Fundamentos - de - Matemática - I, Notas de estudo de Matemática

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2ª Edição Florianópolis, 2009

Fundamentos de

Matemática I

Neri Terezinha Both Carvalho

Carmem Suzane Comitre Gimenez

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa Coordenação Pedagógica: Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior. Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Gabriel Nietsche Ilustrações: Pricila Cristina da Silva, Gabriel Nietsche Capa: Thiago Felipe Victorino Design Instrucional Coordenação: Juliana Machado Design Instrucional: Janice Pereira Lopes Revisão do Design Instrucional: Márcia Maria Bernal

Revisão Gramatical: Jane Maria Viana Cardoso

Copyright © 2009, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

C331f Carvalho, Neri Terezinha Both Fundamentos de matemática I / Neri Terezinha Both Carvalho, Carmen Suzane Comitre Gimenez. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/ EAD/CED/CFM, 2009. 207 p. ISBN 978-85-99379-73-

1. Matemática. I. Gimenez, Carmem S. Comitre. II. Título. CDU 51 Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/

Sumário

• Apresentação
  • Numeração em Diferentes Bases..................................... 1. Elementos da História dos Números e Sistemas de
    • 1.1 Elementos da história................................................................. - os sistemas de numeração e estruturas ............................ 1.1.1 Contagem: a idéia da correspondência,
      • 1.1.2 A evolução do estudo dos números
    • 1.2 Sistemas posicionais: bases de sistemas de numeração
      • 1.2.1 Bases de sistemas de numeração...................................... - bases diferentes da base decimal 1.2.2 Sistema de numeração posicional em
      • de diferentes bases 1.2.3 Operações nos sistemas de numeração
    • Resumo
• 2. Conjuntos Numéricos – Naturais e Inteiros
     • 2.1 Conjunto dos números naturais - números naturais? 2.1.1 Que operações estão definidas no conjunto dos
       • 2.1.2 Definição da Relação de ordem
         • dos números naturais 2.2 Conjunto dos números inteiros – uma ampliação
       • 2.2.1 Operações em 
       • 2.2.2 Proposições em 
       • 2.2.3 Relação de ordem em  ...................................................
       • 2.2.4 Valor absoluto em 
       • 2.2.5 Princípio da Boa ordem em 
       • 2.2.6 Princípio do Menor Inteiro em  (PMI)
     • Resumo
     • Bibliografia comentada
• 3. Divisibilidade e Algoritmo da Divisão
     • 3.1 Divisibilidade em  e em 
     • 3.2 Algoritmo da Divisão em  e em 
     • 3.3 Consequências do Algoritmo da Divisão
     • 3.4 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum
     • 3.4.1 Máximo divisor comum ( mdc )
     • 3.4.2 Propriedades do mdc em 
     • 3.4.3 O Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc
     • 3.4.4 Máximo divisor comum de vários números
     • 3.4.5 Máximo divisor comum - resultados importantes......
     • 3.4.6 Máximo Divisor Comum em 
     • 3.4.7 Definições e resultados sobre mdc em  - Resolução de Equações Diofantinas ............................... 3.4.8 Consequência da Identidade de Bézout:
  • 3.5 Mínimo Múltiplo Comum em  ( mmc ) .................................
  • 3.6 Mínimo Múltiplo Comum em 
  • 3.7 A relação de Congruência módulo m
  • Resumo .............................................................................................
  • Bibliografia complementar.............................................................
• 4. Teorema Fundamental da Aritmética - diferenças, semelhanças e propriedades 4.1 Números primos em  e em  :
  • 4.2 O Teorema Fundamental da Aritmética
  • 4.3 Aplicações da Fatoração ...........................................................
  • Resumo .............................................................................................
  • Bibliografia comentada ...................................................................
• 5. Princípio de Indução
  • 5.1 Princípio de Indução
  • Resumo
  • Bibliografia comentada
• 6. Números racionais
  • 6.1 Introdução .................................................................................. - números racionais ..................................................................... 6.2 A idéia da construção do conjunto dos
  • 6.3 Operações em  ........................................................................
    • 6.3.1 Adição em 
    • 6.3.2 Subtração em  ................................................................
    • 6.3.3 Multiplicação em ..........................................................
    • 6.3.4 Divisão em  .....................................................................
  • 6.4 Frações irredutíveis ...................................................................
  • 6.5 Sobre a simplificação de frações.............................................
  • 6.6 Sobre a nomenclatura das frações
• 6.7 Relação de ordem em ............................................................
  • 6.7.1 Propriedades da relação de ordem..................................
• 6.8 Valor absoluto (ou módulo) ......................................................
• 6.9 Densidade
• 6.10 A representação decimal
  • 6.10.1 Existência da representação decimal finita
• 6.11 Potências em 
  • 6.11.1 Propriedades das potências em 
• 6.12 Existência de números que não são racionais

sora da formulação dos sistemas de numeração e sua evolução até a concepção e estabelecimento do sistema de numeração decimal como universal.

No segundo capítulo, apresentaremos os conjuntos numéricos Naturais e Inteiros. Introduzimos os conjuntos numéricos  e  , apresentando seus elementos, as operações definidas em cada conjunto com suas respectivas propriedades. Fazemos uma apre- sentação da estrutura de cada um dos conjuntos numéricos, natu- rais e inteiros, de maneira sistemática.

Desenvolvemos o Algoritmo da divisão em  e o conceito de di- visibilidade no terceiro capítulo. Também neste capítulo explora- mos as conseqüências do conceito de divisibilidade com estudo do máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, equações diofantinas e congruências. Esta parte do conteúdo fornece um instrumental importante para a resolução de exercícios. Neste ca- pítulo o conjunto de exercícios propostos é variado e abundante.

O quarto capítulo é dedicado ao Teorema Fundamental da Arit- mética, que envolve o estudo de números primos e aplicações da fatoração.

O quinto capítulo apresenta o Princípio da Indução finita, um procedimento para demonstrações de certos tipos de resultados.

Finalizamos com o estudo do conjunto dos números racionais no sexto capítulo.

Neri Terezinha Both Carvalho

Carmem Suzane Comitre Gimenez

Capítulo 1

Elementos da História dos

Números e Sistemas de

Numeração em Diferentes

Bases

Capítulo 1

Elementos da História dos Números

e Sistemas de Numeração em

Diferentes Bases

Neste capítulo estudaremos o sistema de numeração na

base dez e a lei de formação dos números de um sistema

de numeração em uma base qualquer.

Este capítulo tem, ainda, o objetivo de apresentar al-

guns elementos da história relativos aos sistemas de

numeração e desenvolver um estudo que oferece ao lei-

tor a compreensão do funcionamento de um sistema de

numeração posicional independentemente da base con-

siderada.

1.1 Elementos da história

A numeração escrita é muito antiga. A evolução da numeração encontra sua expressão final no sistema de numeração decimal.

Cálculos que atualmente uma criança realiza, exigiam, na anti- guidade, os serviços de um especialista. As dificuldades experi- mentadas, na época, eram inerentes ao sistema de numeração em uso, os quais não eram suscetíveis a regras simples e diretas. Ne- nhum sistema da antiguidade era capaz de criar uma aritmética que pudesse ser utilizada por um homem de inteligência média. Por isso, até o advento do sistema de numeração posicional , foram feitos poucos progressos na arte de calcular.

Conhecer um pouco da história da evolução dos conhecimentos facilita, muitas vezes, a compreensão sobre o que se usa, o que se explora, ao que damos maior ênfase, no presente. Conhecer a evo- lução permite compreender as modificações que sofreram os sa-

beres ao longo da história. O que estudamos, no presente, são os re- sultados de um estágio da evolução. Existe um movimento científico paralelo ao movimento cultural e de desenvolvimento dos povos.

1.1.1 Contagem: a idéia da correspondência, os sistemas de numeração e estruturas

Os mais antigos documentos escritos de que dispomos mostram a presença do conceito de “número”; todos contêm a questão: “Quan- tos?” Estes documentos provém da China, Índia, Egito e Mesopotâ- mia e têm aproximadamente 6000 anos. Provavelmente, muito an- tes desta época, o conceito de número como forma de contagem já existia: uma tíbia de lobo com 55 cortes transversais divididos em blocos de 5 foi encontrada na Tchecoslováquia e data de aproxima- damente 30 000 a.C.

As primeiras culturas a usar símbolos especiais para os números desenvolveram-se junto a grandes rios: China, norte da Índia, Egito e Mesopotâmia. Aparentemente, tudo começou com a idéia de “cor- respondência”: é comum a história do pastor que, para saber se não faltava nenhuma ovelha na hora de recolher o rebanho, fazia uma correspondência das ovelhas com um conjunto de pedrinhas; cada ovelha que entrava, uma pedrinha era separada. Se sobrassem pe- drinhas, faltavam ovelhas. É claro que este pastor fez uma “corres- pondência inicial”, ou seja, seu conjunto de pedrinhas correspondia ao seu conjunto de ovelhas. Esta idéia de “conjunto” foi uma das primeiras abstrações feitas pelo homem e a correspondência entre conjuntos foi o primeiro passo para a contagem.

Os primeiros tipos de correspondência usavam o corpo humano: dedos das mãos, dos pés, pulso, cotovelo, ombro etc., numa certa ordem. Algumas civilizações chegavam até o 31, usando todos os dedos das mãos e dos pés e mais onze partes do corpo; algumas chegavam a 100. De início, não havia palavras específicas para nú- meros, nem o conceito de número de forma abstrata; o surgimento de palavras-número não implica, por si só, o aparecimento do con- ceito de número, mas, sem dúvida levou a ele. Resumindo, isto pa- rece ter ocorrido da seguinte forma:

1. Egípcios (há cerca de 5000 anos) - sistema aditivo, base dez. Ti- nham símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 e não havia símbolo para o zero; para expressar números muito grandes usavam também um sistema multiplicativo.

2. Babilônios (mesma época que os egípcios) - viviam na Me- sopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates (atual Iraque); eram comerciantes e tinham necessidade de documentar suas ativi- dades comerciais. Os números menores que 60 eram represen- tados em base 10, por agrupamentos; os demais eram repre- sentados em base 60, pelo princípio posicional. A notação dava margem à mais de uma interpretação. Não havia um símbolo para o zero, mas eles deixavam um espaço para indicá-lo. Her- damos dos babilônios a representação das horas e das medidas de ângulos (base 60).

3. Gregos (cerca de 600 anos a.C.) - sistema aditivo, base 10. Usa- vam 27 símbolos: 24 eram as letras do alfabeto e 3 eram letras que, na época, já estavam em desuso. Além dos símbolos, usa- vam também acento nas letras; com isso, conseguiam repre- sentar números até 10 000 com apenas 4 letras e acentos.

4. Romanos (cerca de um século a.C.) - sistema aditivo, base 10. Também usavam letras do alfabeto para representar os núme- ros, por exemplo: I representava a quantidade 1, V representa- va a quantidade 5, L representava o 50 etc. Na época de Cristo, o sistema era somente aditivo (por exemplo, a representação do quatro: IIII); na idade média, incorporaram uma subtração para economizar símbolos (passaram a representar o 4 por IV, isto é: 5-1). Este sistema é usado até hoje.

5. Chineses e japoneses (cerca do século III a.C.) - sistema misto de aditivo e multiplicativo, base 10. Os números eram repre- sentados na escrita de cima para baixo, ou da esquerda para a direita. No início, os símbolos eram como os ideogramas; os cálculos eram feitos com barras estendidas sobre uma mesa, o que levou à utilização das barras como símbolos para repre- sentar os números, simplificando a notação. O novo sistema de barras era composto de 18 símbolos, usados numa espécie de sistema posicional. Um documento de 1247 mostra o lugar do zero ocupado por um círculo.

6. Maias (cerca do século IV d.C.) - sistema posicional, base 20; usavam traços e pontos para representar os números. Desen- volveram um calendário, conheciam astronomia, arquitetura e tinham grande atividade comercial.

Atividade

1. Faça uma busca bibliográfica e consulte alguns livros que abordam os diferentes sistemas de numeração segundo os povos. Evidencie características de cada sistema como, por exemplo: os símbolos usados, a base, se o sistema é aditivo, multiplicativo ou posicional. Faça um resumo de, no máximo, duas páginas.

O sistema indo-arábico

O nosso sistema de numeração é relativamente recente; antes da era cristã, cada civilização tinha seu próprio sistema, o que dificultava as atividades de comércio. Não podemos precisar exatamente a ori- gem do nosso sistema; símbolos semelhantes aos nossos foram en- contrados na Índia, em colunas de pedra de um templo construído por volta de 250 a.C. Nesta época, eram usados símbolos especiais para as potências de 10, mas, não há registro de um símbolo para o zero e a notação posicional não aparece. A maior parte dos histo- riadores situaram o final do desenvolvimento do sistema, com uso pleno e sistemático do zero e a notação posicional, entre os séculos IV e VII d.C.

Por volta do ano 800, o sistema foi levado a Bagdá e foi adotado pelos árabes. Por volta de 825, o persa al-Kowarizmi descreveu o sistema, atribuindo-o exclusivamente aos indianos. Ao se deslocarem atra- vés das costas do norte da África e depois até a Espanha, os árabes levaram estes trabalhos e também outras importantes obras gregas traduzidas para o árabe, difundindo a cultura grega na Europa. A obra de al-Kowarizmi perdeu-se, mas, existe uma tradução latina do século XII, – o Liber Algorismi , que contribuiu para a introdução do sistema e suas formas de calcular no mundo ocidental. Também as obras de Fibonacci – Liber Abaci e de Sacrobosco – Algorismus Vulga- ris , do século XIII, descrevem o sistema e suas vantagens em relação ao sistema romano. Cópias manuscritas destes trabalhos podem ser

misticismo destes países em relação aos números; de volta à colônia grega de Crotona (sul da Itália), quando tinha cerca de 40 anos, fun- dou um misto de escola e comunidade religiosa onde cultivavam a Filosofia, a Ciência e a Matemática. A escola, apesar de dispersa por problemas políticos, continuou a existir através dos seguidores de Pitágoras (Filolaus e Arquitas de Tarento, entre outros) por, pelo menos, mais dois séculos após sua morte, em 497 a.C. Historiadores atribuem aos pitagóricos a criação de uma matemática “pura”, no sentido de conter muito de filosofia e abstração, desvinculada dos problemas práticos: “aritmética” significava o estudo teórico dos nú- meros e, aos cálculos, os pitagóricos davam o nome de “logística”. Atribui-se também aos pitagóricos certos conceitos como números figurados, números perfeitos e números amigos.

A partir de meados do século XIX, o interesse pelos números voltou- se para o estudo das “estruturas”, como generalizações dos sistemas numéricos. Uma estrutura algébrica consiste num conjunto (cujos elementos não são necessariamente números) equipado com ope- rações (operação no sentido de relacionar dois elementos com um terceiro) que satisfazem determinadas condições. O conjunto dos números inteiros munido das operações de adição e multiplicação é exemplo de uma estrutura que leva o nome de “anel”; tem a mesma estrutura de anel, o conjunto dos polinômios em uma variável com coeficientes inteiros, equipado com as operações de adição e multi- plicação de polinômios.

Mais recentemente, a partir da segunda metade do século XX, o in- teresse pela teoria que trata de números deveu-se à sua aplicação em criptografia e códigos de segurança, mais especificamente, após o advento dos computadores. Antigos teoremas chineses foram resga- tados e utilizados a fim de otimizar a linguagem das máquinas.

Atividade

3. Pesquise e elabore um texto de no máximo 15 linhas sobre o que representou a Escola Pitagórica no contexto da evolução dos números.

4. Você sabe a definição de números amigos, figurados e perfei- tos? Pesquise e faça o que se pede:

a) Defina números figurados e dê exemplos. b) Defina números perfeitos e dê exemplos.

c) Dê a definição de números amigos e exemplifique.

Pesquise, você mesmo, uma bibliografia para consulta.

1.2 Sistemas posicionais: bases de sistemas de numeração

No presente estudo, buscamos oferecer para o aluno a compreen- são da estrutura do sistema de numeração decimal, dos processos segundo os quais operamos e a compreensão da representação e tratamento em outros sistemas de numeração.

No ensino, os sistemas posicionais de bases diferentes da base 10 são estudados, pois este estudo permite compreender melhor as es- truturas, os processos, segundo os quais operamos. A compreensão e uma conseqüente habilidade de tratamento dos processos são fun- damentais para o professor de matemática.

Como vimos, a numeração escrita é muito antiga. A evolução da numeração encontra sua expressão final no sistema de numeração decimal.

O surgimento do sistema de numeração posicional, de base 10, foi provavelmente conseqüência do uso, praticamente universal, dos dez dedos das mãos.

Foram os Indianos que nos deram o inteligente método de expressar todos os números através de dez símbolos, cada símbolo recebendo tanto um valor posicional como um valor absoluto; uma idéia pro- funda e importante, ignorada durante muito tempo e que, agora, nos parece simples.

1.2.1 Bases de sistemas de numeração

Você está familiarizado a representar os números, não importa qual a quantidade, usando a posição dos algarismos: por exemplo 14, 357, 2389 etc. Desde o Ensino Fundamental você aprendeu a escrevê-