Conjuntos numéricos e operações, Exercícios de Matemática Aplicada

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Matemática Aplicada

**- Introdução

• Axiomas de Peano e o Conjunto dos Números Naturais
• Operações em N
• Comutatividade da Adição e Multiplicação
• Elemento Neutro da Adição
• Elemento Neutro da Multiplicação
• Conjunto dos Números Inteiros Z
• Das Operações de Adição e Multiplicação em Z
• Conjunto dos Números Racionais
• As Representações dos Números Racionais: Q
• Propriedades das Operações da Adição e Multiplicação em Q
• Soma ou Subtração de Racionais como mesmo Denominador
• Soma ou Subtração com
• Denominadores Diferentes
• Produto entre Racionais (Na Representação de Frações)
• Divisão entre Racionais (Na Representação de Frações)
• Conjunto dos Reais
• Potência
• Regras de Potenciação
• Potências com Expoentes Negativos
• Potência com Expoente Racional
• Radiciação**

· Resgatar o tópico da Teoria dos Conjuntos para reforçar conceitos já aprendidos e formalizar propriedades exploradas da Educação Básica; · Identificar os principais Conjuntos Numéricos: N, Z, C e R com suas respectivas características e propriedades; · Realizar as operações numéricas, reconhecer e utilizar propriedades relacionadas a cada operação em seus respectivos conjuntos: adição, subtração, multiplicação, potência e radiciação.

OBJETIVO DE APRENDIZADO

Conjuntos Numéricos e Operações

Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional, siga algumas recomendações básicas:

Assim:

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu “momento do estudo”.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.

No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.

Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.

Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte

Mantenha o foco!

Evite se distrair com

as redes sociais.

Mantenha o foco!

Evite se distrair com

as redes sociais.

Determine um

horário fixo

para estudar.

Aproveite as

indicações

de Material

Complementar.

Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma

Não se esqueça

de se alimentar

e se manter

hidratado.

Aproveite as

Conserve seu

material e local de

estudos sempre

organizados.

Procure manter

contato com seus

colegas e tutores

para trocar ideias!

Isso amplia a

aprendizagem.

Seja original!

Nunca plagie

trabalhos.

UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações

Introdução

Nesta unidade, estudaremos os Conjuntos Numéricos citando as respectivas operações e propriedades permitidas em cada um dos conjuntos. Veremos que nem todas as operações são definidas em todos os conjuntos.

As operações numéricas mais usadas são a Adição, a Subtração, a Multiplicação e a Divisão. Veremos, também, a Potência e a Radiciação.

Os conjuntos estudados nesta Unidade são: » Naturais N; » Inteiros Z; » Racionais Q; » Reais R.

Figura 1 Fonte: iStock /Getty Images

A Aritmética trata do estudo dos Conjuntos Numéricos e das operações entre os diferentes tipos de números e suas propriedades. Esse estudo abrange desde a Aritmética Elementar até a Teoria dos Números, que propicia um bom ferramental para outras áreas, como, por exemplo, a Criptografia, que é o estudo das transformações de uma informação em outra equivalente, mas codificada de forma ilegível, a não ser que o destinatário tenha a chave de códigos que originou a codificação.

O entendimento dos diversos tipos de Conjuntos Numéricos variou muito ao longo do tempo, e foi sedimentado, inicialmente, pelo italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Nesta Unidade, vamos nos concentrar na revisão das propriedades fundamentais das operações dos Conjuntos Numéricos.

Para fundamentos da Aritmética, Peano escolheu três conceitos primitivos: zero, número (natural no caso), e a função “é sucessor de”. A partir desses três conceitos, satisfez cinco postulados ou axiomas.

UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações

A partir desses axiomas, é criado o Conjunto dos Números Naturais, indicado por N, que é infinito e sua representação, por extensão, é simplificadamente:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ..., n-1, n, n+1, ...}.

Podemos dizer que 2 ∈ N , 3029 ∈ N; porém -5 ∉^ N , ¾ ∉^ N, pois não são naturais.

Um vídeo muito interessante resgata a história dos números e sua evolução, que está direta-

mente ligada à própria evolução da Humanidade. O vídeo é A História do Número 1.

https://youtu.be/3rijdn6L9sQ

Explor

Operações em N

Considere dois conjuntos A e B de intersecção vazia, em que o número de ele- mentos de A é igual a x, ou seja, #A = x, e o número de elementos de B é igual a y, ou seja, #B = y.

A partir desses dois conjuntos, valem as definições a seguir.

Definição: Adição

A soma x + y, resultado da operação da adição: + em N é dada por:

( , ) def#(A ),

N x N N x y x y B se A B

Ou seja, a adição é tida como a união do número de elementos. Por isso 2 + 3 = 5, já que temos aqui a união; porém, cabe destacar que, como estamos tratando de conjuntos, a intersecção entre ambos deverá ser nula.

Definição: Subtração

A diferença x - y, resultado da operação de subtração – é definida quando o conjunto B é subconjunto de A: − → ( ) →^ −^ ( − ) ⊆

N N N

x y x y def A B se B A

x

Ou seja, a diferença é tida como a diferença entre dois conjuntos A – B; porém, necessariamente, B precisa estar contido em A. Logo, nos naturais, temos 5 -2 = 3 (pois 2 está contido em 5) , mas não temos 2 - 5, visto que 5 não está contido em 2.

Nessa altura, você certamente pensou em -3 como resposta para 2 - 5; porém, não se esqueça de que estamos tratando, por enquanto, do Conjunto dos Números Naturais (N) e definindo as operações e propriedades nesse Conjunto.

Definição: Multiplicação

O produto x. y, resultado da operação de multiplicação em N, é dado por:

N x N N x y x y y y y y y

Ou seja, a multiplicação é tida como a soma de x parcelas iguais de certo número y, como, por exemplo, 3.5 = 5 + 5 + 5 = 15, que são três parcelas do número 5 somadas.

Em N estão definidas e fechadas duas operações: Adição e Subtração. Dizemos fechadas pois valem para qualquer que seja o número natural, o que já não ocorre com a subtração, já que vimos que não é válida para qualquer par de números naturais.

Quando temos operações ditas definidas e fechadas, passa a valer um conjunto de propriedades que são utilizadas nas operações a fim de operar os números a partir delas.

Vejamos, então, as propriedades:

1. Fechamento da Adição

Para todos os números, se dois deles quaisquer, x e y são números naturais, então a sua soma x + y resultará também em um número natural.

Em simbologia, conforme a seguir, temos:

( ∀x y , ∈ N )[ x + y ∈N]

Para exemplificar, você mesmo(a) pode pensar em dois números naturais quaisquer e verá que a soma deles será sempre um terceiro número natural.

2. Associativa da Adição e Multiplicação

Na adição de três números naturais quaisquer x, y, z, tanto faz somarmos o pri- meiro ao resultado da adição dos dois últimos, como o resultado da soma dos dois primeiros ao terceiro; o resultado será o mesmo:

( ∀x y z , , ∈N ) x + ( y + z ) = ( x + y )+z

Para exemplificar, temos: (4 + 5) + 3 = 4 + (5 + 3)

Elemento Neutro da Adição

Existe um único número n que é o Zero, n = 0, chamado de neutro aditivo. A partir dessa definição, para todos os demais naturais a ele somado, o resultado será sempre o mesmo número.

( ∀ ∈x N ) [ n + x = x + n =x]

Exemplificando: 3 + 0 = 3.

Se pensarmos na adição como a soma do número de elementos dos conjuntos, fica intuitivo compreender que qualquer que seja o conjunto somado com o conjunto vazio (união entre os conjuntos), terá como resultado o próprio conjunto.

Elemento Neutro da Multiplicação

Existe um único número i que é o Um, i = 1, que é neutro multiplicativo e também chamado de unidade.

Na simbologia matemática o símbolo ∃ representa existir. Logo, ∃ ∈a Nrepresenta: existe um número a pertencente aos naturais.

Nessa propriedade, então, destaca-se a unidade, que trataremos na simbologia da propriedade como i (mas não a unidade imaginária dos números Complexos) e essa unidade nos números naturais (e veremos, também, que para todos os números reais) representa 1.

Logo, qualquer que seja o número natural, quando multiplicado pela unidade 1, o resultado será o próprio número real.

( ∃ ∈i N ) ( ∀ ∈x N )[ i ∗ x = x ∗ =i x]

Importante!

Os números naturais não são sufi cientes para a solução de todos os problemas matemáti-

cos. Note que a soma ou a multiplicação entre dois naturais será sempre um natural;

porém, a diferença entre dois naturais nem sempre resultará em um natural; por isso

dizemos que a subtração não é uma operação fechada em N.

Importante!

Material da Universidade de São Paulo no qual temos um complemento das propriedades

dos conjuntos numéricos.

https://goo.gl/ZXf1EW

Explor

UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações

Conjunto dos Números Inteiros Z

O conjunto dos Inteiros, representado por Z, que vem da palavra inteiro ”zahl” , na língua alemã, é infinito e enumerável.

Z = (^) {... , − 7, − 6, − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... , n − 1, ,n n +1,.. .}

No conjunto dos Inteiros, para quaisquer números x e y ∈ Z, temos que x – y = w , e w ∈ Z. Ou seja, a subtração é uma operação definida e fechada para quaisquer inteiros, o que não ocorre com o conjunto dos Naturais.

Portanto, estão definidas e fechadas em Z: » Adição; » Multiplicação; » Subtração.

Das Operações de Adição e Multiplicação em Z

As seis propriedades apresentadas em N também são válidas em Z, e inclui-se agora uma sétima propriedade:

Elemento Oposto ou Inverso Aditivo

Para todo e qualquer número inteiro x, existe outro número inteiro chamado oposto de x, representado por op(x) = - x, e a soma entre um número e seu oposto será igual ao elemento neutro 0 “zero”.

( ∀ ∈x Z ) ( ∃o (^) p ∈ Z ) op + x = x + op= 0 

Tal número op é o oposto de x, op(x) = −x.

Logo, para cada número inteiro, existe um oposto, e a soma de opostos é sempre nula.

Essa propriedade é extremamente importante para o “fechamento” da operação subtração no Conjunto dos Inteiros, pois estão definidos os apostos (-x) e a operação passa a se estabelecer para qualquer que seja o número inteiro.

Assim, podemos definir em Z a operação de subtração, estabelecendo que a subtração entre dois números a e -b implica a soma de a com o aposto de b.

a + (-b) = a – b Para todos a, e b ∈ Z.

UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações

Conjunto dos Números Racionais

Nos dois conjuntos anteriores, N e Z, não apresentamos a propriedade da divisão e em nenhum deles esta é fechada. Isso passa a ser verdade no conjunto dos racionais Q, onde temos, por definição:

| 0

a Q a Z e b Z e b b

= ∈ ∈ ≠

Na definição temos que o conjunto Q dos números racionais é o conjunto formado por todos os números que podem ser escritos como uma razão (divisão) entre dois números inteiros quaisquer a e b; porém, com b sendo diferente de 0 “zero”.

O conjunto tem esse nome pois uma divisão ou fração também é chamada de razão e seu adjetivo é racional.

Agora, nos racionais, exceto quando b = 0, a divisão é uma operação fechada.

Exemplo de racionais: 1/2, 3/5, 7/4, -2/5, -9/10.

Figura 3

As Representações dos Números Racionais: Q

Vale uma atenção especial para a representação dos números racionais, pois podem ser representados por razões a/b (ou uma barra de divisão), mas possuem, também, a representação decimal que é obtida quando dividimos o numerador a pelo denominador b.

Decimal Finito

O racional 1/2, por exemplo, na forma decimal, é representado por 0,5. Mas também por outros racionais ditos equivalentes como 2/4 , 3/6, 50/100, que também representam 1/2 = 0,5.

Decimal Dízima Periódica Simples

O racional 1/3 na forma decimal é representado por 0,33333... número que que possui infinitos dígitos que se repetem e é racional, assim como outras dízimas que po- dem ser escritas na forma fracionária. Nesse caso, são as chamadas dízimas periódicas.

O racional 23/99 tem como representação decimal a dízima periódica 0,232323....

Decimal Dízima Periódica Composta

O racional 177/990 tem como representação decimal a dízima periódica composta 0,178787878... (chamada de composta).

Qualquer número decimal, seja ele finito ou infinito periódico simples ou composto, que possa ser escrito na forma fracionária a/b, é um número racional.

Porém, há números decimais infinitos e não periódicos que não podem ser escritos na forma fracionária; são os chamados Números Irracionais.

Entre eles, destacamos:

π= 3,14159265358979… (que é obtido a partir da razão entre o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro);

e = 2,718281828.. (número de Neper, utilizado como base de logaritmos);

(^2) = 1,4142135...;

(^3) = 1,7320508....

Propriedades das Operações da

Adição e Multiplicação em Q

As propriedades de fechamento da divisão, associatividade da adição e multiplicação, e também a comutatividade, são análogas ao Conjunto dos Inteiros.

1. Fechamento da Divisão

( , )[ , 0 ]

x x y Q Q b y

∀ ∈ ∈ ≠

Ou seja, a divisão está definida e fechada em Q para qualquer denominador diferente de zero.

7. Elemento Oposto ou Inverso Aditivo

Para todo e qualquer número racional x (sendo x = a/b com b ≠ 0), existe outro número racional chamado oposto de x , representado por op(x) = - x, e a soma entre um número e seu oposto será igual ao elemento neutro 0 “zero”.

( ∀ ∈x Q ) ( ∃o (^) p ∈Q )^ o (^) p + x = x + op= 0 

Tal número op é o oposto de x, op(x) = −x.

Ou seja, se x = a/b, então -x = -a/b.

Chamamos atenção, agora, para a oitava propriedade, que não tínhamos no Conjunto dos Inteiros, mas é válida para os racionais.

8. Elemento Inverso Multiplicativo

Qualquer que seja um número racional x (logo x = a/b , com b ≠ 0), existe um elemento inverso que denotaremos por e (^) i.

Ao realizarmos a multiplicação entre um número racional e seu inverso, o resultado será igual ao elemento neutro da multiplicação:

( ∀ ∈x Q ) ( ∃e (^) i ∈ Q ) [ x *ei = ei * x = (^1) ]

Tal inverso de x é ei = e^ x^ x i =^ -^1 =^ ^1 e x  *^^ x^ -^1 =^ x^ -^1 *^ x =^1

Exemplificado: 1/2 seu inverso é 2/1, então, temos que 1/2 * 2/1 = 1. 2/3 seu inverso é 3/2, então, temos que 2/3 * 3/2 = 1. -4/5 seu inverso é -5/4, então, temos que -4/5 * (-5/4) = 1.

No conjunto dos Racionais, a divisão é fechada, mas nem todas as operações que usamos

são fechadas. Além disso, existem números que não são expressos por frações, conforme

já vimos. Unindo o conjunto dos racionais com os números irracionais, formamos o

Conjunto dos Reais R.

Explor

Vamos relembrar as operações de soma, subtração e multiplicação entre os racionais.

UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações

Soma ou Subtração de Racionais

como mesmo Denominador

Para somar ou subtrair frações de mesmo denominador, basta somar os numeradores e manter o respectivo denominador comum.

Exemplos:

1 5

3 5

1 3 5

4 5

• =

=

Soma ou Subtração com

Denominadores Diferentes

Neste caso, é necessário escrever as frações originais com frações equivalentes que contenham o mesmo denominador para, somente após esse procedimento, somarmos os numeradores. Para obtermos o mesmo denominador, é necessário determinarmos o menor múltiplo comum às frações em questão.

1 3 2 3 5

2 4 4 4 4

• = + =

Note que a fração 1/2 foi substituída pela fração 2/4, pois são frações equivalentes e ambas possuem o valor de 0,5 na representação decimal.

Na figura a seguir temos outro exemplo:

1 7 5 14 19

2 5 10 10 10

• = + =

Note que de 2 para 10 o denominador foi multiplicado por 5, assim como o numerador também, pois foi de 1 para 5.

Note que de 5 para 10 o denominador dobrou, assim como o numerador também, Neste caso o MMC pois foi de 7 para 14. é 10 pois 5 e 2 são primos

Figura 4