho para adquirir a lucidez crítica que a análise das mo- das exige. 3. Valorizar a experiência de magistério O uito do que o professor sabe ou precisa saber para bem desempenhar sua função, ele não aprende nos cursos de formação de professor. Escolas e livros, por melhores que sejam, não conseguem oferecer os conhecimentos que o professor adquire por meio de sua prática pedagógica. A sabedoria construída pela expe- riência de magistério, além de insubstituível, é também necessária para aqueles que desejam aprender, de modo significativo, a arte de ensinar, Nos cursos de formação continuada para professores, perce- bem-se nitidamente as diferenças entre os recém-formados e os ex- perientes. Ao longo dos anos de magistério, o professor constata que os alunos apresentam inúmeras diferentes respostas, raciocínios, obser- vações e soluções diante dos mesmos fatos, exercícios, problemas, materiais didáticos ou indagações. Não há curso superior para pro- fessores que proporcione essa riqueza de situações didáticas. Aqui está um paradoxo do qual nenhum professor escapa e que pode ser assim resumido: ao tentar ensinar, inevitavelmente ele aprende com seus alunos. A experiência de magistério é fundamental para a orientação didática do professor, porque ela aguça a percepção docente forne- sendo indicações de ordem didática, tais como: dosagem c nível de conteúdo a ser ministrado. ritmo de aula, pontos de aprendizagem 10 PARA APRENDER MATEMÁTICA mais difícil, exemplos mais eficientes à aprendizagem, livros didá- ticos mais adequados à realidade na qual leciona, entre outros. Por melhor que seja a qualidade das recomendações. sugestões e alternativas metodológicas propostas por educadores ou pesquisa- dores de outras regiões que não a de um determinado professor, elas deverão ser adequadas ao contexto no qual esse professor trabalha. E quem melhor que esse professor, que detém conhecimentos sobre a região, o bairro, a escola e seus alunos, para propor as alternati- vas mais adequadas? Os saberes da experiência podem ser melhorados, em quali- dade e em quantidade, se o professor se habilitar a refletir sobre sua prática docente c, até mesmo, a registrar os principais momentos de final, estas são ricas em dificuldades, perguntas interes- suas aula santes, conflitos, propostas, atitudes e soluções inesperadas. 4. Investir em sua formação TESES SEE SS SESI EE E SERES eg ft oi-se 0 tempo em que a obtenção de diploma era a garantia de emprego, embora o diploma nunca tivesse sido garantia de eficiência em sala de aula. Além disso, a educação recebe fortes influências dos avanços produzidos nas áreas de informática, tec- nologia educacional, ciências sociais e pesquisa educacional, as quais redundam em mudanças nas áreas de currículo, livro didáti- co, legislação e avaliação de desempenho dos alunos, entre outras. Tendo em vista que cabe ao professor se manter atualizado, é fundamental que ele possua ou adquira o hábito da leitura, além da constante procura de informações que possam melhorar sua prá- tica pedagógica. Na área da educação matemática, há atualmente centenas de dissertações e teses! defendidas no Brasil, como pro- duto de pesquisas a respeito do ensino da matemática. Existem tam- bém filmes, vídeos. propostas governamentais, materiais manipu- láveis (inclusive jogos) e programas de TV referentes ao ensino da matemática, além de produtos editoriais que seguem as mais recentes recomendações da psicologia, da pedagogia e da didática. Para mui- tos professores, um curso de especialização (360 horas) tem sido uma boa solução; outros optam pelos raros cursos de mestrado em e delas pode ser encontrada no Círculo de Estudo, Memória e Pes- quisa em Educação Matemática (Camex, da Faculdade de Educação da Uni- versidade Estadual de Campinas (Usicavr) (cempem Gnnicamp.br) 1. Grande pa 5. Auscultar o aluno abemos que o contexto social no qual a pessoa está inserida influi fortemente em seu modo de pensar e de agir, em seus interesses e necessidades e na hierarquização de seus valores. Bas- taria lembrarmos de tal influência para compreendermos por quais razões distintos alunos interpretam diferentemente um mesmo fato ou situação. No passado, professor cra sinônimo de autoridade, fora e den- tro de sala de aula. Por isso, muitos professores davam suas aulas como se fossem donos da verdade, cabendo aos seus alunos apenas ouvirem e obedecerem. Foi uma época de culto ao silêncio, na qual, como dizia Paulo Freire, “em lugar de comunicar-se, o educador faz comunicados” (1987, p. 58). Atualmente sabemos que essas são algumas das maneiras de tornar os alunos passivos, indiferentes e repetidores e. até mesmo, preconceituosos ou temerosos com relação à matemática. Se acreditamos que só o indivíduo consegue construir scu co- nhecimento e se desejamos auxiliá-lo a transformar-se num cidadão, então é preciso permitir e incentivar que nossos alunos se pronun- ciem em nossas aulas, pois não é lógico nos atermos ao “que, como, por que e quando” ensinar sem procurar conhecer “a quem” ensinar. Permitir que os alunos se pronunciem é, antes de tudo, um sinal de respeito a eles e de crença neles. Muitos alunos sentem dificulda- des para, em meio aos colegas. falarem ao professor, porém falam 16 PARA APRENDER MATEMÁTICA facilmente entre si. Portanto, os diálogos que ocorrem entre os alu- nos são, também, fonte de informação ao professor. Mais do que deixar os alunos falarem, é preciso saber ouvi- los. Durante as aulas, os alunos se exprimem através da fala, da es- crita, do olhar, de gestos; eles apresentam perguntas ou soluções, cometem erros, mostram suas dificuldades, constroem raciocínios e, dessa forma, revelam seus vocabulários, interpretações, sugestões, preferências, tendências, potencialidades, expectativas, insatisfa- ções, temores, crenças e bloqueios. Cada revelação tem seu signifi- cado que nem sempre se apresenta de forma explícita. Merece nos- sa especial atenção o silêncio do aluno, uma vez que essa atitude pode significar mais que muitas palavras. No entanto, para que o professor perceba os significados das revelações dos alunos, não basta escutá-los ou observá-los, é preci- so auscultá-los; mais do que responder a eles, é preciso falar com eles; mais do que corrigir as tarefas, sentir quem as fez e como elas foram feitas; mais do que aceitar o silêncio de alguns alunos, captar seus significados. Enfim, auscultar significa analisar c interpretar os diferentes tipos de manifestações dos alunos. O objetivo é saber quem são, como estão, o que querem e o que podem cles. Para isso ser realizado, precisamos distinguir o assunto a ser estudado da pessoa que irá aprender. De modo semelhante, é isso que desejamos ou exigimos do médico quando o consultamos: que ele trate da doença (com exames e remédios) e, também, do doente (com informações e atenção). 6. Começar pelo concreto O DD á alguns anos, assisti na televisão a uma reportagem sobre uma moça que sc tornara cega quando criança, mas que conseguira recuperar a visão anos mais tarde, após se submeter a uma cirurgia. Quando o repórter perguntou à moça o que a impressiona- ra mais dentre as coisas que ela havia visto logo que voltou a enxer- gar, ela respondeu vôo de uma borboleta”. Esse fato evidencia a potência do “ver”. Palavras não alcan- gam o mesmo efeito que conseguem os objetos ou imagens, estáti- cos ou em movimento. Palavras auxiliam, mas não são suficientes para ensinar. Tente a seguinte experiência: escolha várias pessoas que não sabem geometria espacial, peça a elas que tentem imaginar o que lhes será dito e, então, enuncie verbalmente “todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmide: Verifique se alguém conseguiu imaginar como três pirâmides conseguem compor um prisma. Em seguida, mostre a todos a figura abaixo e verifique quantas pessoas conseguiram ver nela as três pirâmides. Finalmente, chame ao seu lado uma pessoa daque- las que não conseguiram en- tender nada até o momento e, então, coloque nas mãos dela um prisma (feito de material sólido) composto por três pi- 20 PARA APRENDER MATENÁTICA O concreto palpável possibilita apenas o primeiro conhecimen- to, isto é, o concreto é necessário para a aprendizagem inicial, embo- ra não seja suficiente para que aconteça a abstração matemática. En- tre o conhecimento físico e o matemático existe um processo a ser vivenciado, o qual poderia ser iniciado com a utilização de um mate- rial que está sempre disponível e é muito funcional c eficiente: o cor- po humano. Ele constitui-se em um ótimo material didático para au- xiliar o desenvolvimento de percepção espacial, numérica e de medidas; a seguir, poderiam ser utilizados objetos manuseáveis, que permitem aos alunos usarem o tato e a visão; em seguida, passando das três para duas dimensões, viriam as imagens (representações, de- senhos). É importante que, em qualquer desses três momentos de ati- vidades apoiadas no corpo, no objeto ou na imagem, a linguagem fa- lada esteja presente por parte dos alunos para fa ilitar a reelaboração do visto, feito e interpretado. Só então é que deveria vir o registro eserito do que foi vivenciado, o que pode acontecer através da repro- dução de figuras ou, então, de símbolos criados pelos alunos numa linguagem icônica ou, ainda, através da palavra escrita. Finalmente viria a linguagem matemática, com seus símbolos próprios. Essa é uma caminhada de ensino aparentemente contraditória principalmente para matemáticos que acreditam ser a abstração (se referindo à matemática) o único caminho para aprender matemáti- ca. Na verdade, assim como é preciso abrir mão do rigor para se con- seguir o rigor, para se alcançar a abstração é preciso começar pelo concreto. 7. Considerar o contexto grupal TESE EEE ESSES EEE ç abemos que todo grupo de pessoas, seja étnico. familiar, es- colar, religioso ou empresarial, possui seus valores, expec- lativas, preferências, objetivos e linguagens que o caracteriza, mas que se alteram no tempo e no espaço. Sabemos, também, que o en- sino da matemática, para ser proveitoso ao aluno, precisa estar vin- culado à realidade na qual este está inserido. Para tanto, o ensino da matemática precisa ser planejado e ministrado tendo em vista o com- plexo contexto de identificação de seus alunos, considerando e res- peitando a cultura deles, bem como suas aspirações, necessidades e possibilidades. Pode parecer demais para algum professor de matemática que, além de conhecer o conteúdo a ser ensinado e a melhor didática para ensiná-lo, ele tenha também que conhecer a identidade cultural do meio em que leciona. Pois é, mas isto também mostra a grandiosi- dade da profissão “professor”, tão bem abordada no livro A arte do magistério, por Pullias e Young (1972). Na educação matemática é a etnomatemática que realça a va- lorização dos conhecimentos matemáticos existentes em diferentes culturas, conforme nos mostram D' Ambrosio (1986) e Gerdes (1991). A seguir, temos dois exemplos que deixam clara a importante relação existente entre o ensino e o meio cultural no qual ele se dá: a) Antes de ministrar um curso para professores de matemá- tica na Amazônia, li minuciosamente à proposta curricular 22 PARA APRENDER MATEMÁTICA da Secretaria de Educação. Já em meio ao curso, estávamos, eu e meu anfitrião, à margem do majestoso rio que banha a cidade, admirando a passagem de uma enorme chata (bal- sa) carregada somente com bujões de gás e caixas de cer- veja, quando tivemos o seguinte diálogo: (Bu) — Para onde vai tudo isso? (Professor) — Para aqui mesmo, pois, apesar desta cidade ser capital, não temos fábrica de cerveja. (Eu) - Mas, eu li na proposta curricular da Secretaria de Edu- ão para os professores le- varem seus alunos a visitar uma fábrica de cerveja. (Professor) — É verdade, está mesmo em nossa proposta, mas é porque ela foi copiada da proposta do Rio Grande do Sul, a cação daqui a sugestão/recomenda qual achamos muito boa. b Durante um curso em Rio Branco (AC) para professores de matemática, eu utilizava uma representação de um triângulo feita em madeira, com o objetivo de provocar a percepção deles de que a soma dos ângulos do triângulo dá 180º. Então, aconteceu o seguinte diálogo entre mim e uma professora: (Professora) — Gostei do material didático, mas aqui não dis- pomos de oficina didática e de tintas. (Eu) — Este material didático pode ser feito em cartolina ou papel. (Professora) - Não, porque ele umedece demais e não dá. Pensei então ter encontrado um lugar onde minha proposta di- dática fosse inadequada devido às características da região, as quais eu desconhecia. Entretanto, no dia seguinte, tive uma agradável sur- presa quando uma outra professora me apresentou um triângulo fei- to com matéria-prima da região e que funcionava perfeitamente bem: era feito com folha de bananeira. Não menos importante que considerar a identidade grupal é a experiência histórica dos alunos. 8. Aproveitar a vivência do aluno E omecemos pela professora que escreveu o seguinte proble- ma no quadro-negro: “Fui à feira com R$25,00, comprei uma dúzia de laranjas por R$1,38, dois pés de alface por R$0,79 cada um, meio quilo de tomate a R$1,80 o quilo. Paguei tudo com uma nota de R$10,00. De quanto foi o troco?”. A professora esperava que, para obter a resposta, os alunos fizessem o seguinte caminho: 079, 1800 | 200 138 10,00 | DCM 000 0,8 1,58+ 3,86 1,58 “0,90 8,14 ses No entanto, um dos alunos fez assim: 1900 07 as mo[z00 704. 1,38 079 158 0009 0,80 3,62 1,58 7,04 614 Indagado pela professora por que ele assim procedeu, o alu- no respondeu: “Quando minha mãe vai à feira, ela abre a carteira e paga uma banca por vez”. Essa história ilustra a forte influência que a vivência causa so- bre a maneira de raciocinar das pessoas, pelo menos inicialmente, 9. Partir de onde o aluno está "por que isso? Porque ninguém vai a lugar algum sem partir de onde está, toda aprendizagem a ser construída pelo alu- no deve partir daquela que ele possui, isto é, para ensinar, é preciso partir do que ele conhece, o que também significa valorizar o pas- sado do aprendiz, seu saber extra-escolar, sua cultura primeira ad- quirida antes da escola, enfim, sua experiência de vida. Com o objetivo de proporcionar um ensino partindo do mo- mento em que o aluno está, precisamos considerar os pré-requisitos cognitivos matemáticos referentes ao assunto a ser aprendido pelo aluno. Assim, por exemplo, antes de ensinar o cálculo da área do cír- culo, é preciso rever o conceito de círculo como parte do plano, o conceito de circunferência, o significado de 2rr e da constante 7. sob pena de o professor enganar-se pensando que ensinou e de o aluno pensar que aprendeu o verdadeiro significado de 712. Analogamente, antes de ensinar a tragar e a medir a altura em qualquer figura, é pre- ciso verificar se os alunos relacionam altura com a perpendiculari- dade e não com a verticalidade. De modo semelhante, o ensino da adição deve anteceder ao da multiplicação, a operação potenciação deve vir antes da logaritmação, a proporcionalidade antes da regra de três, o cálculo combinatório antes do probabilístico. Afinal, a matemática é um corpo de conhecimentos ordenados logicamente. Nessa mesma linha de pensamento, os níveis de van Hiele po- dem auxiliar o ensino da geometria, se obedecidos. Esses níveis po- dem ser retratados, genericamente, pela seguinte situação: uma fi- 28 PARA APRENDER MATEMÁTICA, gura retangular é mostrada para vária pessoas que devem comen- tar o que vêem e, então, podem surgir quatro tipos de observações: a) tem a forma de uma tampa de caixa de sapato; b) vejo 4 lados, 2 maiores e 2 menores, os lados opostos são paralelos, tem 4 ângulos retos; c) é um paralelogramo com 4 ângulos retos; d) se os lados forem paralelos, 2 a 2, e se um dos ângulos for reto, então a figura é um retângulo. Note que essas observações revelam: em a), a predominância do referencial concreto; em b), a identificação de propriedades que ca- racterizam o objeto, o que denota a presença do pensamento analíti- co; em c), a existência de uma síntese expressa pela palavra “parale- logramo”. Nesse nível, estão as pessoas que percebem a inter-relação de propriedades numa mesma figura ou entre duas figuras; em d), a utilização da dedução, a possibilidade da construção de prova. Tanto os pré-requisitos matemáticos como os estágios de cons- trução do pensamento, propostos por Piaget (pré-operatório. opera- tório concreto, operatório formal), como também os níveis de pen- samento geométrico de van Hiele, apontam para a existência de etapas ordenadas de desenvolvimento do pensamento humano. Tais ordenações devem ser respeitadas pelos professores que desejarem obter uma aprendizagem com compreensão e, se acreditarem na importância disso, convém que reflitam sobre qual seria a ordem natural ou didática para as seguintes duplas operativas: análise/sín- tese, simples/complexo, conceito/definição, compreensão/memori- zação, verbalização/escrita, experimentação/formalização, desejo de aprender/aprender. intuição/dedução. Porém, respeitar ordenação de etapas significa não saltar cta- pas no ensino, e isto nem sempre é fácil na prática pedagógica. 10. Não saltar etapas s vezes, nós professores parecemos tão preocupados em en- sinar que não temos paciência para esperar que os alunos aprendam e, assim, mostramos o nosso saber sem darmos atenção ao aprender dos alunos. Por que isso acontece? À causa provavelmen- te está relacionada com uma das mais fregientes lamentações dos professores de matemática: a falta de tempo para ensinar todo o pro- grama. Outra possível causa é o professor não se dar conta de que, a cada ano de magistério, o conteúdo programático parece mais sim- ples e fácil a ele, mas o mesmo não acontece aos alunos devido à re- novação das turmas, sempre na mesma faixa etária. Em alguns momentos, saltamos etapas no ensino por desco- nhecimento minucioso do conteúdo, ou por não utilizar a melhor es- tratégia didática, ou por falta do material didático adequado. Matrículas sem o necessário nível de desenvolvimento das crianças também podem causar dificuldades a elas. É o caso das crianças cujos pais, pretendendo favorecer o progresso escolar dos filhos, os matriculam na 1º série com 6 anos de idade, desprezando as atividades de percepção matemática desenvolvidas na pré-escola e que são fundamentais aos estudos de matemática da 1º série. Um exemplo de salto que deve ser evitado pelo professor é aquele que pode ocorrer quando os pais forçam a escola a ensinar crianças a escreverem os símbolos numéricos, para então se seguir à leitura deles. Os leigos argumentam que as crianças já conhecem os símbolos porque os encontram em seu cotidiano. 11. Respeitar a individualidade do aluno ão existem alunos iguais: há diferenças entre os alunos de uma mesma série, entre os de uma mesma turma; entre dis- tintos momentos de um mesmo aluno. Cada aluno é um grande com- plexo de fatores que abrangem as áreas física, afetiva, social e cog- nitiva; eles estão cm desenvolvimento simultâneo e com ritmos diferentes. Em razão de sua história de vida, cada aluno está num deter- minado estágio de desenvolvimento que é diferente do de seus co- legas. Assim sendo, é natural que os alunos possuam diferentes ha- bilidades, competências, preferências, linguagens, limites, ritmos de trabalho, modos de aprender e de agir, enfim, suas características intrínsecas. As diferenças individuais precisam ser consideradas pelos professores, mesmo reconhecendo que elas são complicadores para a prática pedagógica, pois seria mais fácil se todos os alunos fossem iguais. Já se foram os tempos em que os alunos, por serem conside- rados iguais em cada turma, eram tratados igualmente como meros expectadores e avaliados pelos mesmos critérios, ocasionando efei- tos educacionais negativos nos alunos. À história que se segue, adaptada do original de Teles (1983), ilustra essa ultrapassada concepção de educação: Um dia, os bichos decidiram criar uma escola só para eles, por- que perceberam que estava difícil enfrentar a vida utilizando-se ape- nas de seus instintos inatos. Contrataram ótimos professores, todos 34 PARA APRENDER MATEMÁTICA com títulos e experiência docente, para ensinar-lhes a correr, nadar, voar, subir morros e ultrapassar obstáculos. Os primeiros matricu- lados foram o cisne, o coelho, o gato, o cachorro e o pato. Contor- me o curso se desenvolvia, os alunos iam se desencantando com a escola, perdendo suas ilusões e enfraquecendo suas auto-imagens. Vejamos o que aconteceu com cada bicho. O cisne era ótimo em nata O e até conseguia voar um pouco, mas nas outras disciplinas só obtinha notas baixas. O coelho era bom aluno nas corridas e nas subidas de morros, mas não conseguia apren- der a nadar e, menos aind: voar. O gato tinha problemas semelhan- tes aos do coelho. Ambos chegaram a pleitear da direção da escola que fosse considerado voar só de cima para baixo, pois, assim, eles poderiam obter algum êxito. O cachorro também gostou desta idéia, que não foi aprovada pela ola e, apesar de obter ótimas notas em corrida, superação de obstáculos e subida de morros, ele foi repro- vado porque não aprendeu a voar. O pato teve mais sorte; nadava (pior que o cisne), corria mais ou menos, voava um pouco, subia morros (lentamente) e superava alguns obstáculos. Embora medío- cre em tudo, conseguiu nota mínima para aprovação, enquanto seus colegas foram reprovados. Tal situação causou reclamação geral, pois cada bicho tinha tido melhor desempenho que o pato em algu- ma disciplina. No entanto, tendo em vista que o pato obteve a me- lhor média, ele foi escolhido como orador da turma e considerado o melhor aluno dela. Essa história dos bichos mostra-nos que é enganoso conside- rar todos os indivíduos como se fossem iguais entre si, o que nos induz à questão: o caminho para aprendizagem daquilo que a socie- dade propõe como essencial deve passar pelo respeito à individua- lidade? Caso sim, é preciso lembrar que reconhecer a existência de diferenças individuais é il. O difícil é realizar uma prática peda- gógica que considere as habilidades e limitações peculiares sem jus- tificar ou legitimar a mediocridade. SERGIO LORENZATO 35 Ao exigir que os alunos se nivelem, a escola consegue dois pre- juízos educacionais: o fracasso daqueles que não possuem as habili- dades exigidas e o não desenvolvimento das habilidades possuídas, ambos com conseqiiências desastrosas, tanto para o indivíduo como para a sociedade. Felizmente, assim já pensava meu professor de música, do curso normal, e me aprovou. Como reconhecimento de que os alunos possuem diferentes características, cabe ao professor favorecer o desenvolvimento das potencialidades deles por meio da utilização de diferentes recursos didáticos, sejam eles manipulativos, visuais ou verbais, como ilus- tra o caso das três pirâmides que compõem um prisma, visto no Prin- cípio 6. Também é preciso acolher e discutir as diferentes estraté- gias de solução apresentadas pelos alunos. Assim, por exemplo, diante da questão “tinha 42, ganhou 12, perdeu 6, ganhou 7 e deu 8; com quanto ficou?”, o professor esperava o seguinte raciocínio: 42 5 48 5a + - + od 12 [o im 8 54 48 55 47 Na verdade, este foi o caminho preferido por vários dos alu- nos. mas houve quem escolheu o seguinte, igualmente correto: 42 6 81 + js 2 + 8 14 iz 14 47 61 Sergio, com 6 anos, não conhecia que a “soma das medidas dos ângulos internos de um tr ngulo qualquer é 180º”. No entanto, ao encontrar uma representação de um triângulo feita em cartolina que ilitava a ele justapor os três ângulos, como mostra a figura se- 38 PARA APRENDER MATEMÁTICA Um dia, o menino e sua família mudaram-se para outra cida- de. A partir de então, ele passou a fregientar outra escola. Logo no primeiro dia, a nova professora disse: — Hoje. vamos fazer um desenho. Então o menino esperou que a professora explicasse o quê, como e quando fazer. mas ela nada disse. Vendo que ele não dese- nhava, a professora veio até o menino é perguntou: — Você não quer desenhar? — Sim, ele disse, mas não sei o que devo desenhar. — Faça o que quiser, disse a professora. — Mas de que cor'?, perguntou o menino. — Se todos os alunos fizerem o mesmo desenho e com as mes- mas cores, não poderei saber qual o desenho de cada um, respondeu a professora. Então, o menino desenhou uma flor vermelha com o caule verde. 12. Tomar cuidado com o simples, o óbvio e o acerto simples, o evidente & o acerto têm sido interpretados, por muitas pessoas, como facilitadores ou indicadores de apren- dizagem. No entanto, eles não devem ser subestimados pelo profes- sor, uma vez que podem, também, se tornar complicadores para a sig- nificativa aprendizagem. Isto porque o acerto dos alunos nem sempre é resultado de compreensão, e porque o simples e o evidente podem ser considerados pelo professor como merecedores de pouca ou ne- nhuma explic aos alunos. Uma visão mais detalhada deste Princípio 12 requer que nos coloquemos no lugar dos alunos, principalmente se estes forem crianças. Para quem tiver dificuldades em fazer este exercício, bas- ta ler Quando eu voltar a ser criança, de Janusz Korczak (1981). Vejamos, agora, algumas situações verídicas cujas análises po- dem auxiliar nossas reflexões didáticas: a) Em 16 de novembro de 2003, um canal de televisão apre- sentou uma reportagem recente sobre índios Parcci, mos- trando alguns deles visitando um shopping em Palmas (TO). Naquele ambiente, a um dos índios que parecia muito espantado com o que via, o repórter indagou: está gostando mais do shopping”. E a resposta foi: “da escada” (rolante) e do “2 eu”. Esclarecendo o que signifi- cava o “2 eu”, a intérprete acompanhante explicou: “Ele se “o que você 40 PARA APRENDER MATEMÁTICA SERGIO LORENZATO 41 refere ao espelho no qual ele se viu pela primeira vez, de corpo inteiro”. Isto nos indica que um mesmo fato, fenô- meno ou situação pode causar diferentes reações às pes- soas: o que é óbvio para alguns pode ser surpreendente para outros. Nas aulas de matemática, quase tudo provavelmente é óbvio para o professor e quase tudo é novidade para os alunos. Portanto, cabe ao professor tomar cuidado com o que lhe é evidente. Essa história verídica serve também para reforçar o que havia sido abordado no Princípio 6, pois é bem provável que mil palavras explicando ao índio sobre o uso do espelho não tivessem causado o mesmo efeito que foi provocado pelo fato de ele se ver no espelho. b) Um experimento piagetiano, com crianças de 5 anos, apre- sentava dois cachorros, um grande e outro pequeno, dian- te de suas respectivas casinhas, uma grande com porta gran- de e a outra pequena com porta pequena; às crianças cra perguntado: o cachorro grande passa pela porta pequena? E o cachorro grande passa pela porta grande? A expectati- va dos adultos era de que as crianças respondessem “não” à primeira pergunta, e “sim” à segunda. E todas as crian- ças fizeram exatamente isso, deixando os pesquisadores sa- tisfeitos. A surpresa veio quando várias crianças responde- ram “não” à pergunta: o cachorro pequeno passa pela porta grande? Justificativa delas: “porque o cachorro grande vai ficar brabo”. c) No primeiro dia em que uma criança de 3 anos morava num apartamento, sua mãe lhe disse: “chame o elevador”; en- tão a criança foi para perto do elevador e disse: “elevador, vem aqui”. Uma criança de 7 anos, quando indagada: “qual é a meta- de de 87”, respondeu que era zero e justificou: “porque 8 é uma bolinha em cima da outra”. d e) Diante do exercício “tire 7 de 37”, um aluno de 7 anos res- ponde 3, o professor considera certo e passa para o seguinte “tire 5 de 2: ”, ao qual o aluno responde: “não pode porque no 24 não tem 5”. Isto nos indica que esse aluno entendeu que era para retirar o algarismo (7) do numeral (37) e não a quantidade 7 da quantidade 37. f) Para uma criança de 8 anos foi proposta a questão: “se estamos em 2001 e seu irmão nasceu em 1994, quantos anos ele tem?”. A criança respondeu 7 anos e explicou que fez 2001 menos 1994. Tudo parecia bem até a questão: “quantos anos faltam para chegarmos em 2015?”, para a qual a criança respondeu 4016 e justificou: “somei 2015 com 2001, porque para chegar em 2015 é preciso ir para a frente e para frente é mais”. Essa situação indica-nos que é prejudicial à aprendizagem a criação de modelos ou tipificação de idéias, tais como: “quando no enunciado do problema contiver a palavra falta, a conta é de menos”: “na multiplicação, o resultado sempre é grande”, “porcentagem dá sempre menor que 100”. Pesquisas recentes indicam que as crianças concebem ini- cialmente o ato de medir como percorrer distâncias ou como comparação de grandezas (LANNER DE MOURA, 1995), enquanto os adultos transformam as medidas em números. Depois de ensinar o algoritmo da divisão, a professora per- guntou aos alunos se tinham entendido; um deles respon- = 8 h deu: “acho que sim, mas não entendi por que para somar, subtrair e multiplicar, cu devo fazer as contas começando da direita, mas na divisão é o contrário”. 1) Existe um quebra-cabeça que consiste num tetraedro regu- lar (mais conhecido por pirâmide de base triangular), sub- dividido em duas partes congruentes (iguais). Essas partes devem ser dadas separadamente ao aluno, para que cle 
