V-Escuela
Curso: Introducci´on a la Mec´anica Computacional
PROFESORES:
1Sea
φ(x) = φ(x1, x2, x3) =
x1+ρx2
x2+ρx1
x3
una deformaci´on tangencial y uel desplazamiento asociado. Determine el tensor de deformaci´on infinites-
imal ε(u).
2Recordamos que una funci´on φ:R3→R3se llama transformaci´on r´ıgida infinitesimal si existe una matriz
A=
1a1a2
−a11a3
−a2−a31
∈R3×3con a1, a2, a3∈R
y un vector b∈R3tal que φ(x) = Ax +b. Sea id la funci´on identidad y
RM := {u=φ−id |φtransformaci´on r´ıgida infinitesimal}
el conjunto de los desplazamientos de todas las transformaciones r´ıgidas infinitesimales.
a) Pruebe que RM es un espacio vectorial.
b) Determine la dimensi´on de RM y calcule una base.
c) Recordamos que una funci´on φse llama transformaci´on r´ıgida si existe una matriz ortogonal L∈R3×3
y un vector b∈R3tal que φ(x) = Lx +b. De un ejemplo de una funci´on ψque es una transformaci´on
r´ıgida infinitesimal y una transformaci´on r´ıgida al mismo tiempo.
3Sea f∈L2(0, L), tal que RL
0f dx = 0. Considere el siguiente problema de minimizaci´on de energ´ıa:
u= argmin
v∈H1(0,L)
1
2ZL
0
(v′)2dx −ZL
0
f v dx (1)
a) Encuentre la formulaci´on variacional asociada al problema (1).
b) Pruebe que el problema (1) (o equivalentemente su formulaci´on variacional) no tiene soluci´on ´unica.
c) Pruebe que el problema (1) tiene soluci´on ´unica cuando se restringe al espacio
H1
∗(0, L) := (v∈H1(0, L) : ZL
0
v dx = 0).
Esto es, el problema
u= argmin
v∈H1
∗(0,L)
1
2ZL
0
(v′)2dx −ZL
0
f v dx (2)
tiene soluci´on ´unica.
Ayuda: Use a) y el Lema de Lax-Milgram
