Fundamentos - de - Matemática - II, Notas de estudo de Matemática

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Fundamentos da

Matemática II

Inder Jeet Taneja

Aldrovando L. A. Araújo

2ª Edição Florianópolis, 2010

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Natália de Gouvêa Silva Ilustrações: Anita de Freitas Bitencourt Capa: Thiago Felipe Victorino Design Instrucional Coordenação: Juliana Machado Design Instrucional: Alessandra Zago Dahmer, Elenira Oliveira Vilela Revisão do Design Instrucional: Márcia Maria Bernal

Revisão Gramatical: Maria Tereza de Queiroz Piacentini

Copyright © 2010, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

T164f Taneja, Inder Jeet Fundamentos de Matemática II / Inder Jeet Taneja, Aldrovando L. A. Araújo. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2009. 131p. ISBN 978-85-99379-71-

1. Matemática. II. Araújo, Aldrovando L. A. III. Título. CDU 51

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

Fundamentos da Matemática II

Neste trabalho discutimos um número de resultados e métodos, es- pecialmente da área de combinatória e teoria elementar de probabi- lidade. A apresentação não omite provas de resultados importantes, ainda que não seja centrada nelas. No entanto, meramente expor os fatos sem algum argumento que os justifique, seria terrivelmente distante do espírito de um curso superior em matemática. Assim, sempre que possível, damos provas dos resultados importantes desde que seus argumentos não estejam demasiadamente além do escopo da disciplina para a qual foram escritas estas notas. Outro ingrediente que consideramos essencial é a resolução de problemas, e neste ponto é onde nossas notas se concentram. Todos os concei- tos e teoremas são exaustivamente explorados nos exercícios. De fato, dada a tipicidade do assunto, acreditamos que a sua melhor exposição possa ser realizada na forma de resolução de exercícios que exemplifiquem argumentos fundamentais e outros, nos quais o estudante deve explorar os conhecimentos adquiridos no texto e nos exercícios resolvidos. Muitos detalhes de argumentos ou seus refinamentos se encontram nos exercícios. É imprescindível que o estudante tente fazer todos os exercícios das notas. De preferência, tente resolver os já resolvidos, sem conhecimento prévio da solução proposta, e em caso de fracasso sim, verifique a resolução.

Todo o trabalho está divido em quatro capítulos. Os conteúdos das notas compreendem: regras básicas de contagem, números fato- riais e princípio de indução, combinações, permutações e arranjos simples e com repetição, problemas combinatórios com restrições, princípio da inclusão e exclusão, binômio de Newton e triângulo de Pascal, espaços de probabilidade finitos, probabilidade condicional e eventos independentes.

Inder Jeet Taneja

Aldrovando L. A. Araújo

damentais para o cálculo de configurações combinatórias, o método das funções geradoras. Também é considerado o pai da teoria dos grafos pela colocação e solução dos problemas das Pontes de Köni- gsberg, usando pela primeira vez conceitos e métodos da teoria dos grafos. Dos primeiros problemas de teoria dos grafos surgiram as tentativas de solução de alguns problemas cotidianos e também da colocação de alguns jogos matemáticos, tais como o problema das Pontes de Königsberg, o problema da disposição de rainhas em um tabuleiro de xadrez com certas restrições, problemas de transporte, o problema do agente de viagem, etc.

O problema das quatro cores, formulado nos meados do século XIX, (quatro cores são suficientes para colorir as regiões de um mapa de tal maneira que regiões com fronteira tenham cores distintas) deixou de ser um mero jogo matemático para ser uma fonte de importantes pro- blemas e resultados em teoria dos grafos, de interesse tanto teórico como prático. Este foi um dos problemas teóricos mais desafiadores na história da combinatória devido à simplicidade de seu enunciado.

Na Inglaterra, nos finais do século XIX, Arthur Cayley fez impor- tantes contribuições à teoria de enumeração de grafos. Por esta épo- ca, o matemático George Boole usou métodos de combinatória em conexão com o desenvolvimento da lógica simbólica e com as idéias e métodos que Henri Poincaré desenvolveu em relação aos proble- mas de topologia. Um dos fatores mais importantes que contribuí- ram para o grande desenvolvimento que teve a combinatória desde 1920 foi a teoria dos grafos. A importância dessa disciplina se apóia no fato de que os grafos podem servir como modelos abstratos para modelar uma grande variedade de relações entre objetos de um conjunto. Suas aplicações se estendem a campos tão diversos como a investigação de operações, química, mecânica estatística, física te- órica e problemas sócio-econômicos. A teoria de redes de transporte pode ser vista como um capítulo da teoria dos grafos.

A teoria da probabilidade teve sua criação por Blaise Pascal e Pierre de Fermat motivada por uma disputa relativa a jogos de azar em

1654. Um nobre francês, Antoine Gombaud, com interesse em jo- gos de azar, colocou um problema relativo a um jogo de dados para Pascal, que conduziu a uma extensa correspondência entre Pascal e Fermat na qual eles estabeleceram pela primeira vez os princípios

fundamentais da teoria. O cientista Christian Huygens, um profes- sor de Leibnitz, tomou conhecimento desta correspondência e, pou- co depois, publicou o primeiro livro em probabilidade, intitulado De Ratiociniis in Ludo Alea. Em síntese, era um tratado fundado em problemas associados à teoria dos jogos de azar. Em função do forte apelo de tais jogos, a teoria da probabilidade logo se tornou popular, e se desenvolveu rapidamente durante o século XVIII. As maiores contribuições, durante este período foram de Jakob Bernoulli (1654-

1705. e Abraham de Moivre (1667-1754). Em 1812 Pierre de Laplace (1749-1827) introduziu um conjunto novo de idéias e técnicas em seu livro, Théorie Analytique des Probabilités. Antes dele, a probabi- lidade estava concentrada no desenvolvimento de uma teoria ma- temática dos jogos de azar. Laplace, no entanto, aplicou as idéias da probabilidade a muitos outros problemas científicos e práticos. Teoria de erros, matemática aturial e mecânica estatística são alguns exemplos das aplicações da teoria da probabilidade desenvolvidos no século XIX.

Entre os matemáticos que contribuíram para a teoria da probabili- dade, depois de Laplace, destacam-se Chebyshev, Markov, von Mi- ses, e Kolmogorov. No entanto, a axiomatização da teoria só se deu no século XX. Em 1933, o matemático russo Kolmogorov em uma monografia, desenvolveu uma abordagem axiomática que se consti- tuiu na base para a moderna teoria da probabilidade. (O trabalho de Kolmogorov está disponível em inglês com o título de Foundations of Probability Theory, Chelsea, New York, 1950.) Desde então, estas idéias tem sido refinadas e a teoria da probabilidade é hoje parte de uma disciplina mais geral conhecida como Teoria da Medida.

Leonard Euler Leonhard Euler (1707 – 1783) foi o matemáti- co mais prolífico na história. Seus 866 livros e artigos representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisas em matemática, teorias físicas e engenharia me- cânica publicadas entre 1726 e 1800. Fonte: www.somatematica.com.br/biograf/euler.php

Arthur Cayley

Matemático inglês (1821- 1895) que foi moti- vado pelo problema de calcular o número de isômeros de hidrocarbonetos saturados.

George Boole O trabalho de Boole (1814 – 1864) foi funda- mental para a evolução dos computadores. A Álgebra Booleana tem aplicações na es- trutura dos computadores modernos e nas ligações telefônicas. Fonte: www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/boole. html

Henri Poincaré

Matemático, físico e filósofo (1854 – 1912). No âmbito das matemáticas aplicadas, estudou numerosos problemas de óptica, eletricida- de, telegrafia, capilaridade, elasticidade, ter- modinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

Capítulo 1

Noções Básicas

Neste capítulo apresentaremos algumas noções básicas

de matemática já vistas anteriormente no ensino médio.

Apresentaremos conhecimentos de fatoriais, somatórios,

produtórios, etc. Também apresentaremos a noção de

princípio de indução. Estes assuntos serão utilizados fre-

qüentemente nos capítulos posteriores.

1.1 Fatorial de um Número Natural

Ao produto 1.2.3 indicamos 3! e lemos três fatorial ou fatorial de três.

Assim:

5! =5.4.3.2. 4! = 4.3.2.1.

Por convenção:

0! = 1 1! = 1.

Estas convenções podem parecer estranhas inicialmente, mas veremos no decorrer do capítulo que são as únicas que oferecem compatibilida- de com o conceito de fatorial de um número natural n ≥ 2.

Definição 1.1. Seja n um número natural qualquer. Dizemos que

1 se 0 ! 1! se 0.

n n n n n

^ =

 −^ >

c)!^ (^ 1 !)^!^ (^1 )^!^!

n n n n n n n n

n n

− − (^) = − n.

d) (^ )^ (^ )

n n n n n n n n n n n

( n^ −1 !)

( )

n n n

− ( n − 1 )

n n n

= +^ −

Exemplo 1.5. Resolva as seguintes equações:

a) n!^^ =^5 (^ n −^ 1 !);

b) ( n^^ −^ 1 !)^ =^120 ;

c) ( n^ +^ 5 !) +^ ( n^ +^ 4 !) =^35 ( n +^ 3 !);

d)

x x

e) (^ )

x x

f) (^ )

n n n n

g) (^ )^ (^ )

n n n n

Solução. Para resolver equações com fatorial é conveniente primeiro simpli- ficar os fatoriais, fazer as operações na forma simplificada e depois buscar as soluções das equações. Veja as soluções abaixo:

a) n n ( − 1 !) = 5 ( n −1 !)

⇒ (^) n = (^5).

b) ( n^^ −^ 1 !)^ =5!

⇒ ( n − 1 ) = 5

⇒ n = (^6).

c) ( n + 5 )( n + 4 ) ( n + 3 !) + ( n + 4 ) ( n + 3 !) = 35 ( n +3 !)

Equações Igualdade entre duas ex- pressões matemáticas que se verifica para determinados valores das variáveis. Fonte: Dicionário Houaiss.

Encontrar o valor da variável (letra, incógnita, etc...).

⇒ ( n + 5 )( n + 4 ) + ( n + 4 )= 35

⇒ ( n + 4 )( n + 6 )= 35

⇒ n^2^ + 10 n + 24 = 35 ⇒ n^2^ + 10 n − 11 = 0 ⇒ n ' = 1 e n '' = − 11. Agora, n '' = − 11 não é válido, pois não é natural, então a única solu- ção da equação dada é n = 1.

d) x x ( − 1) ( x − 2 !) = 30 ( x −2 !)

⇒ x^2 − x = 30 ⇒ x^2 − x − 30 = 0

⇒ ( x − 6 )( x + 5 ) = 0

⇒ x ' = 6 ou x '' = − 5. Aqui também, x '' = − 5 não é válido, pois não é natural, então a única solução da equação dada é x^ =^6.

e) (^ x^ +^1 ) (^ x^^ x −1 !)

( x^ −^ 1 !)

⇒ x^2 + x = 56 ⇒ x^2 + x − 56 = 0

⇒ ( x + 8 )( x − 7 )= 0

⇒ x ' = − 8 ou x '' = 7. Da mesma forma, x ' = − 8 não é válido, pois não é natural, então a única solução da equação dada é x = 7.

f) (^ 1) (^ 1)!^ (^ 1)!^8 ( 1)!

n n n n n (^) n n

n n [ + 1 − 1 ] ( n −1 !)

( n^ −1!^ )

= 8 n.

Retome a definição 1.1 e você notará que fatorial é uma operação definida apenas para números naturais.