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apostila pós graduação
Tipologia: Notas de estudo
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Autor: Marco Antônio Brasil Revisão atualizada segundo o novo acordo ortográfico: Profª. Ms. Camila Menezes
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INTRODUÇÃO AOS ELEMENTOS
DA
LÓGICA MATEMÁTICA I
X = X
X (^) ∧∧∧∧ ~ X = ∅∅∅∅
X = Y ∨∨∨∨ X ≠≠≠≠ Y
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INTRODUÇÃO
Desde tempos imemoriais observamos os acontecimentos naturais. Milhares de anos ensinam que contar é comparar entre dois conjuntos qual é o que tem maior ou menor quantidade de objetos e a ideia de um conjunto de números naturais associado às necessidades da contagem faz parte de todas as culturas.
Aprendemos a reconhecer sucessões naturais através de ciclos como o das estações do ano, a mudança das fases da lua, a disposição das folhas nas plantas, a frequência dos batimentos cardíacos ou o ritmo da respiração.
Das possibilidades de leituras do mundo e suas complexidades leituras binárias tais como dia ou noite, sim ou não, nascer e morrer, quente ou frio, certo ou errado, ou, verdadeiro ou falso. A apreensão da realidade qualifica-se sob dois estados mutuamente excludentes cujo fundamento é a constante mudança.
No século IV a.C. a leitura das dualidades empreendida pelo filósofo grego Aristóteles sistematiza os procedimentos que orientam a razão na busca da verdade e da validade dos argumentos através de uma disciplina que veio a se denominar Lógica.
Tida como criação do espírito helênico através dos filósofos Parmênides, Zenão de Eléia e os Sofistas, as raízes da ciência da lógica originam-se também na antiga Índia. Entretanto é a partir de Aristóteles, cujas ideias se mantiveram predominantes na construção do pensamento durante mais de vinte séculos, que a lógica toma forma de um corpo estruturado do conhecimento e forma de todas as ciências.
A partir de Aristóteles os enunciados ganham em clareza e simplicidade. A conceituação aristotélica ensina que as sentenças que expressam um juízo devem ter a forma sujeito-verbo ser - predicado onde um termo , o sujeito – a ideia da qual se afirma algo, – liga-se ao outro, o predicado – a ideia que se afirma do sujeito – num nível de concordância tal que a asserção ou será verdadeira ou será falsa. Assim excluem-se concordância lógica as frases exclamativas, interrogativas ou imperativas, pois estas não podem se classificar em verdadeiras ou falsas.
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de trabalho matemático, permite pesquisar problemas acerca da interdependência ou independência das afirmações que compõe o sistema.
§ 1. PRIMÓRDIOS I
Do século VI ao século III a.C., durante os 300 primeiros anos de desenvolvimento da matemática grega, os conceitos matemáticos foram estudados através das razões lógicas neles contidas e das implicações entre os seus inter- relacionamentos.
Esse processo, iniciado com Tales e continuidade com Pitágoras, organiza-se por volta de 300 a.C com os Elementos , obra que procurou coligir todo o conhecimento sobre geometria e a teoria dos números grega. Sem se limitar por aspectos práticos e pesquisando os princípios sobre o espaço, eles revelam a verdadeira natureza de uma demonstração: suas aplicações onde às afirmações não são tão evidentes.
Tales, nascido em Mileto, é dos mais antigos dos grandes pensadores gregos. De volta a Mileto, após morar no Egito, indo além dos os conhecimentos que aprendera inicia uma transformação no pensamento quando ensina que as proposições devem ser demonstradas e não aceitas por algum aspecto prático ou utilitário.
Responsável pelo estudo da geometria na Grécia antiga, as ideias de Tales tanto contribuem à compreensão da geometria que a ele é creditada a primeira demonstração da história da matemática: o diâmetro de um círculo divide o circulo em duas partes iguais. Essa demonstração, diga-se, contém mais do que a evidência: mostra que as demonstrações não só são possíveis, mas também necessárias.
E mais ainda. Quando demonstra que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é dois ângulos retos torna implícito tratar de uma propriedade de todos os triângulos que não decorre de medições em certos triângulos. Todo desenvolvimento matemático segue os procedimentos de Tales e Pitágoras, pioneiros do raciocínio dedutivo na matemática, e todo formalismo que exercitamos é originalmente euclidiano.
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Ao conceito de Tales que toda verdade deve ser demonstrada, Euclides inclui verdades aceitas sem demonstração ao sistematizar a geometria: aquelas chamadas axiomas , de enunciado evidente e comum a todas as ciências, como por exemplo, o todo é igual à soma de suas partes, e aquelas que se denominam postulados.
Significando o que se pede ou está concedido, o que se supõe ou não é obrigado a demonstrar , os postulados foram usados para as questões da geometria.
Os axiomas , palavra grega que quer dizer juízo , dogma ou noções comuns , conceito introduzido no raciocínio lógico, segundo se acredita, por Aristóteles, foram utilizados para denominar todo principio aceito como evidente sobre comparações entre grandezas.
§ 2. PRIMÓRDIOS II
Para os gregos antigos era inconcebível que alguém duvidasse dos postulados, mas dúvidas em relação aos axiomas eram tacitamente consentidas.
Quando afirmavam que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é igual a dois ângulos retos, não incluíam leis como existe o triângulo, pois entendiam tratar-se de uma propriedade válida e demonstrável para todos os triângulos.
Considerando aceitar a existência hipotética dos objetos geométricos, exigiam em relação às quantidades que elas se afirmassem pela existência e unicidade. Para ilustrar, observe que se x e y são dois números tais que xy = yx é intuitivo ponderar se tais números existem. Ou, se existe um número a tal que a + x = a, deve existir um objeto chamado elemento nulo que deve ser único. Enquanto as quantificações exigem que as questões da existência ou unicidade estejam resolvidas, as leis geométricas aceitam uma existência hipotética.
Quando Euclides enuncia que o ponto é aquilo que não tem partes a existência de tal ob-jectum, ou o que está adiante, é solicitado evidente. O ponto assim imaginado não pode ser dividido, não tem espessura e nem dimensão. Pode-se associá-lo às representações da marca da grafite de um lápis sobre uma folha de papel ou a visão
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fronteiras. Assim toda figura se compreende como um conjunto de infinitos pontos e o próprio espaço pode ser lido como uma figura geométrica. Na lógica euclidiana se um triângulo é definido como um polígono de três lados , então polígono deve ser entendido como uma figura e as figuras como objetos constituídos por linhas. Como linha é uma construção fundamental, o processo de definição se interrompe aí.
Embora Euclides tenha reconhecido pela necessidade das propriedades não demonstráveis, axiomas e postulados, ele não considerou a importância lógica dos termos não-definidos ou, de acordo com a concepção contemporânea dos matemáticos Bertrand Russel (1872-1970), e Giuseppe Peano (1858–1932) dos conceitos primitivos. Euclides procura definir todos os termos que utiliza e assim ideias como ponto, reta ou superfície estão na lista de definições.
Como não se faz mais distinção entre postulados e axiomas, elas se tornaram sinônimas e se consideram no sentido euclidiano ou, como fizeram Peano e Russel, significando propriedades intuitivamente evidentes, aceitas independentes de qualquer comprovação, propriedades não – demonstráveis ou propriedades primitivas.
No sentido que Aristóteles atribui às ideias que são mais universais são mais elementos, podem se destacar a ideia de ponto na geometria e a ideia de número na aritmética. Como também se aceita que os objetos matemáticos se organizem em conjuntos , a ideia de conjunto, um conceito tornado fundamental para todos os ramos da Matemática, tem o significado de coleção e os seus objetos, quaisquer que sejam, dizem-se elementos.
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UNIDADE 2 - ELEMENTOS HISTÓRICOS II
A partir de cinco axiomas e cinco postulados Euclides organizou um sistema contendo 465 proposições distribuídas em 13 livros que correspondem aos conteúdos da geometria plana e espacial da escola média contemporânea.
Segundo especialistas, embora não se conheça nenhum original dos Elementos, as cópias que nos chegaram parecem ter conservado a autenticidade original, pois as proposições e demonstrações foram essencialmente mantidas como foram escritos.
A primeira tradução latina completa é de 1120 do filósofo inglês Adelardo de Bath a partir de uma versão que os árabes fizeram no século VIII das traduções dos manuscritos bizantinos dos trabalhos gregos.
Desde a invenção da imprensa e até o século XX não só pelas suas mais de 1000 edições, mas por ter sido mantido sem alterações substanciais por quase 23 séculos, os Elementos é o mais influente livro de matemática editado.
A impressão que os seus aspectos formais causaram fez dos Elementos modelo da forma de apresentação das ideias em ciências e matemática.
Principalmente como idealização de uma estrutura sistêmica fundamentada pelos processos de raciocínio que se tornaram referência de construção da forma das teorias matemáticas e modelo do que deve orientar uma demonstração.
Para se ter uma ideia do tratamento dado aos conteúdos desenvolvidos pelos gregos no estudo do espaço, no espaço geométrico definido por Euclides, contemporaneamente chamado espaço euclidiano, as figuras são estudadas num ambiente onde as distancias são preservadas e o movimento é tratado sem implicações: qualquer figura pode ser deslocada sem alteração de forma ou tamanho.
Os objetos das experimentações espaciais como cordas esticadas, retângulos, quadrados, triângulos, círculos ou elipses interpretam-se considerando:
I. As formas dos objetos convertidas em abstrações chamadas figuras; II. As relações entre as figuras são enunciadas através de axiomas e postulados;
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introduzindo símbolos e regras operacionais ao raciocínio tornam possível descrever e tratar das grandezas em outros níveis de abstração e eficiência da matemática grega. Mas, característica da cultura matemática oriental, os babilônios, os hindus e os árabes, que não se preocupavam em demasia com demonstrações, não organizaram seus conhecimentos acerca dos números num modelo axiomático.
Assim dos métodos e técnicas das culturas matemáticas gregas e orientais decorre, por respeito ou circunstância, uma tradição que se estende aos primórdios da era contemporânea: a geometria é ensinada sob o formato dado por Euclides nos Elementos e a matemática das quantidades é ensinada como uma coleção de leis e regras operacionais característicos do ensino da Álgebra ou do Cálculo.
§ 2. ORIGENS II
O processo de adoção dos procedimentos axiomáticos pelos gregos antigos, segundo se credita, está ligado à primeira das três grandes crises que a matemática experimentou ao longo de sua história.
No século V a.C. se descobre que nem todas as grandezas geométricas da mesma espécie são comensuráveis: existem grandezas que não são múltiplas inteiras de uma outra tomada como unidade de medida. A diagonal d e o lado a do quadrado,
por exemplo, não admitem uma unidade de medida comum, pois d = a 2 e 2 não é um número racional. A descoberta da existência dos números irracionais pelos pitagóricos obrigou uma revisão que só foi superada por volta de 370 a.C. com a Teoria das Proporções de Eudoxo. É a leitura dos incomensuráveis que dá a base necessária para construção do sistema dos números reais no século XIX por Richard Dedekind e Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
A segunda grande crise advém da criação do Cálculo Diferencial e Integral, uma concepção de Leibnitz e do físico inglês Isaac Newton através de estudos independentes. Entretanto as origens do Cálculo estão no século V a.C. quando os paradoxos de Zenão, discípulo de Parmênides e considerado por Aristóteles o criador da dialética, procuram reduzir ao absurdo os conceitos de multiplicidade e movimento.
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A terceira grande crise é consequência dos paradoxos descobertos na teoria dos conjuntos. Desde 1872 quando Cantor começa a usar a ideia de conjunto para tratar das questões ligadas ao Infinito os conceitos da teoria dos conjuntos sistematicamente são absorvidos pela Lógica e pela Álgebra como meio de expressão da linguagem matemática. Intuitiva, a ideia de conjunto é associada a tudo que percebemos como lista, coleção, grupo ou classes de objetos, genericamente denominados elementos, que podem ser números, pontos, pessoas, letras, fatos ou figuras. Exercendo papel unificador e influenciando concepções relativas aos fundamentos da matemática, a descoberta de paradoxos colocou sob suspeita os alicerces da própria matemática.
A partir do final do século XIX, o advento de novas geometrias ou a descoberta da existência de outras estruturas lógicas e as possibilidades de leituras dos números naturais ou a geometria euclidiana como modelos fundamentais se consolidam através do século XX pela organização dos objetos matemáticos em denominações bem características: conjuntos, grupos, anéis, figuras, números, funções, espaços vetoriais ou espaços topológicos.
§ 3. ORIGENS III
Como mostra a experiência , as crises se revelam interessantes quando permitem que os conteúdos se reformulem pelos processos de reconstrução dos conceitos.
O conhecimento é confrontado pela busca de sentidos e ordem ao caos em que às ideias parecem estar e todo caminho se assemelha à desordem natural da experiência. Mas, encontrando diferenças que normalmente não se percebe e relações entre os agentes da experiência, permite desenvolver raciocínios que se conformam como escolas do pensamento.
Certamente os estudos para superação das crises na Matemática e as formas de visão do pensamento matemático estão de muitos modos conjugados. Assim, até por volta de 1930 os estudos da lógica e da fundamentação matemática foram compartilhados pelas escolas logicista , intuicionista e formalista , que muitas influências
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UNIDADE 3 - PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS III
O filósofo grego Aristóteles é considerado o primeiro pensador a sistematizar as regras que orientam a razão na busca da verdade e da validade dos argumentos.
Discípulo de Platão, com quem estudou dos 17 aos 37 anos, Aristóteles, fundou em Atenas no ano de 355 a.C. o Liceu, sistema educacional que ficava próximo ao templo dedicado ao deus Apolo Lício. As despesas do Liceu eram asseguradas pelas contribuições de particulares e da corte macedônica, pois dos discípulos nada se cobrava. Da corte macedônica, através de Alexandre o Grande, de quem Aristóteles foi tutor, em respeito e afinidade ao preceptor de sua juventude, chegavam também valiosas contribuições de materiais que os estudiosos que acompanhavam as campanhas de Alexandre iam recolhendo.
Também chamada escola peripatética, pois Aristóteles costumava expor suas ideias ao ar livre passeando com os alunos sob a sombra das árvores das avenidas de que dispunha o local, o sistema educacional do Liceu, voltado para as pesquisas das ciências, ensinava a desenvolver a investigação dos fenômenos naturais com base na experimentação. O ensinamento de Aristóteles, que aborda vastos campos do conhecimento, é proveniente das anotações dos seus alunos organizados em quatro grandes grupos de obras. Uma delas, sob a denominação Organon, inaugura o estudo da disciplina que os séculos denominaram Lógica.
Aristóteles organizou, sistematizou e ampliou o conhecimento cientifico da Antiguidade através de modelos que se tornaram as principais bases de visão do universo. A Lógica Matemática e as lógicas contemporâneas fundamentam-se ou surgiram como crítica a lógica aristotélica, também chamada Clássica.
Embora todos tenham motivações para descobrir a verdade e uma aptidão natural que se revela como bom senso, através da lógica pode-se aprender a determinar a partir das informações disponíveis sobre um dado assunto, se as conclusões que inferimos são válidas e o que pode ser entendido como verdade. Melhor se temos como converter as informações para a linguagem que lhe é própria.
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Apesar da variedade dos elementos da lógica contemporânea, o estudo das estruturas lógicas da Matemática desenvolve-se através dos conceitos , juízos ou relações e o raciocínio. Estes, por sua vez, representam-se, quaisquer que sejam os meios, como termo, proposição e argumento. Assim, enquanto a proposição é a expressão de um juízo , o argumento é a expressão de um raciocínio.
§ 1. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA I
A preocupação fundamental da Lógica foi compreender a análise do raciocínio desde a formação da ideia até a elaboração dos argumentos.
Quando alguém afirma que a porta está aberta , está implícito que a ideia de porta e o conceito de estar aberto são evidentes. Mas, ao se afirmar que a medida da circunferência da Terra é , aproximadamente, 40.000 km ou, que toda função limitada e contínua por partes num intervalo fechado [a, b] é Riemann-Integrável neste intervalo , pressupõe que os conceitos constituintes estão claramente estabelecidos.
Certamente algumas ideias são aceitas com tanta naturalidade que dispensam explicações ou definição. Entretanto, quando as sentenças procuram descrever ou argumentar, elas transmitem informações que podem exigir justificativas. Enquanto a sentença a porta está aberta pode dispensar qualquer explicação, a afirmação que declara o valor da medida da circunferência da Terra requer comprovação.
Comprovar uma sentença é estabelecer uma conexão entre a afirmativa elaborada a partir de outras previamente conhecidas. Mais precisamente, é construir um conjunto de nome argumento , constituído de n+1 sentenças, cada uma delas chamada premissa , de modo que aquela que requer justificativa é chamada conclusão. Mais detalhadamente, designando por P 1 , P2,... , Pn e C, n + 1 sentenças dadas, um argumento é toda sequência finita de premissas P 1 , P2, P3,... , Pn , onde C , consequência de P 1 , P 2 , P 3 ,... é a conclusão.
Para usar uma expressão do lógico matemático norte-americano Alfred Tarski (1902–1983), pode-se distinguir na elaboração de um argumento dois níveis de
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Entretanto, às ideias de Aristóteles pouco se acrescentou até o século XVI. Coube ao matemático alemão Gottfried Wilhem Leibnitz (1646–1716) as primeiras antecipações dos estudos que viriam a se tornar no século XIX, fundamentalmente devido aos trabalhos do matemático inglês Geoge Boole (1815 - 1864), do matemático inglês de origem hindu Augustus de Morgan (1806 - 1871) e do matemático alemão Gottlob Frege (1848 - 1925), uma nova forma de lógica: a Lógica Simbólica Clássica , Lógica Abstrata ou Lógica Matemática.
Leibniz, um dos precursores do sistema binário, a partir de 1666 propõe ideias inovadoras às quais chamou lógica matemática e utilizou em vários trabalhos. Mas, como não as publicou, sua importância passou ignorada por seus contemporâneos.
Leibnitz construiu a primeira máquina calculadora que realizava multiplicações. Projetada para operar com números na base 10, não chegou a ser convertida para operar no sistema de base 2.
Números na base 2, diga-se, comportam muitos algarismos 0 e 1. Por exemplo, o número 10 na base 2, (10)2, escreve-se como 1010 (leia-se um zero um zero ), (100) 2 =1100100; (533) 2 =1011011101; (15752) 2 = 1110110001000.
§ 3. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA III
É Leibnitz quem vê que a Lógica é uma Álgebra ou que a Álgebra é uma Lógica.
Critico da lógica aristotélica ao considerar que ela mostra verdades conhecidas, mas não revela novas verdades, Leibnitz foi o primeiro pensador a perceber que as leis do pensamento contêm decodificações essencialmente algébricas ou que a lógica é uma espécie de álgebra ou que a álgebra é uma lógica.
As preocupações de Leibnitz na busca de uma linguagem matemática logicamente universal iniciam procedimentos de criação de símbolos universais num simbolismo reduzido com o objetivo de orientar o processo do raciocínio formulando conceitos que facilitem as operações lógicas.
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Por tudo isso é importante que se note que até então, desde os tempos de Aristóteles, o raciocínio lógico era totalmente desenvolvido com o uso da linguagem corrente e Leibnitz foi o primeiro pensador a ter a ideia de usar uma linguagem artificial para significar a estrutura dos pensamentos.
Para tanto observe que uma linguagem, ou todo sistema de símbolos utilizados como meio de comunicação, pode ser classificada em linguagens naturais ou línguas, como o português, o francês ou o inglês, em linguagens artificiais, como a linguagem da geometria, da álgebra ou as linguagens que comunicam instruções a uma máquina.
Enquanto as línguas surgem e se desenvolvem a partir de um grupo de indivíduos e estão sempre em transformação, as linguagens artificiais, aquelas onde as palavras ou os conceitos são substituídos por símbolos, possuem uma gramática que não se altera com o passar do tempo.
Para exemplificar mais de acordo com Tarski, considere o argumento: As raízes da equação x^2 −−−− 3x + 2 = 0 são x = 1 ou x = 2****.
que atua como linguagem – objeto, e a língua portuguesa, que contém a mensagem transmitida, atuam como metalinguagem.
Como é grande o interesse contemporâneo pelas metodologias de construção e análise dos argumentos, o estudo das linguagens artificiais que atuem como linguagens-objeto, como é o caso próprio da Matemática, torna-se cada vez mais requisitado.
§ 4. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA IV
Desde o simbolismo de Leibnitz a idealização de uma álgebra da lógica começa a formar contornos em 1847 e 1848 quando, respectivamente, De Morgan e Boole publicam Lógica Formal ou Cálculo de Inferência e Análise Matemática da Lógica.
