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Lógica Matemática
Genilson Gomes da Silva
1 Proposição
De nição 1.1 Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que expri- mem um pensamento de sentido completo, sendo ele verdadeiro ou falso.
Por exemplo, são proposições as três a rmações seguintes:
(a): O número 17 é primo. (b): Fortaleza é a capital do Maranhão. (c): Todo número primo maior do que 2 é ímpar.
Observação 1.1 Uma Proposição P é verdadeira se já é um axioma (uma a rmação de sentido verdadeiro sem a necessidade de uma demonstração) da teoria ou então pode ser reduzida (ou provada) a partir dos axiomas da teoria.
1.1 Princípios da Lógica
A Lógica Matemática repousa sobre dois princípios fundamentais que permite todo seu de- senvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio. São eles:
- Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
- Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, veri ca-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
1.2 Proposições Simples e Proposições Compostas
O primeiro passo na construção de um linguagem simbólica, mais adequada à formulação dos conseitos da Lógica, é a apresentação do que chmamos proposição simples.
De nição 1.2 Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.
As proposições simples são em geral designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s,.. ., chamadas letras proposicionais. São exemplos de proposição simples:
p : A lua é um satélite da terra. q : Pedro é estudante. r : Todos os homens são mortais. s : O número 25 é quadrado perfeito.
De nição 1.3 Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
Em geral designamos proposições compostas por letra latinas maiúsculas P, Q, R, S,.. ., que também chamamos de letras proposicionais. São exemplos de proposição composta:
P : Se pedro é estudante, então é feliz. Q : Carlos é professor e Pedro é estudante. R : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa.
1.3 Conectivos
Podemos perceber nos exemplos anteriores, que as proposições compostas P , Q e R, são combinações de proposições simples separadas por conectivos.
De nição 1.4 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposi- ções a partir de outras.
A Lógica dispões de cinco conectivos: “e, “ou, “não, “se... então.. . e “... se e somente se... ” Vejamos alguns exemplos:
P : Carlos é professor e Pedro é estudante. Q : Mário foi ao cinema ou Marcelo cou em casa. R : Não está chovendo. S : Se pedro é estudante, então é feliz. T : Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC^2 = AB^2 + BC^2.
1.4 Tabela-Verdade
Além de proposições a Lógica dispõe de uma função chamada Valor Lógico que nos permite associar a cada proposição simples um de dois valores lógicos. Segundo o Princípio do terceiro excluido, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem valor lógico V (vedadeiro) ou valor lógico F (falsidade).
p V F
Porém, se a proposição for composta seu valor lógico depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, desta forma para que se possa determinar o valor lógico de uma proposição composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade. Para representar o valor lógico de uma dada proposição p, usa-se a seguinte notação: V(p). Vejamos os seguintes exemplo:
p: Fortaleza é a capital do Maranhão. q: O número 17 é primo.
Temos:
V(p) = F, V(q) = V
De nição 2.4 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ∨ q (que lê-se: “p ou q ou “p ou q, mas não ambas) é a disjunção exclusiva de p e q, cujo valor lógico é vedade (V) somente quando p verdadeira ou q é verdadeiras, mas não quando ambas são verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Vejamos a tabela-verdade da disjunção exclusiva:
p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F
2.5 Condicional (→)
De nição 2.5 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p → q (que lê-se: “se p então q é a proposição condicional, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade (V) nos demais casos.
Temos que a proposição condicional p → q tem os seguintes signi cados: (i) p é condição su ciente para q. (ii) q é condição necessária para p.
Observação 2.1 O símbolo “ → ” é chamado símbolo de implicação.
Vejamos a tabela-verdade da condicional:
p q p → q V V V V F F F V V F F V
2.6 Bicondicional (↔)
De nição 2.6 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ↔ q (que lê-se: “p se e somente se q é a proposição bicondicional, cujo valor lógico é a verdade (V) no caso em que p e q são ambas verdadeira ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.
Temos que a proposição bicondicional p ↔ q tem os seguintes signi cados: (i) p é condição necessária e su ciente para q. (ii) q é condição necessária e su ciente para p. Vejamos a tabela-verdade da bicondicional:
p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V
3 Tautologia, Contradição
3.1 Tautologia
De nição 3.1 Chama-se tautologia toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).
Exemplo 3.1 A proposição “ ∼ (p ∧ ∼ p)” (principio da não contradição) é tautoló- gica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p ∼ p p ∧ ∼ p ∼ (p ∧ ∼ p) V F F V F V F V Portanto, dizer que uma proposição nõ pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é veradeiro.
3.2 Contradição
De nição 3.2 Chama-se contradição toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade).
Exemplo 3.2 A proposição “p ∧ ∼ p” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
p ∼ p p ∧ ∼ p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é falso.
4 Implicação Lógica
De nição 4.1 Diz-se que uma proposição composta P implica uma proposição Q, se Q é verdadeira (V) toda vez que P é verdadeira (V). Em outras palavras, dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, signi ca que para os valores verdadeiros (V) de P não se pode ter valores falsos (F) em Q.
Notação: P ⇒ Q
A relações de implicação possui as seguintes propriedades:
Re exiva: P ⇒ P Transitiva: Se P ⇒ Q e Q ⇒ R então P ⇒ R
Teorema 4.1 Dada uma proposição P e uma proposição Q diz-se que P inplica Q, ou seja, P ⇒ Q se e somente se a condicional P → Q é tautológica.
Demonstração: Se P implica Q, então os respectivos valores lógicos de P e Q não podem ser simul- taneamente V e F , e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional encerra somente a letra V , daí a condicional é tautológica. Reciprocamente, se a condicional é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela- verdade encerra somente a letra V , então não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P e Q sejam respectivamente V e F e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda. Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice- versa.
