Sistemas de Informação
Lógica para Computação
PARTE I
Lógica Proposicional
Prof.: Iracema Campelo Maia
postila Lógica para computação 1
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Logica Computacional, Notas de estudo de Análise de Sistemas de Engenharia
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Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Sistemas de Informação
Lógica para Computação
PARTE I
Lógica Proposicional
Prof.: Iracema Campelo Maia
A ESTRUTURA DE UM ARGUMENTO
Lógica Formal.
Embora existam muitas definições para o campo de estudo da lógica, essas definições não diferem essencialmente umas das outras; há um certo consenso entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.
Embora tenham sido encontrados na Índia, textos sobre esse assunto, escritos em épocas remotas, é tradicionalmente aceito que a Lógica tenha nascido na Grécia Antiga, por volta do século IV antes de Cristo. Os primeiros trabalhos sobre Lógica são devidos a Parmênides, Zenão, e ao grupo conhecido como “sofistas”, mas o verdadeiro criador da Lógica é, sem dúvida, Aristóteles, pois foi ele quem sistematizou e organizou esse conhecimento, elevando-o à categoria de ciência. Em sua obra chamada Organum (que, em tradução livre, significa “ferramenta”) Aristóteles estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que dominou o pensamento ocidental durante dois mil anos, e até hoje são considerados válidos.
Aristóteles tinha como objetivo a busca da verdade, e, para isso, procurava caracterizar os instrumentos de que se servia a razão, nessa busca. Em outras palavras, Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. Caberia, pois, à Lógica, a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades.
Essa forma de encadeamento é chamado, em Lógica, de argumento, enquanto as afirmações envolvidas são chamadas proposições; um argumento é, pois, um conjunto de proposições tal que se afirme que uma delas é derivada das demais; usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão, e as demais, premissas. Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão.
Eis um exemplo de argumento:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu ganhei na Loteria Logo, sou rico
Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido.
É preciso deixar claro que a Lógica se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo, isto é, com as proposições tomadas individualmente. Em outras palavras, não é objeto da Lógica saber se quem ganha na Loteria fica rico ou não, ou se eu ganhei ou não na Loteria. O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma conseqüência lógica das premissas. Por esse motivo, por que o objeto da Lógica é a forma pela qual o raciocínio está estruturado, a Lógica costuma receber o nome de Lógica Formal.
A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos, dedutivos e indutivos. Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa; caso contrário, o argumento dedutivo é dito inválido. Os dois argumentos citados anteriormente são do tipo dedutivo, o primeiro válido e o segundo inválido.
Os argumentos indutivos, por outro lado, não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade. Veja um exemplo de argumento indutivo:
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.
Costuma-se dizer que os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais, que, no caso das ciências naturais, devem ser provadas por outros meios; os argumentos dedutivos, por seu lado, partem de regras gerais para estabelecer a veracidade de acontecimentos particulares. O desenvolvimento da ciência tem dependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos de raciocínio.
A probabilidade de uma conclusão, dado um conjunto de premissas, chama-se probabilidade indutiva. A probabilidade indutiva de um argumento dedutivo é maximal (igual a 1). A probabilidade indutiva de uma argumento indutivo é (talvez sempre) menor que 1.
Argumento dedutivo
Todos os homens são mortais. (premissas) Sócrates é homem. (premissas) Portanto Sócrates é mortal. (conclusão)
Todas os amigos de Fred vão para a universidade A. Todos os amigos de Frieda vão para a universidade B. Ninguém vai para a universidade A e B ao mesmo tempo. Fred e Frieda não tem amigos comuns.
Poucos russos falam bem o inglês. Sergei é russo. Sergei é um estudante bolsista numa universidade americana.
Os estudantes bolsistas nas universidades americanas quase sempre falam bem o inglês. Sergei é surdo-mudo. Sergei não fala bem o inglês.
Argumento indutivo
Frequentemente quando chove fica nublado. Está chovendo.
Está nublado
Eu sonho com monstros. Meu irmão sonha com monstros. Todas as pessoas sonham com mostros
Poucos russos falam bem o inglês. Sergei é russo. Sergei não fala bem o inglês.
- Asserções ou proposições são frases que são ou verdadeiras ou falsas. Frases interrogativas, exclamativas ou vagas não são proposições.
- Em lógica matemática, proposições são representadas por letras.
- Palavras como não(não é o caso que) , ou , e , se ... então, se e somente se, etc., são usadas para combinar proposições, formando outras proposições mais complexas.
Proposições Simples.
O primeiro passo na construção de uma linguagem simbólica, mais adequada à formulação dos conceitos da Lógica, é a apresentação do que chamamos proposição simples. Em linhas gerais, uma proposição simples (ou enunciado, ou sentença), é uma declaração que exprime um pensamento com sentido completo.
São exemplos de proposições simples:
A Lua é um satélite da Terra. Sócrates é um homem. Eu estudo Lógica. Todos os homens são mortais.
Em geral, as proposições simples são constituídas por um sujeito, um verbo, e seus complementos. Proposições como “se não chover, vou à praia”, ou “vou aprender a dirigir e comprar um carro” são chamadas proposições compostas, e são o resultado de operações sobre proposições simples, como veremos a seguir.
Alem das proposições, a Lógica dispõe de uma função, chamada “valor lógico” (representada por VL), que associa a cada proposição simples um de dois valores lógicos, chamados “verdadeiro” (representado por V) ou falso (representado por F). Geralmente, o valor lógico V ou F é associado à proposição, em consonância com o significado da proposição no mundo real, embora isso não seja essencial.
Com esse sentido podemos dizer que as proposições
A Lua é o satélite da Terra. Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil.
são verdadeiras, isto é assumem o valor lógico V, e que as proposições
Dante escreveu Os Lusíadas. O Brasil é uma monarquia.
são claramente falsas, e portanto assumem o valor lógico F.
O objetivo da Lógica, no entanto, não é verificar se as proposições são verdadeiras ou falsas; ao invés disso, o objeto de estudo da Lógica é examinar o relacionamento entre as proposições, em decorrência dos seus valores lógicos. Dito de outra forma, a Lógica não se interessa pelo significado das proposições, mas apenas por sua forma; no que concerne à
Lógica, uma proposição como “A Lua é o satélite da Terra” pode ser tratada como “a proposição p”, não sendo necessário nenhuma referência a conhecimentos de astronomia.
De acordo com os Princípios da Lógica, podemos afirmar que: Toda proposição é necessariamente verdadeira ou falsa, não existindo outra possibilidade. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Toda proposição verdadeira é sempre verdadeira, não podendo ser ora verdadeira ora falsa. Em linguagem simbólica, costumamos representar as proposições simples pelas letras p, q, r, s, t, etc. Assim, se fizermos as seguintes representações:
p F 02 D A Lua é o satélite da Terra. q F 02 D Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. r F 02 D Dante escreveu Os Lusíadas. s F 02 D O Brasil é uma monarquia.
podemos escrever: VL [ p ] = V VL [ q ] = V VL [ r ] = F VL [ s ] = F
Proposições Compostas. Conectivos.
As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples através de certos termos chamados conectivos. A Lógica dispõe de cinco conectivos: “e”, “ou”, “não”, “se – então”, e “se e somente se”. Utilizando esses conectivos podemos construir as seguintes proposições compostas:
João é magro e José é alto. Mário foi ao cinema, João foi ao teatro e Marcelo ficou em casa. Maria foi à praia ou ao mercado. Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa. A Lua não é o satélite da Terra. Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar. Se João estudar, será aprovado. João será aprovado se e somente se estudar.
Em Lógica Simbólica, a ação de combinar proposições é chamada “operação”, e os conectivos são chamados “operadores”, e são representados por símbolos específicos; apresentamos abaixo as cinco operações lógicas, com seus respectivos conectivos e símbolos:
Operação Conectivo Símbolo
Conjunção e F 0D 9
Disjunção ou F 0D A
Negação não F 0D 8 ou F 07 E
Condicional se ... então F 0A E
Bicondicional se e somente se
F 0 A B
Negação: (Não)
A sentença “Não é o caso que ele é fumante” é a negação da sentença “Ele é fumante”.
Às vezes, a língua portuguesa encerra alguma ambigüidade no uso do conectivo “ou”; a utilização de “ou” entre dois fatos indica que um deles é verdadeiro, mas pode não deixar claro se ambos o são; normalmente, na linguagem natural, procura-se resolver a ambigüidade utilizando-se o contexto. Por exemplo, na frase
Maria foi à praia ou ao mercado
parece que apenas um dos fatos é verdadeiro, pois é difícil alguém ir à praia e ao mercado simultaneamente; no entanto, se não houver exigência se simultaneidade, pode ocorrer que Maria tenha ido à praia e depois ao mercado, e ambos os fatos são verdadeiros.
O outro exemplo,
Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa
é ainda pior, pois não há nenhuma indicação se apenas um ou os dois fatos ocorreram. Como na Lógica não são permitidas ambigüidades, foi necessário definir dois conectivos para o termo “ou”: o “ou inclusivo”, onde se permite que um dos fatos ou ambos ocorram, e o “ou exclusivo” onde um e apenas um dos fatos ocorrem.
Se p e q são proposições, a expressão p F 0D A q é chamada disjunção inclusiva de p e q; por seu
turno, a disjunção exclusiva das expressões p e q é indicada por p | q; em ambos os casos, as proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.
Em que condições a expressão
Maria foi à praia ou ao mercado
é verdadeira? No conceito inclusivo do conectivo “ou” basta que Maria tenha ido pelo menos um dos lugares; ou seja, para que uma disjunção inclusiva seja verdadeira, basta que uma das parcelas (ou ambas) o seja; unicamente se ambas as parcelas forem falsas, a disjunção inclusiva o será.
Por outro lado, se se tratar de uma disjunção exclusiva, a expressão só será verdadeira se Maria tiver ido a um dos lugares, mas não ao outro. A disjunção exclusiva será verdadeira se uma das parcelas for verdadeira e a outra falsa; se ambas as parcelas tiverem o mesmo valor lógico, a disjunção exclusiva será falsa. Em nosso texto, trataremos unicamente da
disjunção inclusiva; isto é, o termo “disjunção” se referirá à disjunção inclusiva; quando se tratar da disjunção exclusiva, isso será expressamente citado.
Abaixo, a tabela que apresenta o resultado da operação de disjunção inclusiva; p e q são proposições quaisquer.
p q p F 0D A q V V V V F V F V V
F F F
Na forma textual, às vezes escrevemos um “ou” antes da frase, às vezes omitimos parte da expressão, mas isso não altera a forma simbólica; por exemplo, a expressão “Ou Maria foi ao teatro ou foi ao cinema” fica representada por p F 0D A q, onde p representa “Maria foi ao teatro” e q representa “Maria foi ao cinema”.
Condicionais: (Se ... então)
O enunciado subseqüente a “se” é chamado antecedente, o enunciado restante, conseqüente. Na sentença “Se você me tocar eu gritarei”, “Você me tocar” é o antecedente e “Eu gritarei” é o conseqüente. Os condicionais podem ser escritos na ordem inversa “Eu gritarei se você me tocar”.
Considere a proposição
Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar
Esta é uma proposição composta pelas duas proposições “a chuva continuar a cair” e “o rio vai transbordar”, ligadas pelo conectivo “se ... então”. Em Lógica Simbólica este conectivo é chamado “condicional” e representado pelo símbolo F 0A E.
Então, se p e q são proposições, a expressão p F 0A E q é chamada condicional de p e q; a proposição p é chamada antecedente, e a proposição q conseqüente da condicional. A operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é uma condição para que q aconteça. Como podemos estabelecer o valor verdade da proposição condicionada, conhecidos os valores verdade do antecedente e do conseqüente?
Considere novamente a expressão citada. Suponha que ambas as coisas aconteçam, isto é, que a chuva tenha continuado a cair, e o rio tenha transbordado; nesse caso, a condicional é verdadeira. Suponha, por outro lado, que a chuva tenha continuado a cair, mas que o rio não tenha transbordado; nesse caso, p não foi condição para q, isto é, a condicional é falsa. Finalmente, considere que a chuva não tenha continuado a cair; nesse caso, independentemente do que tenha acontecido com o rio, a condicional é considerada verdadeira.
Por que esse fato ocorre? Por que motivo, a Lógica considera que se o antecedente for falso, a condicional é verdadeira, qualquer que seja o valor lógico do conseqüente?
Existem vários motivos para isso, e vamos aqui apresentar o mais simples. Quando o antecedente for falso, temos quatro possibilidades para o valor lógico da condicional:
Possibilidades da condicional 1ª 2ª 3ª 4ª antecedente F conseqüente V V V F F antecedente F conseqüente F V F V F
“Se T é um polígono de três lados, então T é um triângulo; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados.”
Este exemplo ilustra uma regra geral: os enunciados da forma “P se e somente Q” são equivalentes a enunciados da forma “Se P, então Q; e se Q, então P”, esta é a razão que são chamados bicondicionais.
Finalmente, considere a proposição
João será aprovado se e somente se ele estudar. Nesse caso, temos duas proposições “João será aprovado” e “ele estudar”, ligadas pelo conectivo “se e somente se”. Em Lógica Simbólica, essa operação é chamada de “bicondicionamento”, e seu conectivo é representado pelo símbolo F 0A B.
Então, se p e q são proposições, a expressão p F 0A B q é chamada bicondicional de p e q. Dizemos que a bicondicional é verdadeira quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos; quando um é falso e outro é verdadeiro, a bicondicional é falsa.
Na a expressão citada, o conectivo “se e somente se” indica que se João estudar será aprovado, e que essa é a única possibilidade de João ser aprovado, isto é, se João não estudar, não será aprovado. Os dois acontecimentos serão ambos verdadeiros ou ambos falsos, não existindo possibilidade de uma terceira opção.
A tabela do bicondicionamento é apresentada abaixo.
p q p F 0A B q V V V V F F F V F F F V
Alem do “se e somente se”, a operação bicondicional é indicada por termos como “unicamente se”, “exceto se” e outras análogas; por exemplo, as expressões “João será aprovado se e somente se estudar” “João será aprovado unicamente se estudar” “João não será aprovado, exceto se estudar” “João estudar é condição necessária e suficiente para ser aprovado”
todas podem ser representadas por p F 0A B q, onde p representa “João será aprovado” e q representa “João estudar”. FORMALIZAÇÃO
O processo de formalização converte uma sentença ou argumento em uma forma sentencial ou uma forma de argumento, uma estrutuira composta de letras sentenciais e operadores lógicos. As letras sentenciais não tem significado, mas no contexto de um problema, elas podem ser interpretadas como expressando proposições ou enunciados definidos.
Se H é uma fórmula então (-- H)negação de H, é uma fórmula.
Se H ou G são fórmulas então (H v G) é uma fórmula de disjunção. Se H e G são fórmulas então (H ^ G) é uma fórmula de conjunção.
Se interpretarmjos a letra sentencial S, por exemplo, como “Hoje é segunda-feira.” Então a sentença “Hoje não é segunda-feira” será formalizada como ~S.
Suponha que queremos formalizar a sentença “Ou hoje é segunda-feira, ou hoje é terça- feira e dia de eleição.” Essa sentença é uma disjunção cujo segundo disjuncto é a conjunção “Hoje é terça-feira e dia de eleição”. Portanto ela é formalizada por S v (T ^ E). Se esquecermos os parênteses e escrevermos S v T ^ E, o significado não fica claro pois poderia ser lida como conjunção cujo primeiro conjunco é a disjunção “Hoje é segunda- feira ou terça-feira”; assim ela expressaria a sentença “Hoje é segunda-feira ou terça-feira, e hoje é dia de eleição”, que é diferente do enunciado original.
Uma fórmula do cálculo proposicional é uma sequência de elementos do vocabulário. Para distinguir as seqüências sem sentido de fórmulas significativas introduzimos o conceito de fórmulas gramática ou fórmula bem formada (well-formed formula) wff. Este conceito é definido pelas regras: Qualquer letra sentencial é uma wff Se ¢ é uma wff, então ~¢ também o é. Se ¢ e ψ são wffs, então (¢ v ψ), (¢ ^ ψ), (¢ F 0E 0 ψ), e (¢ <--> ψ)_ também o são.
Ordem de precedência das operações. Fórmulas.
Com o auxílio dos conectivos podemos construir proposições compostas mais elaboradas. Por exemplo, considere a seguinte proposição:
Se o deficit persistir e a arrecadação não aumentar, então ou aumentamos os impostos ou haverá inflação
Com a representação:
p F 02 D o deficit persistir q F 02 D a arrecadação aumentar
r F 02 D aumentamos os impostos s F 02 D haverá inflação
a proposição poderá ser escrita na forma simbólica: p F 0D 9^ F 0D 8 q F 0A E r F 0D A s
A construção de expressões mais complexas, na forma simbólica, no entanto, apresenta alguns problemas; por exemplo, considere a expressão
Se Mário foi ao cinema e João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa
Sua transcrição em termos lógicos, p F 0D 9 q^ F 0A E r, onde
Um caso especial é a utilização de negações consecutivas; por exemplo, a proposição “é falso que eu não tenha saído” pode ser simbolizada por F 0D 8^ F 0D 8 p (onde p representa “eu tenha
saído”); nesse caso, a segunda negação deve ser executada antes.
Para simplificar a determinação do valor lógico de uma expressão proposicional, podemos construir uma pequena tabela, na qual dispomos em colunas os valores lógicos das proposições componentes, e, a seguir, os valores lógicos das operações, na ordem de precedência. Por exemplo, determinar o valor lógico da expressão acima, na qual p e r são falsas, e q e s verdadeiras:
p q r s F 0D 8 q p F 0D 9^ F 0D 8 q
r F 0D A s p F 0D 9^ F 0D 8 q F 0A E r F 0D A s
F V F V F F V V
Para que a construção da tabela fique unicamente determinada, podemos convencionar que as proposições componentes fiquem dispostas em ordem alfabética.
Quando for necessário modificar a ordem de precedência, podemos utilizar parênteses. Assim, no exemplo dado, a expressão p F 0D 9 q F 0A E r significa “se Mário foi ao cinema e João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa”, e a expressão p F 0D 9 (q^ F 0A E r) significa “Mário foi ao cinema, e, se João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa”.
A utilização dos conectivos F 0D 9 e F 0D A pode causar ambigüidade até mesmo em linguagem
natural; por exemplo a expressão
Mário foi ao cinema e Marcelo ficou em casa ou Maria foi à praia
representada por p F 0D 9 q^ F 0D A s, não deixa claro seu significado; tanto pode significar “Mário foi ao cinema e Marcelo ficou em casa, ou então Maria foi à praia”, representada por (p F 0D 9 q) F 0D A s, como pode significar “Mário foi ao cinema e ou Marcelo ficou em casa ou Maria foi à praia”, representada por p F 0D 9 (q F 0D A s), que são claramente afirmações distintas.
Segundo a ordem de precedência da Lógica, a expressão dada corresponde à primeira forma apresentada, mas, para evitar qualquer mal-entendido, aconselhamos a utilizar parênteses, nesses casos.
Utilizando parênteses e conectivos, as expressões simbólicas podem assumir aspectos ainda mais complexos, como, por exemplo,
(p F 0A B q F 0D A (F 0D 8 r F 0A E s)) F 0D 9^ F 0D 8 t
Para determinar o ordem de execução das operações no caso em que a expressão possui parênteses, podemos utilizar o algoritmo abaixo:
Algoritmo Ordem de Precedência com Parênteses
Passo 1. Percorra a expressão até encontrar o primeiro “)”.
Passo 2. Volte até encontrar o “(” correspondente, delimitando assim um trecho da expressão sem parênteses. Passo 3. Execute o Algoritmo Ordem de Precedência sobre a expressão delimitada. Passo 4. Elimine o par de parênteses encontrado. Passo 5. Volte ao Passo 1.
De acordo com esse algoritmo, as operações da expressão anterior seriam executadas na ordem: (p F 0A B q F 0D A (F 0D 8 r F 0A E s)) F 0D 9^ F 0D 8 t 4 3 1 2 6 5
Como vimos, uma proposição composta é portanto formada por conexões de proposições simples. Ou seja, uma proposição composta é uma cadeia constituída pelos símbolos p, q, r, etc, (representando proposições simples), símbolos de conectivos e parênteses. No entanto, nem toda cadeia desses símbolos representa uma proposição composta; por exemplo, a cadeia AB F 0A B )F 0D 9F 0D 9F 0D A ( C F 0A E
não tem nenhum significado em Lógica. Temos então o problema de reconhecer quando uma cadeia desses símbolos representa realmente uma proposição composta. As proposições são também conhecidas por “fórmulas bem formadas” (ou, simplesmente, “fórmulas”) e possuem uma lei de formação, enunciada abaixo:
- Proposições simples são fórmulas.
- Se p e q são fórmulas, então são também fórmulas: (p), p F 0D 9 q, p F 0D A q, F 0D 8 p, p F 0A E q, p F 0A B q
- Nada mais é fórmula
Tanto as proposições simples como as compostas são chamadas expressões proposicionais. No que se segue, por uma questão de simplicidade, utilizaremos o termo proposição para indicar uma expressão proposicional, ou seja, tanto proposições simples como compostas.
Construção de Tabelas Verdade.
Vimos que, dada uma expressão proposicional, e dados os valores lógicos das proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência, calcular o valor lógico da expressão dada; no entanto, estaremos interessados, muitas vezes, no conjunto de valores lógicos que a expressão pode assumir, para quaisquer valores lógicos das proposições componentes. Vejamos um exemplo. Considere a expressão proposicional p F 0D A q F 0A E p F 0D 9 q
No item anterior, construímos uma pequena tabela para determinar o valor lógico da expressão, a partir dos valores lógicos dos componentes; agora, vamos ampliar aquela tabela, para incluir cada combinação dos valores lógicos dos componentes.
A Tabela Verdade assume o aspecto:
p q r pF 0A E q pF 0A B r F 0D 8 r (pF 0A B r) F 0A EF 0D 8 r F 0D 8 ((p F 0A B r)F 0A EF 0D 8 r) (p F 0A E q)F 0D AF 0D 8 ((p F 0A B r) F 0A E^ F 0D 8 r) V V V V V F F V V V V F V F V V F V V F V F V F F V V V F F F F V V F F F V V V F F V F V F V F V V V V F V F F V V F F V F V F F F V V V V F V
A atribuição de valores lógicos aos componentes simples de uma proposição composta é chamada uma interpretação dessa proposição. Assim, uma proposição com n componentes simples distintos admitirá 2 n^ interpretações.
VALIDADE DE ARGUMENTOS LÓGICOS
Na Lógica Matemática costumamos representar os argumentos através de uma simbologia adequada; entre as várias notações utilizadas, uma das mais simples é representar as premissas uma em cada linha (ou separadas por vírgulas) e utilizar o símbolo F 07 CF 0B E para indicar a conclusão. Nessa notação, os argumentos apresentados anteriormente assumem a forma:
- O argumento abaixo é similar a forma: P ou Q não Q então P Vai chover ou fazer sol hoje. Está muito seco para chover hoje. Logo, hoje irá fazer sol
Ou é escrito horizontalmente separados por vírgulas: P v Q, ~Q |-- P Este símbolo ( |-- ) afirma que a fórmula à sua direita pode ser deduzida utilizando como premissas somente as fórmulas que estão à sua esquerda.
Se José pegou as jóias ou a Sra. Krasov mentiu, então ocorreu um crime; se ocorreu um crime então o Sr. Krasov estava na cidade. Mas o Sr. Krasov não estava na cidade; portanto, ou José não pegou as jóias ou a Sra. Krasov não mentiu.
Fazendo: p F 02 D José pegou as jóias q F 02 D a Sra. Krasov mentiu r F 02 D ocorreu um crime s F 02 D o Sr. Krasov estava na cidade
temos: p F 0D A q^ F 0A E r r F 0A E s F 0 D 8 F 0 s 7 C
F 0 B E
F 0 D 8 p^
F 0 D A
F 0 D 8 q
Se eu tiver dinheiro, vou ao cinema ou ao teatro; mas eu não tenho dinheiro. Logo, ou não vou ao cinema ou não vou ao teatro.
Com a simbologia descrita, vem: p F 0A E q^ F 0D A r F 0 D 8 F 0 p 7 C
F 0 B E
F 0 D 8 q^
F 0 D A
F 0 D 8 r
Se eu estudar, fico cansado; se eu ficar cansado, durmo. Logo, se eu estudar, durmo.
Também com a simbologia apresentada, fica: