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Capítulo 6
A Matemática grega
Euclides, ao ser indagado por um aluno sobre a utilidade prática da geometria, ordenou a seu escravo que desse a ele uma moeda "para que tivesse algum ganho com o que estava aprendendo".
Stobaeus
5.1 EUCLIDES E SEUS ELEMENTOS
Depois da morte de Alexandre, em 323 a.C., seu império se dividiu entre alguns de seus líderes militares, resultando na emergência de três impérios, com governos independentes, mas unidos pelos laços da civilização helênica decorrente das conquistas de Alexandre. O Egito coube a Ptolomeu e este escolheu Alexandria como sua capital e, para atrair homens de saber à sua cidade, imediatamente começou a construir a famosa Universidade de Alexandria. Trata-se da primeira instituição do gênero e sua organização e objetivos logo vieram se assemelhar aos das universidades atuais. Supostamente era bem provida de recursos e seu projeto agradável e bem elaborado continha salas de aula, laboratórios, jardins, bibliotecas bem aparelhadas e habitações. O fulcro da instituição era a grande biblioteca, que por muito tempo foi o maior repositório de registros culturais de todo o mundo e que dentro de quarenta anos após sua fundação ostentava mais de 600 000 rolos de papiro. Por volta de 300 a.C. a universidade abriu suas portas e daí para a frente, por quase um milênio, Alexandria se tornou a metrópole intelectual da raça grega.
Para montar uma equipe de intelectuais de alto gabarito na universidade, Ptolomeu recorreu a Atenas, convidando o ilustre Demétrio Faleiros para dirigir a grande biblioteca. Homens de talento e capacidade foram escolhidos para desenvolver os vários campos de estudo. Euclides, possivelmente também oriundo de Atenas, foi escolhido para chefiar o departamento de matemática.
É desapontador mas muito pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides, salvo que foi ele, segundo parece, o criador da famosa e duradoura escola de matemática de Alexandria da qual, sem dúvida, foi professor. Desconhecem-se também a data e o local de seu nascimento, mas é provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas.
Embora Euclides fosse autor de pelo menos dez trabalhos (textos razoavelmente completos de cinco deles chegaram até nós versando sobre tópicos variados,desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas), sua fama repousa principalmente sobre seus Elementos. Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições impressas dos Elementos já apareceram desde a primeira delas em 1482 em Veneza; por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino de geometria. É lamentável que não se tenha descoberto nenhuma cópia dos Elementos de Euclides que date verdadeiramente da época de seu autor.
Nenhuma descoberta nova é atribuída a Euclides, mas ele era conhecido pela sua capacidade de ensinar. Essa é a chave de sucesso de sua maior obra, os Elementos. Era, francamente um livro texto e de modo nenhum o primeiro. A primeira tentativa nesse sentido foi feita por Hipócrates de Chios e a seguinte por Lêon, cuja época se situa entre Platão e Eudoxo. A Academia também tinha seus Elementos - uma coleção admirável e muito elogiada escrita por Teúdio de Magnésia. Ao que parece a geometria de Teúdio foi a precusora imediata do trabalho de Euclides. Os Elementos de Euclides não eram simplesmente um compêndio de todo o conhecimento geométrico; ao contrário, trata-se de um texto introduzido cobrindo toda a matemática elementar - isto é, aritmética (no sentido de "teoria dos números"), geometria sintética (de pontos, retas, círculos e esferas) e álgebra (não no sentido simbólico moderno, mas um equivalente em roupagem geométrica). Note-se que a arte de calcular não está incluída, pois não era parte da instrução na universidade; nem o estudo das cônicas ou de curvas planas de maior grau, pois esse era parte da matemática mais avançada.
5.2 O CONTEÚDO DOS "ELEMENTOS"
Apesar da grande importância do conteúdo dos Elementos, talvez mais importante ainda seja a maneira formal como se apresenta esse conteúdo. Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio. A fim de se estabelecer uma afirmação num sistema dedutivo, deve-se mostrar que essa afirmação é uma conseqüência lógica necessária de algumas afirmações previamente estabelecidas. Estas, por sua vez, devem ser estabelecidas a partir de outras também estabelecidas previamente e assim por diante. Como a cadeia não pode recuar indefinidamente, deve-se, ao início, aceitar um corpo finito de afirmações não demonstradas para evitar imperdoáveis círculos viciosos consistindo em provar uma afirmação A partir de uma afirmação B e depois fazer o contrário. Essas afirmações assumidas inicialmente se denominam postulados ou axiomas do discurso e delas devem decorrer todas as demais afirmações do discurso. Quando se arranjam dessa maneira as afirmações de um discurso diz-se que ele se apresenta na forma postulacional ou axiomática.
Os Elementos estão divididos em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço. Não há introdução ou preâmbulo, e o primeiro livro começa abruptamente com uma lista de vinte e três definições. A deficiência, aqui, é que algumas definições não definem, pois não há um conjunto prévio de elementos não- definidos em termos dos quais os outros sejam definidos. Assim, dizer como Euclides, que "um ponto é o que não tem parte", ou que "uma reta é o comprimento sem largura", ou que "uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura" não é definir esses entes, pois uma definição deve ser expressa em termos de coisas precedentes que são melhor conhecidas que as coisas definidas.
Em seguida às definições, Euclides dá uma lista de cinco "axiomas" ou noções comuns e cinco postulados geométrico: A1) Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si. A2) Adicionando-se iguais a iguais, as somas são iguais. A3) Subtraindo-se iguais de iguais, as diferenças são iguais. A4) Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si. A5) O todo é maior do que a parte. P1) É possível traçar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer. P2) É possível prolongar uma reta finita indefinidamente em linha reta. P3) É possível descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. P4) Todos os ângulo retos são iguais entre si. P5) Se uma reta intercepta duas retas formando ângulos interiores de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se essas duas retas indefinidamente elas se encontrarão no lado em que os dois ângulos são menores do que dois ângulos retos.
Os Elementos pretendem deduzir todas as suas 465 proposições dessas dez afirmações! O desenvolvimento é sintético, consistindo em derivar o desconhecido e mais complexo do conhecido e mais simples.
A maior parte das 48 proposições do Livro I é dada em qualquer curso de geometria de escola secundária. Contém os teoremas familiares sobre congruência de triângulos (mas sem um axioma que justifique o método de superposição), sobre construções simples com régua e compasso, sobre desigualdades relativas a ângulos e lados de um triângulo, sobre propriedades de retas paralelas (levando ao fato de ser a soma dos ângulos de uma triângulo igual a dois ângulos retos), e sobre paralelogramos com atenção especial a relações entre áreas.
É interessante fazer alguns comentários adicionais sobre algumas poucas proposições. Assim, por exemplo, a proposição 4 estabelece a congruência de dois triângulos quando dois lados e o ângulo formado por eles num dos triângulos forem iguais a dois lados e o ângulo formado por eles no outro. A demonstração se faz por superposição: colocando-se o ângulo dado de um dos triângulos
geometria do círculo dada nos Livros III e IV se encontra no trabalho dos pitagóricos, é provável que o material desses livros tenha sido fornecido pelos sofistas e pelos pesquisadores dos três problemas famosos, em destaque Hipócrates de Chios.
O Livro V é uma exposição magistral da teoria das proporções de Eudoxo. Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o "escândalo lógico" decorrente da descoberta dos números irracionais pelos pitagóricos. A definição de proporção, ou igualdade de duas razões, eudoxiana é notável e digna de ser repetida aqui: " Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta quando, tomando-se equimúltiplos quaisquer da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondente. " Em outras palavras, se A, B, C e D são quatro grandezas desprovidas de sinal, sendo A e B da mesma espécie (ambas segmentos de reta, ou ângulos, ou áreas, ou volumes) e C e D também da mesma espécie, então a razão entre A e B é igual à razão entre C e D se, para inteiros positivos arbitrários m e n, sempre que mA>nB, então mC>nD; ou se mA=nB, então MC=ND; ou se mA<nB, então mC<nD. Para mostrar que 36 é igual a 48 por exemplo, multiplicamos 3 e 6 por 4 para obter
12 e 24 e multiplicamos 4 e 8 por 3, obtendo o mesmo par de números 12 e 24. Se tivéssemos usado 7 e 13 como multiplicadores, obtendo o par 21 e 42 no primeiro caso e 52 e 104 no segundo e assim como 21 é menor que 42 também 52 é menor que 104. A teoria das proporções eudoxiana forneceu a fundamentação, posteriormente desenvolvida por Dedekind e Weierstrass, para o sistema dos números reais da análise matemática.
O Livro VI aplica a teoria das proporções eudoxiana à geometria plana. Encontramos nele os teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; construções de terceiras, quartas e médias proporcionais; a resolução geométrica de equações quadráticas; a proposição que assegura que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados; uma generalização do teorema de Pitágoras na qual, em vez de quadrados, traçam-se sobre os lados de um triângulo retângulo três figuras semelhantes descritas de maneira análoga; e muitos outros teoremas.
Os Livros VII, VIII e IX, que no total têm cento e duas proposições, tratam da teoria elementar dos números. O Livro VII começa por uma lista de vinte e duas definições distinguindo vários tipos de números - ímpares e pares, primos e compostos, planos e sólidos (isto é, os que são produtos de dois ou três inteiros) e finalmente definindo número perfeito como " aquele que é igual às suas partes ." Em seguida versa sobre o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si. O Livro VIII é dos menos interessantes, ocupa-se largamente das proporções contínuas e progressões geométricas relacionadas. Se temos uma proporção contínua a : b = b : c = c : d, então a, b, c e d formam uma progressão geométrica.
No Livro IX encontram-se muitos teoremas significativos. A proposição 14 é equivalente ao importante teorema fundamental da aritmética - a saber, que todo inteiro maior que 1 pode se expressar como produto de primos de uma e, salvo quanto à ordem dos fatores, uma só maneira. A prova de Euclides da proposição 20 ( o número de números primos é infinito ) é considerada universalmente pelos matemáticos como um modelo de elegância matemática. Ela emprega o método indireto, ou reductio ad absurdum , e em linhas gerais é o seguinte. Suponha que só houvesse um número finito de números primos e denote-os por a, b, ..., k. Faça P = (a) (b) ... (k) e N = P + 1. Então N ou é primo ou é composto. Mas como a, b, ..., k são todos os primos, N que é maior que cada um desses números, não pode ser primo. Logo N é composto e deve ser divisível por algum primo p. Mas p não pode ser nenhum dos elementos a, b, ..., k, pois se não seria um fator de 1. Logo p deve ser um primo diferente de a, b, ..., k. Portanto, a hipótese de que o conjunto dos números primos é finito leva a um absurdo, o que estabelece o teorema.
A proposição 35 fornece uma dedução geométrica da fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica, expressa em termos elegantes mas pouco usuais: " Se tantos números quantos quisermos estão em proporção continuada, e se subtrairmos do segundo e último números iguais ao primeiro, então assim como o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso
do último estará para todos os que o precedem ". Esse enunciado, é claro, é equivalente à fórmula
1
2 1 1 2 n
n 1 1 a
a a a a ... a
a a
, que por sua vez equivale a 1 r
a ar S
n n (^)
Antes do advento da álgebra moderna o Livro X era o mais admirado - e o mais temido. Trata
da classificação sistemática de segmentos incomensuráveis das formas a b, a b, a b e
a b , onde a e b, quando da mesma dimensão, são comensuráveis. Hoje diríamos que esse
livro trata de números irracionais dos tipos acima, onde a e b são números racionais. O Livro X contém 115 proposições - mais do que qualquer outro - a maior parte das quais contém equivalentes geométricos de números expressos com radicais quadráticos. Entre os teoremas há alguns
equivalentes aos processos para racionalizar denominadores de frações da forma a (b c) e
a ( b c). Segmentos dados por raízes quadradas, ou por raízes quadradas de somas de raízes
quadradas, são quase tão fáceis de construir com régua e compasso quanto combinações racionais. Uma razão para os gregos construírem uma álgebra geométrica em vez de uma álgebra aritmética é que, na falta de um conceito de número real, a primeira parecia mais geral.
Os três livros restantes, XI, XII e XIII tratam de geometria sólida e cobrem grande parte do material comumente encontrado nos textos para a escola secundária. As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos se encontram no Livro XI. As dezoitos proposições do Livro XII são todas referentes à medida de figuras usando o método de exaustão. O livro começa com uma prova cuidadosa do teorema que diz que as áreas de círculos estão entre si como os quadrados dos diâmetros. Aplicações semelhantes do típico método de redução ao absurdo são então feitas a medidas volumétricas de pirâmides, cones, cilindros e esferas. O último livro é inteiramente dedicado a propriedades dos cinco sólidos regulares onde se desenvolvem construções visando a inscrição desses sólidos numa esfera.
5.3 OUTROS TRABALHOS DE EUCLIDES
Euclides escreveu vários outros tratados, além dos Elementos , alguns dos quais sobreviveram até nossos dias. Um dos últimos, chamado Os Dados , servia de complemento aos seis primeiros volumes de Os Elementos , de modo semelhante a um manual de tabelas. Pode-se definir um dado como um conjunto tal de partes ou relações de uma figura que, tendo-se todas, menos uma delas, então a restante está determinada. Assim as parte A, a e R de um triângulo, em que A é um ângulo, a é o lado oposto e R é o raio do círculo circunscrito, constituem um dado; dadas duas dessas partes, a terceira está determinada. Isso é óbvio, ou geometricamente ou a partir da relação a 2 Rsen(A). É evidente que uma coleção de dados dessa natureza poderia ter sido útil na análise
que precede a descoberta de uma construção ou de uma prova e é esse, sem dúvida, o objetivo do trabalho.
Outro trabalho geométrico de Euclides, que chegou a nós através de uma tradução árabe, é o livro Divisão de Figuras. Encontramos nessa obra problemas de construção em que se pede a divisão de uma figura por meio de uma reta, impondo-se que as áreas das partes estejam numa razão dada. Um exemplo é o problema de dividir um triângulo dado em duas áreas iguais por meio de uma reta que passe por um ponto interior ao triângulo.
Há outros trabalhos de Euclides conhecidos apenas por comentários posteriores, pois se perderam. É o caso de Pseudaria ou livro das falácias geométricas e de Porismas. Entende-se hoje por porisma uma proposição que expressa uma condição que se traduz num certo problema solúvel, tendo o problema então infinitas soluções. Por exemplo, se r e R são os raios de dois círculos e d é a distância entre os centros, o problema de inscrever um triângulo no círculo de raio R que circunscreva
o círculo de raio r é solúvel se, e somente se, R 2 d^2 2 Rr, e nesse caso há infinitas soluções.
Os outros trabalhos de Euclides referem-se à matemática aplicada, sendo que dois deles ainda existem: Os Fenômenos , obra que focaliza a geometria esférica necessária para a astronomia de observação e a Óptica , um tratado elementar de perspectiva. Supõe-se também que Euclides tenha escrito um trabalho com o título de Elementos de Música.
