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I. PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DOS MATERIAIS UTILIZADOS EM
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
I.1. INTRODUÇÃO
- A energia precisa ser convertida e transmitida: conversão eletromecânica de energia;
- As máquinas elétricas funcionam à base de fluxo;
- A grande importância do princípio da menor relutância.
Máquinas elétricas: formadas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si.
I.2. CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS
- Os materiais reagem à presença de um campo magnético; uns mais do que outros;
- A permeabilidade magnética mede a capacidade de reação à presença de um ímã.
I.3. CLASSIFICAÇÃO
Diamagnéticos fracamente repelidos: zinco, chumbo, cobre, prata; Paramagnéticos, fracamente atraídos: alumínio, magnésio, platina, manganês; Ferromagnéticos, fortemente atraídos: ferro, aço, níquel, silício.
I.4. PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
- Tornam-se fortemente magnetizados quando mergulhados em um campo magnético;
- Sua densidade de fluxo varia de modo não linear com intensidade do campo magnético, exceto para reduzidos valores deste;
- Apresentam os fenômenos de saturação, histerese e retentividade;
- Dissipam calor quando excitado com campos magnéticos variantes no tempo.
I.5. CORRELAÇÃO ENTRE PERMEABILIDADE E RELUTÂNCIA
- A relutância é uma função da geometria do circuito e da permeabilidade magnética do material;
S
lm R = ⋅ μ
S
l R = ρ ⋅ S
l R = ⋅ σ
- A permeabilidade magnética própria de um material ferromagnético depende: a) Do passado magnético do material → história; b) Do tipo de liga empregado no material; c) Da qualidade da fmm aplicado ao circuito.
I.6. CARACTERÍSTICA DE EXCITAÇÃO
- Curva também chamada de MAGNETIZAÇÃO (curva de saturação B – H );
- Mostra como o fluxo φφφφ que se estabelece no circuito construído com um material varia com a intensidade H do campo aplicado;
- A curva de magnetização não depende da geometria, mas apenas das características magnéticas do material;
- Outras observações sobre a curva a) A curva não sai da origem, por conta do MAGNETISMO RESIDUAL; b) Para pequenos valores de H (ou ℑℑℑℑ), B (ou ΦΦΦΦ) varia quase linearmente Após a “região linear”, a curva dobra-se para baixo numa região chamada JOELHO DE SATURAÇÃO
B (Wb/m^2 ) ou Φ (Wb)
H (Ae/m) ou ℑ (Ae)
Região linear
B (Wb/m^2 ) ou Φ (Wb)
H (Ae/m) ou ℑℑℑℑ (Ae)
Região linear
Joelho
Joelhho
II.3. A LEI DE OHM APLICADA AOS CMS
- No circuito elétrico, você lembra:
fem = e = R × i c/^ S
l R = ρ⋅
σ
ρ
↑ ρ ............ ............↑ R ↓ ρ ............ ............↓ R
- Da mesma forma, no circuito magnético, teremos:
fmm = f = R × φ c/ S
lm R = ⋅ μ
- Mas, para os circuitos magnéticos, prefere-se utilizar a LEI DE OHM transformada:
( ) lm
B
B S
S
lm F R ⋅ ⋅/ = ⋅
μ μ
φ
ou (^) F = H ⋅ lm
- Na verdade, o circuito é formado de vários trechos, de modo que, para diversos trechos em série, teremos: F = (^) ∑ H ⋅ lm
- Se o circuito apresenta vários FMMs de excitação, teremos:
∑ F =^ ∑ H ⋅ lm
II.4. UNIDADES MKS ENVOLVIDAS
φφφφ é dado em Wb (Webers)
F = N ⋅ i ⇒ Ae
lm
F
H = ⇒^
m
Ae
S
B
φ = ⇒ T m
Wb 2 =^1 (Tesla)
H
B
u = ⇒ Ae m
Wb
m
Ae
m
Wb
⋅
2
II.5. SOBRE A CARACTERÍSTICA DE MAGNETIZAÇÃO
- A curva de magnetização é obtida variando-se i , F ou H e medindo-se φφφφ ou B ;
- Devido as relações de proporcionalidade, esta curva é também chamada curva B x H ;
- A seguir apresentamos as curvas de magnetização de quatro materiais típicos utilizados na construção de núcleos magnéticos: ♦ Fero armco; ♦ Aço-silício; ♦ Aço fundido: ♦ Ferro fundido.
III. RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS
MÉTODOS E APROXIMAÇÕES ENVOLVIDAS
III.1. INTRODUÇÃO
- Vale a pena revisar as hipóteses básicas: a) Fluxo confinado ao núcleo; b) Os CMs admitem eixos de simetria; c) Em cada perna, temos B = cte; d) Cada trecho define um lm****.
III.2. CIRCUITO DO TIPO SÉRIE
- Um circuito do tipo série é constituído de dois ou mais trechos de material diferente (ou diferente geometria do mesmo material) de tal sorte que tenhamos a) Fluxo único nos diversos trechos; b) (^) ∑ FMMsfontes = (^) ∑ FMMsdiv ⋅ trechos c) Cada material (trecho) provoca uma queda de FMM, calculada através da equação: ∆ F = H ⋅ lm
- O material de maior relutância é responsável pela maior queda de FMM;
F = H 1 ⋅ l 1 + H 2 ⋅ l 2 + ...
III.3. RESOLUÇÃO DE CMs EM SÉRIE
- Existem dois casos distintos da resolução de circuitos série:
a) Conhece-se B ou φφφφ, determina-se H (curva B × H ) e calcula-se FMM = (^) ∑ H ⋅ l ♦ RESOLUÇÃO ANÁLITICA → Determinamos as intensidades magnéticas diretamente das curvas de magnetização, desde que conhecemos B ; ♦ RESOLUÇÃO GRÁFICA b) Conhece-se F total ♦ Só é possível resolvermos pelo método de iterações sucessivas, desde que não sabemos como F total se distribui entre os materiais. Arbitramos um certo valor inicial de B e, com este valor (que deve ficar dentro da lógica), calcula-se a soma das quedas da FMM até que essa soma se aproxime do valor de F total. A faixa de aceitação da diferença relativa entre os valores em questão é da ordem de 5% com relação a F total.
III.4. CIRCUITO DO TIPO PARALELO
- Tratam-se de circuitos com mais de uma janela, com nós.
- É só lembrar a LEI DE KIRCHOFF para correntes dos circuitos elétricos:
∑ φ chegam =^ ∑^ φ saem
- Existem dois casos distintos de resolução de circuito paralelo:
a
b
a) Conhece-se as densidades ou fluxos nas pernas do circuito. A exemplo do caso série, basta encontrarmos diretamente com os valores B nas curvas de magnetização; b) Conhece-se fonte; ♦ RESOLUÇÃO POR ITERAÇÕES SUCESSIVAS → Procedimento análogo aos do caso do circuito série; ♦ RESOLUÇÃO GRÁFICA → Claro que a resolução pelo método gráfico só é possível em casos simples.
APLICAÇÃO DA TEORIA AOS CIRCUITOS COM ENTREFERROS
- Alguns circuitos magnéticos necessitam de partes vazias para possibilitar o movimento mecânico de determinadas partes do mesmo. São os entreferros.
- Tais circuitos são vistos como circuitos magnéticos em que o AR é um dos materiais componentes.
- Se permitidas aproximações, considera-se que, nesses circuitos, o ar dos entreferros é o único responsável pela queda de FMM.
EFEITOS TÍPICOS DA ESTRUTURA
EMPILHAMENTOS DAS LÂMINAS → Ao se seccionar a seção transversal de um núcleo magnético (de uma das pernas de um transformador, por exemplo), cota-se ferro e material isolante.
Sreal = K %⋅ S geométrica
Sreal = K ⋅ ( a ⋅ b )
onde K é denominado fator de empilhamento , variando entre 90 e 95%. Quando não se faz referência do empilhamento, considera-se K = 1.
90 % ≤ K %≤ 95 %
ESPALHAMENTO NO ENTREFERRO
As seções determinadas através dos cortes segundo P 1 e P 2 são diferentes, como verificamos a seguir.
Snúcleo = a ⋅ b Smascarada =( a + g ) ⋅( b + g )
TENSÕES INDUZIDAS MAGNETICAMENTE, AUTO-INDUTÂNCIA
LEI DE FARADAY
A tensão induzida em uma bobina de N espiras, quando o fluxo que atravessa se altera com
uma taxa dt
d φ , é:
dt
d e N
φ = − volts
O SENTIDO DA TENSÃO INDUZIDA, SEGUNDO A LEI DE LENZ, É TAL QUE
PRODUZA UMA CORRENTE QUE CONTRARIE A ALTERAÇÃO DO FLUXO.
Num circuito magnético de C.A.
φ = f ( i )e i = f ( t )logo, teremos:
dt
di di
d i e =− N ⋅
φ
dt
di e =− L
Onde: di
d L N
φ = (Henrys) → Indutância Própria Auto-indutância ou simplesmente
indutância do circuito Sendo λλλλ o fluxo que envolve a bobina de N espiras, desprezando-se o fluxo disperso, podemos dizer que λ = N ⋅ φ(fluxo concatenado).
di
d di
d N L
φ λ
para um circuito linear
L
di i
d = =
λ λ
CIRCUITOS MAGNÉTICOS COM EXCITAÇÃO C.A.
Consideremos o fluxo variável senoidalmente com o tempo t
φ =φ m ⋅ Sen 2 π ft
Segundo a Lei de Faraday: f N Cos ft dt
d e N π φ m π
φ = = 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2
Cujo valor eficaz é: E f N φ m f N φ m
π = ⋅ ⋅ = 4 , 44 ⋅ ⋅ 2
volts
VALOR EFICAZ : (Definido inicialmente para corrente depois estendido para a tensão). Corrente eficaz seria o valor de corrente equivalente que percorrendo uma resistência R dissiparia a mesma potência que em corrente contínua ou seja:
R i ( ) tdt
T
R I
T ef
2 0
⋅ = ∫ ⋅ sendo i ( t ) = ImSenwt
= ∫ ( ) ( )
π π
2 0
2 2 2
I (^) ef ImSen wtdwt
π
π θ
θ θ θ
π π = =
∫ =∫ 2
0
2 0 Sen^2 d Cos d
(^1 2) m ef m
I
I = ⋅ π⋅ I = π
V V^ max ef =
λ
i
Tratando-se de um trafo ideal:
2 2
1 1 V E
V E
Assim teremos:
2
2 1
1 N
V
N
V
= ou 2
1 2
1 N
N
V
V
Logo num trafo ideal a relação entre as tensões do primário e do secundário é igual à relação do número de espiras entre eles. Seja agora uma impedância Z 2 conectada aos terminais do secundário. Surgirá então uma corrente no secundário dada por:
2
2 2
Z
V
I =
essa corrente produzirá, então, uma FMM (^2)
f dada por: (^222)
f = N ⋅ I
que se oporá ao fluxo φm do núcleo. Para que o fluxo φm não seja alterado o primário
responderá com uma FMM (^1)
f dada por: (^111)
f = N ⋅ I
que se oporá a FMM (^2)
f a fim de manter φm. Logo teremos:
1 2 11 2 2
f = f ⇒ NI = NI ou
1
2 2
1 N
N
I
I
conclui-se que as correntes no primário e secundário de um trafo ideal estão, portanto, na relação inversa do número de espiras. A mesma conclusão para as correntes teremos se considerarmos que para um trafo ideal não existem perdas. Logo pela invariância de potência teremos:
1
2 1
2 2
1 (^2 211) N
N
V
V
I
I
V I = VI ⇒ = =
Examinemos agora, o efeito no circuito primário de uma impedância Z 2 no secundário. A
corrente que se estabelece no secundário é pela lei de Ohm 2
2 2
Z
V
I = . Por sua vez a
impedância vista pela fonte no primário é:
2
2
2
1 2
2
2
2
1
2 1
2
2 2
1
1
1 (^1) N Z
N
I
V
N
N
I
N
N
V
N
N
I
V
Z ⋅
⋅^ =
Ou seja: Para a fonte, o efeito de uma impedância Z 2 colocada no secundário é o mesmo que o de uma impedância Z 1 colocada diretamente em seus terminais, desde que:
2
2
2
1 1 Z N
N
Z ⋅
assim sendo podemos dizer que os circuitos abaixo, são equivalentes.
Exemplo – 01 Um trafo com relação de espira de 10:1 e com valores nominais 50KVa, 2400/240V, 60Hz, é usado para abaixar a tensão de um sistema de distribuição. A tensão do lado de baixa deve ser mantida constante e igual a 240V. a) Qual o valor da impedância de carga que, conectada ao valor de baixa, carregará completamente o transformador? b) Qual o valor dessa impedância referida ao lado de alta? c) Quais são os valores da corrente de carga referidos aos lados de alta e de baixa?
Solução:
a) A V
S
I 208
b) (^) ⋅ = Ω
2 2
2
2
1 (^1) N Z
N
Z
c) I A N
N
I 208 20 , 8
2 1
2 1 = ⋅ = ⋅ =
V1 (^) V2 Z
I1 I
V
I
2
2 (^1 )
1 Z N
N Z (^)
=
POTÊNCIA E TENSÕES EM CIRCUITOS (RLC) MONOFÁSICOS
ZR = R
f c
ZC j ⋅ ⋅
2 π
ZL = j 2 π⋅ f ⋅ L Z & = R + jXL − jX c
Tomando I &^ como referência ( I &^ = I| 00 )
V &^ = V & R + V & L + V & C
V & = R ⋅ I + jXL ⋅ I − jXL ⋅ I
V & = R ⋅ I + j ( XL − jXL ) I
V & = R ⋅ I + jXI
V & ⋅ I &= R ⋅ I^2 + j ( XL − XC ) ⋅ I^2
V & ⋅ I &= R ⋅ I^2 + jX ⋅ I^2 S = P + jQ
As seguintes relações são satisfeitas:
Z = R^2 + X^2 com X = X L - XC
S = P^2 + Q^2
^ =
P
Q
arctang R
X
θ arctang
Fator de potência
fp = cos θ se X=0 ⇒ Q=0 tem-se fator dr potência unitário. se X>0 ⇒ Q>0 tem-se fator dr potência indutivo. se X<0 ⇒ Q<0 tem-se fator dr potência capacitivo.
R
J(Xl - Xc)
θ
Z &
Er=RI
Ex=J(Xl - Xc)I
θ
V = Z & I
P
JQ
θ
S &
ENERGIA EM SISTEMAS MAGNÉTICOS DE EXCITAÇÃO ÚNICA.
TENSÃO INDUZIDA, POTÊNCIA ELÉTRICA
dt
d e
λ = −
dt
d e
λ = + (Polaridade no desenho)
EQUAÇÃO DO CIRCUITO
v (^) t = ir + e
dt
d v (^) t ir
λ = +
sendo λ = N ⋅ φ
dt
d v (^) t ir N
φ = + ⋅
v (^) t = vi + e
A energia elétrica fornecida ao indutor (sem perda) é:
dwele = p ⋅ dt = e ⋅ i ⋅ dt OU
λ
λ dt dw i d dt
d dw (^) ele = i ⋅ ⋅ ⇒ ele = ⋅
OU dw (^) ele = N ⋅ i ⋅ d φ ⇒ dwele = f ⋅ d φ
ENERGIA NO CAMPO MAGNÉTICO
A equação para o balanço de energia é:
dwele = dwcmp + dw mec
para uma configuração fixa (x = cte)
dwmec = fmec ⋅ dx = 0 então
x
f cmp f mec
v (^) e
+^ i
r
pelo balanço de energia dwele = i ⋅ d λ= dwcmp + dw mec ou dwele = i ⋅ d λ= dwcmp + fmec dx
existem dois casos particulares
A) ESTRUTURA MECÂNICA FIXA dx = 0
dwele = i ⋅ d λ= dw cmp
B) FLUXOS CONCATENADOS CONSTANTES dλ = 0
dw (^) cmp =− fmec dx
FUNÇÕES DE ESTADO VARIÁVEIS CO-ENERGIA
ENERGIA – FUNÇÃO DE ESTADO DE UM SISTEMA CONSERVATIVO
dwcmp ( λ, x ) = i ⋅ d λ− fmecdx (8.1)
Descreve a energia magnética armazenada em um campo magnético de excitação
única, como função das duas variáveis independentes λλλλ e X. Sendo λλλλ e X variáveis independentes:
dx x
w x d
w x dwcmp x cmp cmp ∂
λ λ λ
λ λ (8.2)
comparando-se (8.1) e (8.2) temos:
λ
λ ∂
w x i cmp^
e
x
w x f (^) mec fcmp cmp ∂
λ,
VARIÁVEIS DE ESTADO – λ, i
λλλλ
i
Wcmp
W’cmp
Definamos co-energia
w cmp ′ ( i , x ) = i ⋅λ − wcmp ( λ, x )
derivando teremos:
