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5. RESPOSTA A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER
5. RESPOSTA A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER5. RESPOSTA A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER
Em muitos casos a acção dinâmica não é harmónica. Veremos que a
resposta pode ser obtida em termos de um integral, que nos casos em que
a acção é simples, pode ser calculado analiticamente e que noutros casos
pode ser calculado numericamente.
Condições iniciais:
Pretende-se a resposta de um sistema de
1 grau de liberdade (de período T ) para
um impulso de curta duração t
d
<< T.
Considere-se uma força f(t) com uma duração t d. Define-se o correspondente
impulso como sendo
5.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE 1 G.L. A UM IMPULSO DE
PEQUENA DURAÇÃO. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO
( ) ∫
td I f t dt 0
u ( ) 0 = u&( ) 0 = 0
A equação do movimento para o caso de amortecimento nulo é:
( )
mu ku t t
mu ku f t t t
d
d
0
Integrando a 1ª equação, e fazendo intervir as condições iniciais, vem
m u ( t ) ku t f( )t dt I
td & d + (^) med d=∫ 0 =
em que u med é o deslocamento médio no intervalo 0 a t d.
Quando td^ →^0 e^ designando (^ )^ por (^ )^ , vem
u& td u& 0
( ) ( ) m
I
m u = I ⇒ u =
& 0 & 0 ( ) → desprezável
e u 0
t d
f(t)
t
t d << T.
Então, o efeito duma carga que actua durante um tempo muito curto é o de
dar à massa m uma velocidade inicial igual a I/m , que é uma das condições
iniciais do movimento livre para t>t d. A outra condição é a de deslocamento
inicial desprezável.
Introduzindo estas condições na expressão do deslocamento em
movimento livre (após o impulso), vem
Obtendo-se assim a RESPOSTA A UM IMPULSO.
Fazendo I = 1 obtém-se a resposta a um impulso unitário, dada por
Para o caso do amortecimento ser não nulo, virá
A um sistema de 1 grau de liberdade
aplica-se uma carga genérica f(t) com a
lei genérica representada na figura.
( )
( ) ( )
( ) ( )^ wt mw
f t dt wt w
u wt u wt w
u ut
td
sen sen
sen 0 cos
(^0) ∫ 0 = + ≅ =
& +^ &
( ) wt mw
h t sen
1
( )
( ) e wt mw
f t dt u t a
wt
a
t (^) d
sen
∫ 0 −ξ
( ) e wt mw
h t a
wt
a
sen
(^1) −ξ
RESPOSTA A UM IMPULSO
RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO
5.2 RESPOSTA A UMA ACÇÃO QUALQUER.
INTEGRAL DE DUHAMEL
Condições iniciais:
u ( ) 0 = u&( ) 0 = 0
Amortecimento nulo
τ t
f(t)
dτ
τ
u(t)
t
du(t)
(t −τ)
5.3 FORÇA CONSTANTE SUBITAMENTE APLICADA
Aplicando o integral de Duhamel a f(t) = F 0 = constante , virá
( ) ( )
( ) [ ( )]
( wt) u( )t U ( wt) k
F
wt mw
F ut
F wt d mw
ut
t
t
1 cos 1 cos
cos
sen
1
0
0
2 0
0
0 0
= − ⇒ = −
= −τ
= (^) ∫ −τ τ
que graficamente vem traduzido do seguinte modo
O máximo deslocamento duma carga subitamente aplicada é então o dobro
do deslocamento que se obtém aplicando a mesma carga de forma estática.
5.4 CARGA RECTANGULAR
Trata-se duma carga f(t) = F 0 , subitamente aplicada mas só durante um
intervalo de tempo t d.
Até ao instante t d vem, tal como no caso anterior,
( ) ( wt) t td k
F
u t = 1 −cos <
0
Para t > t d temos uma vibração livre em que as condições iniciais são:
( (^) d ) ( wtd) k
F
u t =^0 1 −cos
( (^) d ) w wtd k
F
u& t =^0 sen
u/U
t
0
0
1
2
e portanto, substituindo na expressão do movimento livre, obtém-se
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
wt
d d d d d
d d d d
wt t wt wt t wt wt t k
F
wt wt t k
F
wt wt t k
F
ut
cos
cos cos cos sen sen
1 cos cos sen sen
0
0 0
( ) [ w(t t ) wt]
k
F
u t cos d cos
0
= − − t^ ≥td
5.5 CÁLCULO NUMÉRICO DO INTEGRAL DE DUHAMEL
Quando a função f(t) não é simples, ou só é conhecida a partir de
medições (como é o caso da solicitação sísmica), é necessário calcular o
integral numericamente.
A relação trigonométrica senw(^ t−^ τ)^ =senwtcoswτ−coswtsenwτ
permite escrever o integral de Duhamel com o seguinte aspecto
( ) = (^) ∫ ( )τ τ τ− ∫ ( )τ τ τ
t t f w d mw
f w d wt mw
u t wt 0 0
sen
1 cos cos
1 sen
ou
u ( ) t =[ A( )t sen wt−B( )t coswt] mw
em que ( ) = (^) ∫ ( )τ τ τ ( ) =∫ ( )τ τ τ
t t A t f w d Bt f w d 0 0
cos e sen
O cálculo numérico de A(t) e de B(t) pode ser feito usando diversos métodos.
Designando a função a integrar por I( τ) , virá
Regra dos Trapézios:
Regra de Simpson:
A ( ) t = ∆τ ( I 0 + 2 I 1 + 2 I 2 +...+ 2 In − 1 +In) 2
1
A ( ) t = ∆τ ( I 0 + 4 I 1 + 2 I 2 +...+ 4 In − 1 +In) 3
1
Quando se pretenda a história completa da resposta é conveniente escrever
A(t) de forma incremental:
n =t/∆ t
e n par.
( ) ( ) (^) ∫ ( ) −
= (^) − + τ τ τ
i
i
t i i t A t At f w d 1
1 cos
Se o sistema tem amortecimento, o procedimento é análogo.
