Logaritmo propriedades, Exercícios de Matemática

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TURMA PDE 2016

Título: Pensamento combinatório: uma análise a partir do uso de jogos no 9º ano

Autor: Eliane Aparecida D’ Antonio

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Juscelino Kubitschek de Oliveira - Ensino Fundamental, Médio e Profissional, localizado na Avenida Dr Luis Teixeira Mendes n° 3075 - Zona 5.

Município da escola: Maringá-Pr

Núcleo Regional de Educação: Maringá

Professor Orientador: Sandra Regina D’ Antonio Verrengia

Instituição de Ensino Superior: UEM

Relação Interdisciplinar: Não há

Resumo: (^) Este Plano de Desenvolvimento Educacional

apresenta uma proposta de intervenção pedagógica para o ensino de Análise Combinatória e Probabilidade a ser desenvolvida com alunos do 9º ano sob o enfoque de jogos. A escolha de jogos, deve-se a seu caráter dinâmico e de construção ativa por parte dos discentes, que frente às

precisa buscar meios de dar vida a essa ciência, mostrando que a matemática está presente em nosso dia a dia de várias maneiras, pois se constitui a partir dos problemas desencadeados em sociedade. Dentre os diversos conteúdos matemáticos abordados no ensino fundamental, a Análise Combinatória e a Probabilidade se destacam por sua aplicação e presença em situações do nosso cotidiano tendo, segundo Lopes e Meirelles (2005), suas raízes na solução de problemas de jogos e no processamento de dados estatísticos. O desenvolvimento histórico desses conceitos, atrelado às necessidades humanas faz com que a Análise Combinatória e a Probabilidade estejam presentes em diversas áreas do conhecimento como: na medicina, geologia, economia, política, engenharia, além de ser utilizada em muitas outras situações do dia a dia. Assim, por meio de jogos, de forma diferenciada e atrativa, é possível estimular o interesse dos alunos pelo estudo dos temas abordados, destacando sua real importância e presença na sociedade. Para Borin (1995), a atividade de jogar, se bem orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio (organização, atenção e concentração), na descentralização (ver algo partindo de um ponto de vista diferente do seu e chegar a uma conclusão), no desenvolvimento da linguagem, criatividade e raciocínio dedutivo, além de diminuir bloqueios de alunos que temem a matemática e se sentem incapazes de aprendê-la. Ainda segundo a autora, para atingirmos esses objetivos devemos fazer uso da metodologia de Resolução de Problemas, uma vez que durante os jogos, algumas técnicas aparecem naturalmente como: “tentativa e erro; redução a um problema mais simples; resolução de um problema de trás para a frente; representação do problema através de desenhos, gráficos ou tabelas; analogia a problemas semelhantes” (BORIN, 1995, p. 11).

OBJETIVOS Objetivo geral: Utilizar os jogos como instrumento para a concretização do ensino-aprendizagem de conteúdos de análise combinatória e probabilidade.

Objetivos específicos: ● Desenvolver o raciocínio combinatório e o conceito de contagem por meio de situações-problema e atividades desencadeadas a partir do jogo; ● Compreender os conteúdos vinculados à Análise Combinatória e Probabilidade, relacionando-os aos jogos de azar e demais acontecimentos do cotidiano de natureza aleatória; ● Descrever o espaço amostral em um experimento aleatório; ● Calcular as chances de ocorrência de um determinado evento.

UNIDADE DIDÁTICA Pensando na dificuldade que temos em atrair a atenção dos alunos pelos conteúdos escolares, especialmente pela Matemática e da grande necessidade em se buscar por novas metodologias e estratégias que despertem o interesse dos discentes e auxiliem no processo de ensino e aprendizagem da matemática, é que nos propomos a desenvolver essa unidade didática. O trabalho proposto é composto por uma sequência de ações que visam partir da situação do jogo para transformá-la posteriormente em situações-problema, no intuito de fazer com que a aprendizagem de conceitos matemáticos relacionados ao ensino de Análise Combinatória e Probabilidade por parte dos discentes ocorra de forma significativa e não mecânica, como tem ocorrido na maioria das vezes. No decorrer da implementação, as atividades propostas poderão sofrer alterações, seja modificando-as ou mesmo incluindo outras, visto que o ambiente escolar é suscetível à mudanças de caráter administrativo e pedagógico. No que diz respeito à avaliação, ocorrerá durante todo o processo, em cada uma das ações implementadas, por meio de registros, a partir das situações-problema desencadeadas com o jogo, dos questionamentos suscitados, da socialização das estratégias utilizadas e da realização de outras situações-problema propostas pelo professor. A seguir descreveremos as ações propostas nessa unidade didática, bem como as possíveis intervenções e encaminhamentos a serem realizados.

● Perceber, por meio das situações-problema propostas, a diferença entre agrupamentos em que a ordem dos elementos importa e, agrupamentos onde, mesmo alterando a ordem dos elementos, não se alteram as respostas, ou seja, cuja ordem dos elementos não importa; ● Proporcionar a interação entre alunos e entre alunos e professor. Recursos: Sulfite, lápis de cor, cola, atividade impressa, quadro e giz. Encaminhamentos metodológicos: ● Organize a sala em grupos de 4 alunos – 2 duplas; ● Explique como será feita a confecção da fita; ● Distribua a atividade impressa, contendo as regras e questionamentos posteriores para cada dupla; ● Deixe claro, que cada aluno deve fazer o registro das situações desencadeadas pela atividade em seu caderno, assim como a resolução de todas as situações-problema propostas.

Atividade 1 A fita colorida e a análise combinatória^1 Figura 1 : fita colorida

Fonte: elaborada pela autora

Confeccionando a fita: 1 - Pegue uma folha de sulfite e dobre-a ao meio; 2 - Repita esse procedimento por mais duas vezes;

(^1) Atividade adaptada da obra : “Mágicas com papel, geometria e outros mistérios” MALAGUTTI, Pedro Luiz Aparecido ; SAMPAIO, João Carlos Vvieira. Mágicas com papel, geometria e outros mistérios. São Carlos: Edufscar, 2014. 163 p. (Coleção matemática).

Importante: as dobras devem ser feitas no mesmo sentido da anterior. Ao final da 1ª e 2ª etapa, você terá como resultado uma folha subdividida em oito partes iguais. 3 - Reforce as dobras e, em seguida, abra a folha; 4 - Pinte as partes obedecendo a sequência: amarelo, vermelho, verde escuro, azul escuro até terminar de pintar todas as partes; 5- Dobre agora a folha ao meio no sentido contrário ao das dobras anteriores, reforçando bem a dobra; 6 - Cole as extremidades da folha de modo que ambos os lados fiquem com o mesmo registro de cores. O resultado será uma fita colorida com ambos os lados pintados; Exemplo: uma parte amarela em ambos os lados, outra vermelha em ambos os lados, e assim por diante. 7 - Ao término da colagem reforce novamente as dobras. Regra: O desafio é dobrar a fita, sobrepondo uma parte sobre a outra como um efeito sanfona, de modo a formar padrões ordenados, predefinidos com algumas das quatro cores. OBSERVAÇÃO: nos itens a, b e c para facilitar a visualização de seus registros, utilize traços, círculos ou um outro símbolo que preferir na cor utilizada. Agora, responda: a) Quantos e quais são os resultados possíveis com apenas duas partes?

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b) Quantos e quais são os resultados possíveis com cinco partes em que a cor amarela apareça pelo menos uma vez?

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Atividade 3 A professora Ana Lúcia quer escolher dois alunos entre os seis 6 líderes de cada grupo, representados pelos alunos: João, Cláudia, Maria, Rafael, Daniela e Marcos, para formar uma dupla que apresentará para a comunidade escolar uma pesquisa sobre o uso da internet entre os adolescentes: aspectos positivos e negativos. Quantas duplas diferentes a professora poderá formar?

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Atividade 4 Na sorveteria de Francisco, os clientes possuem uma grande variedade de sabores para fazer suas escolhas. Dentre as opções da sorveteria, Mariana tem preferência por quatro sabores: chocolate, morango, creme e flocos. Sabendo que Mariana irá à sorveteria de Francisco hoje à noite com um grupo de amigos, quantas possibilidades ela tem para escolher duas bolas entre os quatro sabores de sua preferência?

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Perceba que na atividade 4, o enunciado é amplo pois se o aluno considerar que a ordem em que se colocam as bolas na casquinha importa, encontrará um resultado, e que se ele considerar, como normalmente é feito nas sorveterias, em que a ordem dos sabores não importa, encontrará outro resultado. No momento da socialização, caso não apareça as duas interpretações, seria interessante que você apontasse a diferença explicando, que nesse caso, as duas respostas estão corretas. Partindo dessas atividades você pode levantar questionamentos, tais como: ● Na atividade 2, a classificação: Eduardo - Ana - Roberto - Mônica, ou ainda: Eduardo - Roberto - Mônica - Ana é a mesma? ● Na atividade 3, se a professora Ana Lúcia escolher João e Daniela, ou ainda, Daniela e João, a escolha é a mesma? ● Qual a principal diferença entre as atividades 2 e 3? As discussões possibilitarão que os discentes percebam, que em alguns momentos, a ordem em que é colocada os elementos interfere na resposta e que já em outros momentos, a ordem em que é colocada os elementos não altera a resposta então, como resultado dessas discussões, formalize os conceitos envolvidos.

Fonte : PAIVA, Manoel. Matemática - volume 2. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2015. (Coleção Moderna Plus).

➢ 2 horas/aulas para a socialização das estratégias utilizadas pelo grupo aos demais discentes. Objetivos : ● Resolver situações-problema (desencadeadas pelas atividades) que abordem conceitos necessários para o estudo da teoria das Probabilidades, tais como: experimento aleatório, espaço amostral, evento, espaço amostral equiprovável e definição de probabilidade; ● Calcular a probabilidade de ocorrência de um determinado evento; ● Proporcionar a interação entre alunos e entre alunos e professor; ● Resolver outras situações-problema propostas. Recursos: Jogo do par ou ímpar, atividade impressa, dominó; quadro e giz. Encaminhamentos metodológicos: ● Organize a sala em grupos de 4 alunos – 2 duplas; ● Distribua a atividade impressa para cada dupla contendo as regras e questionamentos posteriores; ● Deixe claro que cada aluno deve fazer o registro das jogadas em seu caderno, assim como a resolução de todas as situações-problema propostas.

Atividade 5 Jogo: Produto Par, Produto Ímpar 2 Figura 2 : jogo Produto Par, Produto Ímpar

Fonte : elaborada pela autora

(^2) Jogo presente na obra : “Jogos de matemática do 6° ao 9° ano. Cadernos do Mathema” SMOLE, Kátia Stocco ; DINIZ, Maria Ignez ; MILANI, Estela. Jogos de matemática de 6º a 9º ano. Porto Alegre: artmed, 2007. 104 p. (Série Cadernos do Mathema - Ensino Fundamental).

Material:

• 24 fichas, sendo 12 de cada cor;
• 2 dados de cores diferentes;
• Uma tabela com duas colunas (par e ímpar) Nº de Jogadores: 4 alunos – 2 duplas. Como Jogar : 1 – Cada dupla de acordo com algum critério, escolhe a cor que os representará, bem como quem dará início ao jogo; 2 – Os jogadores colocam suas fichas no tabuleiro, dispondo-as aleatoriamente em ambos os lados do tabuleiro (par e ímpar); 3 – Em seguida, escolhem qual cor irá representar o dado nº 1 e o dado nº 2; 4 – Na sua vez, a dupla lança os dados e calcula o produto registrando, cada jogada em seu caderno. Exemplo: dado nº 1 dado nº 2 produto 2 4 2 x 4 = 8

5 – Se o produto for par, a dupla retira uma das fichas de sua cor do lado par do tabuleiro e, se o produto for ímpar, retira uma das fichas de sua cor do lado ímpar do tabuleiro; 6 – Se a dupla conseguir um produto que corresponda a um lado do tabuleiro que esteja sem suas fichas, passa a vez de jogar. Vencedor: A primeira dupla que retirar todas as suas fichas do tabuleiro.

Discussão a respeito da atividade: ● Inicialmente, cada grupo fará a apresentação (em forma de tabela) dos diferentes registros obtidos no jogo dispondo-os no quadro negro, destacando quantos desses registros são pares e quantos são ímpares; ● Com o auxílio da professora, as informações obtidas serão posteriormente reorganizadas em uma única tabela, de modo que todos os resultados possíveis obtidos a partir do produto (multiplicação) das faces de dois dados sejam contemplados.

c) Os resultados pares obtidos representam que parte em relação ao todo (ou que fração do todo)?

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d) Os resultados ímpares obtidos representam que parte em relação ao todo (ou que fração do todo)?

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De acordo com o resultado obtido nos itens (c) e (d) responda: e) Qual a “chance” de que o produto obtido seja par?

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f) Qual a “chance” de que o produto obtido seja ímpar?

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g) Qual a “chance” de que o resultado obtido seja o número 12?

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Atividade 6 Manipule as peças de um dominó e, em seguida, imagine a seguinte situação: Você está jogando uma partida de dominó. Sabendo que todas as peças estão viradas para baixo e que você irá retirar a primeira peça, responda: a) Quantas peças existem no jogo de dominó?

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b) Em quantas dessas peças, a quantidade representada na face superior do dominó é sete? Represente figurativamente essas peças.

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c) As peças do dominó cujo registro da quantidade representada na face superior é sete, representa que fração do todo?

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d) Então, qual a “chance” de você retirar uma peça cuja quantidade representada na face superior do dominó seja sete?

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Atividade 7 Sabemos que se jogarmos uma moeda para cima e formos observar qual face da moeda foi contemplada, teremos apenas dois resultados possíveis: Cara ou Coroa. Imagine que você irá lançar para o alto essa mesma moeda por três vezes, e em cada uma dessas vezes, anotará se o resultado obtido foi cara ou coroa. a) Quantos resultados diferentes você pode encontrar? Registre-os.

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b) Observando os resultados obtidos no item anterior, em quantos deles você obteve uma Cara e duas Coroas?

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➢ 2 horas/aulas para a discussão da aplicabilidade desse conceito em nossas vidas e realização das atividades do site: Khan Academy.org; Objetivos: ● Conhecer a história da Probabilidade; ● Reconhecer a aplicabilidade desse conteúdo em nosso dia a dia. Recursos: Atividade impressa, TV multimídia, laboratório de informática, quadro e giz. Encaminhamentos metodológicos: ● Distribua a atividade impressa, faça a leitura com os alunos e peça que respondam às questões referentes à história da Probabilidade em seus cadernos; ● Faça uma discussão à respeito da aplicabilidade desse conceito em nossas vidas; ● Realize a atividade da Pixar in a Box: Multidões, do item Criando Multidões - Lição 1: “Como construir Populações”, que se encontra disponível no link: https://pt.khanacademy.org/partner-content/pixar/crowds

Atividade 8 a) Faça a leitura do texto abaixo. História da Probabilidade Podemos entender a probabilidade como “ [... ] o ramo da matemática que pretende modelar fenômenos não determinísticos, isto é, aqueles fenômenos em que o ‘acaso’ representa um papel preponderante” (VIALI, 2008, p. 143). Para Lopes e Meirelles (2005), a teoria das Probabilidades apareceu como ramo da matemática em meados do século XV e tem suas raízes na solução de problemas de jogos e no processamento de dados estatísticos. Há registros de que, por volta do 1200 a.C., um pedaço de osso do calcanhar (astragalus) fosse utilizado formando faces como as de um dado. Mesmo antes disso, por volta de 3500 a.C., no Egito, já havia jogos utilizando ossinhos. Os Romanos também eram apaixonados por jogos de dados e cartas que, durante a Idade Média, foram proibidos pela Igreja Cristã (LOPES; MEIRELLES, 2005, p.1).

Ainda segundo os autores: Em 3000 a.C., já se realizavam censos na Babilônia, China e Egito. Há registros de que o rei chinês Yao, nessa época, mandou fazer uma verdadeira estatística agrícola e um levantamento comercial do país. Na Grécia, também aparecem registros de levantamentos estatísticos [... ]. Os romanos anotavam os dados demográficos com um registro cuidadoso dos nascimentos e das mortes em sua população. Os objetivos desses censos variavam desde utilizar o número de habitantes para taxação e cobrança de impostos até verificar o número de homens aptos a guerrear (LOPES; MEIRELLES, 2005, p.1-2). Para Calabria e Cavalari (2013, p.11), Alguns registros relatam que os seguros surgiram entre os comerciantes marítimos mesopotâmicos e fenícios, suscetíveis a roubos e acidentes de percurso. Não é possível afirmar como eram calculados os valores de seguros, possivelmente esses valores eram baseados na probabilidade dos acontecimentos que envolviam acidentes.

Assim, ao se pensar no conceito de probabilidade e na sua aplicabilidade em problemas do cotidiano, podemos pensar nesse ramo da ciência como fruto de discussões e construções históricas que ainda hoje é atual e necessário em diversas áreas do conhecimento como: na medicina, geologia, economia, política, engenharia e em muitas outras situações do dia a dia.

b) Cite fatos históricos que justificam o surgimento da teoria das probabilidades.

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c) Escolha uma das áreas do conhecimento citadas no texto (medicina, geologia, economia, política, engenharia) ou uma outra área que você identifique a presença da teoria das probabilidades e aponte um exemplo da área citada.

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