Lógica Matemática - Apostilas - Informática, Notas de estudo de Informática

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

EAD 2009

MATEMÁTICA

ELABORAÇÃO

Érica Nogueira Macedo

REVISÃO

Tânia Regina Gonçalves do Vale

DIAGRAMAÇÃO

Nilton Rezende

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB

MACÊDO, Erica Nogueira.. M 141 Lógica matemática - licenciatura em matemática / Erica Nogueira Macedo. Salvador: UNEB/ EAD, 2009. (Educação e Tecnologias da Informação e Comunicação) 50p.

1. lógica - Matemática. 2. Preposições 3. Conectivo I. Título II. Curso de graduação em matemática III. Universidade aberta do Brasil IV. UNEB /NEAD

CDD: 510

EAD 2009

MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

PRESIDENTE DA REPÚBLICA

Luis Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃO

Fernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Carlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Hélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES

Celso Costa

COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPES

Nara Maria Pimentel

EAD 2009

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GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA

GOVERNADOR

Jaques Wagner

VICE-GOVERNADOR

Edmundo Pereira Santos

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO

Adeum Hilário Sauer

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB

REITOR

Lourisvaldo Valentim da Silva

VICE-REITORA

Amélia Tereza Maraux

PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO

Mônica Moreira Torres

COORDENADOR UAB/UNEB

Silvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTO

Jader Cristiano Magalhães de Albuquerque

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

Prezado estudante,

Este módulo é parte do material didático que dá suporte as suas atividades de auto-estudo e auto-formação no curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à distância.

Cada componente curricular dispõe de um material impresso correspondente, especialmente preparado para este curso, por docentes - pesquisadores, selecionados por sua inserção e produção na área de conteúdo específica. Além deste módulo, você também dispõe de material em mídia e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). Procure conhecer e explorar o máximo possível todo o material disponibilizado para o seu curso.

É importante ter consciência que este é um material básico, especialmente preparado para lhe oferecer uma visão essencial ao estudo do conteúdo de cada componente curricular. Portanto, ele não tem o objetivo de ser o único material para pesquisa e estudo. Pelo contrário, durante o decorrer do texto, o próprio módulo sugerirá outras leituras, apontando onde você pode encontrar fontes para aprofundar, verticalizar ou trazer outros olhares sobre a temática abordada.

Observe que, no decorrer deste módulo, os autores abrem caixas de diálogo para que você construa como interlocutor ativo, a sua leitura do texto. Elas aparecem com os ícones e objetivos listados a seguir:

Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor- mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;

Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra- zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;

Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;

Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor- formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.

Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta- ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.

Bom estudo!

Coordenação de Material Didático Núcleo de Educação a Distância - NEAD

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?^? ? ?? ? SAIBA MAIS

INDICAÇÃO DE LEITURA

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

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• EAD
  • Tema 01 – Cálculo Proposicional SUMÁRIO
  • 1. Proposições e conectivos
    • 1.1 Proposições
    • 1.2 Classificação das proposições
    • 1.3 Tipos de conectivos
  • 2. Tabelas verdade e operações lógicas
    • 2.1 Conjunção (∧)
    • 2.2 Disjunção (∨)
      • 2.2.1 Disjunção exclusiva (∨)
    • 2.3 Condicional (→)
    • 2.4 Bicondicional (↔)
    • 2.5 Operações lógicas com proposições compostas
    • 2.6 Construindo tabelas verdade
  • 3. Relação de implicação
  • 4. Relação de equivalência
  • 5. Sentenças abertas e Quantificadores.
    • 5.1 Sentenças abertas
    • 5.2 Quantificadores
  • 6. Negação de proposições
    • 6.1 Negação de uma conjunção
    • 6.2 Negação de uma disjunção
    • 6.3 Negação de um condicional simples
    • 6.4 Negação de um bicondicional
    • 6.5 Negação de proposições quantificadas
      • EAD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
• Tema 02 – Álgebra das Proposições e o Método Dedutivo MATEMÁTICA
• 1. Álgebra das proposições
  • 1.1 Propriedades da conjunção
  • 1.2 Propriedades da disjunção
  • 1.3 Propriedades da conjunção e disjunção
• 2. Método Dedutivo
  • 2.1 Exemplos
  • 2.2 Forma normal das proposições
  • 2.3 Forma normal conjuntiva
  • 2.4 Forma normal disjuntiva
  • 2.5 Princípio da Dualidade
• Tema 03 – Argumentos e Regras de inferência
• 1. Argumentos
  • 1.1 Validade
  • 1.2 Argumentos válidos fundamentais
• 2. Regras de inferência
• 3. Validade de argumentos
  • 3.1 Validade mediante tabelas verdade.
  • 3.2 Validade mediante regras de inferência
  • 3.3 Método da demonstração indireta.
• 4. Aplicações da lógica
  • 4.1 Problemas interessantes
  • 4.2 Circuitos
    • 4.2.1 Portas Lógicas
• REFERÊNCIAS

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

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TEMA 01 – CÁLCULO PROPOSICIONAL

Neste tema faremos estudo inicial sobre lógica, defi- nindo as proposições, os conectivos e formando novas proposições. Estas sempre assumem um valor, deno- minado valor lógico, que pode ser verdadeiro ou falso. Aprenderemos como efetuar cálculos com estes valores lógicos através de composições em tabelas que deno- minamos tabelas verdade. Estudaremos também sobre as sentenças abertas, e como podemos transformá-las em proposições. Convido você a mergulhar neste mundo mágico que é o estudo da lógica matemática.

1. PROPOSIÇõES E CONECTIVOS

1.1 Proposições

Inicialmente vamos observar as seguintes afir- mações: p: O brasão da Uneb é uma estrela. q: O Brasil é um país da América do Sul. r: O dobro de 10 é 20. s: O conjunto dos divisores de 8 é unitário.

Note que todas as afirmações acima podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas; mais precisa- mente as afirmações q e r são verdadeiras enquanto as afirmações p e s são falsas. Toda afirmação que expressa um pensamento de sentido completo, podendo ser classificada em ver- dadeira ou falsa é denominada uma proposição ou sentença. As afirmações p, q, r e s citadas acima são proposições.

DEFINIÇÃO: Proposição é toda sentença declarativa que expressa um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como verdadeira ou como falsa.

Viu como é simples a definição de uma proposição? Agora precisamos orientações que nos ajudem a sempre identificar quando estamos diante de uma proposição. Ve- jamos, então, algumas características para identificá-las:

• Toda proposição tem que ser uma sentença decla- rativa de sentido completo, contendo sujeito e pre-

dicado, não sendo exclamativa nem interrogativa.

• Princípio do terceiro excluído - Uma proposição é verdadeira(V) ou falsa(F); não existe uma terceira possibilidade.
• Princípio da não contradição - Uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Exemplos: a) Hoje está muito quente! Não é uma proposição, pois é exclamativa. b) A Uneb é uma universidade. É uma proposição. c) 3+5=9. É uma proposição. d) Será que hoje chove? Não é proposição, pois é interrogativa. e) Quase não se vive sem ele hoje em dia. Não é uma proposição, pois não podemos lhe atribuir um valor lógico falso ou verdadeiro.

1.2 Classificação das proposições

Agora que nós já sabemos com identificar uma proposição podemos arrumá-las em dois grandes grupos: o das proposições simples ou atômicas e o das proposições compostas ou moleculares. Veremos agora a definição destes tipos que vai nos permitir diferenciar uma das outras.

Proposições simples

DEFINIÇÃO: Chama-se proposição simples toda sentença que contém uma única afirmativa.

Geralmente representamos as proposições simples por letras minúsculas do nosso alfabeto: p, q, r, s, t, u, v,... Lembramos mais uma vez: cada proposição assume um único valor lógico: verdadeiro ou falso. Exemplos: P: O brasão da Uneb é uma estrela. V(p) = F. q: O Brasil é um país da América do Sul. V(q)=V. r: O dobro de 10 é 20. V(r) = V.

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2. TABELAS VERDADE E OPERAÇõES

LóGICAS

Vimos que uma proposição é uma sentença decla- rativa que assume um valor lógico verdadeiro ou falso. Vimos também que a partir de proposições simples podemos construir outras através dos conectivos. Aprenderemos agora como calcular o valor lógico de uma proposição composta, levando em conta o valor lógico das proposições simples que a compõe.

Como o valor da proposição composta depende também do conectivo utilizado para formá-la, veja primeiro o valor lógico que, individualmente, a propo- sição, composta de apenas duas proposições simples, assume de acordo com o conectivo utilizado.

2.1 Conjunção ( ∧ )

Ao utilizarmos o conectivo ∧ entre duas proposições simples p e q obtemos uma nova proposição compos- ta, denominada conjunção entre p e q e denotada por p ∧ q (lê-se: p e q). O valor lógico desta proposição composta só será verdadeiro se ambas as proposições simples forem verdadeiras; caso contrário, assumirá o valor falso. Uma tabela que representa todas as possibilidades de valores lógicos é denominada tabela verdade. A tabela verdade de uma conjunção é:

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Exemplos:

• p: 9 é um número primo. q: 5 é um número ímpar. P: p ∧ q: 9 é um número primo e 5 é um número ímpar. Como p é falsa e q é verdadeira a proposição composta p ∧ q é falsa.
• p: A neve é fria.

q: A Lua é um satélite. Q: p ∧ q: A neve é fria e a Lua é um satélite. Como p e q são ambas verdadeiras a proposição composta p ∧ q é verdadeira.

Viu como é simples? Basta verificar o valor lógico de cada proposição simples e, de acordo com o conectivo, saberemos o valor lógico da proposição composta. Vamos conhecer mais um conectivo!

2.2 Disjunção ( ∨ )

Ao utilizarmos o conectivo ∨ entre duas proposições simples p e q obtemos uma nova proposição composta, denominada disjunção entre p e q e denotada por p ∨ q (lê-se: p ou q). O valor lógico desta proposição com- posta será verdadeiro se uma das proposições simples for verdadeira; só assumirá o valor falso se ambas as proposições forem falsas. A tabela verdade de uma disjunção é: P q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Exemplos:

• p: A laranja é azul. q: Alagoas é um estado do nordeste. R: p ∨ q: A laranja é azul ou Alagoas é um estado do nordeste. Como p é falsa e q é verdadeira então a proposi- ção p ∧ q é verdadeira.
• p: 5 é um número primo. q: 3 é divisor de 11. S: ~p ∨ q: 5 não é um número primo ou 3 é divisor de 11. Como p é verdadeira temos que ~p é falsa, e q é também falsa; logo, a proposição composta ~p ∨ q é falsa.

Observe que neste exemplo usamos a proposição ~p, a proposição q e o conectivo ∨; veja que para cons- truirmos proposições compostas basta utilizar proposi- ções simples e conectivos. A proposição ~p é simples

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e apenas expressa sentido contrário a proposição p. Este tipo de disjunção é também chamado de disjunção inclusiva, ou seja, basta uma das proposi- ções ser verdadeira para a proposição composta ser verdadeira, incluindo a possibilidade de ambas serem verdadeiras. Há outro tipo de disjunção: a exclusiva que só assu- me o valor lógico verdadeiro se uma das proposições for verdadeira, excluindo-se o caso de serem ambas verdadeiras.

2.2.1- Disjunção exclusiva ( ∨ )

Ao utilizarmos o conectivo ∨ entre duas proposi- ções simples p e q, obtemos uma nova proposição composta, denominada disjunção exclusiva entre p e q e denotada por p ∨ q (lê-se: ou p ou q). O valor lógico desta proposição composta será verdadeiro se uma das proposições simples for verdadeira, mas não ambas; assumirá o valor falso caso as simples assumirem o mesmo valor lógico. A tabela verdade de uma disjunção exclusiva é:

P q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

Exemplos:

• p: 5 é um número par. q: 5 é um número ímpar. T: p ∨ q: Ou 5 é um número par ou um número ímpar. Como p é falsa e q é verdadeira a proposição composta p ∨ q é verdadeira.
• p: Hortência foi jogadora de basquete. q: Ana Moser foi jogadora de vôlei. M: p ∨ q: Ou Hortência foi jogadora de basquete ou Ana Moser foi jogadora de vôlei. Como p e q são verdadeiras, a proposição composta p ∨ q é falsa, pois se trata de uma conjunção exclusiva.

Vamos conhecer mais um conectivo? Espero que es- teja curioso(a) para saber como serão as combinações

dos valores lógicos nos próximos conectivos. Veja que o processo é sempre o mesmo: sabemos o valor lógico das proposições simples e, de acordo com o conectivo, sabemos o valor lógico da proposição composta.

2.3 Condicional ( → )

Ao utilizarmos o conectivo → entre duas proposições simples p e q, obtemos uma nova proposição composta, denominada condicional entre p e q e denotada por p → q (lê-se: se p então q). O valor lógico desta propo- sição composta será falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa; e será verdadeiro nos demais casos. A tabela verdade de uma condicional é:

p q p → q V V V V F F F V V F F V

Exemplos:

• p: O mês de agosto tem 40 dias. q: A Terra é quadrada. P: p → q: Se o mês de agosto tem 40 dias, então a Terra é quadrada. Como p e q são falsas, a proposição p → q é verdadeira.
• p: O número π é irracional. q: O ano tem 5 meses. Q: p → q: Se o número π é irracional, então o ano tem 5 meses. Como p é verdadeira e q é falsa, a proposição p → q é falsa.

Sobre este conectivo temos algumas observações a fazer:

• Numa proposição condicional, o primeiro termo chama-se antecedente e o segundo, conse- quente.
• A condicional não afirma que o consequente se deduz (é uma conseqüência) do antecedente ; simplesmente estabelece uma relação entre seus valores lógicos.