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MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
- Operações com Números Naturais: nesta etapa, faremos contas apenas com os números que estão no conjunto dos Números Naturais. Assim, toda e qualquer operação bem como sua resposta só será válida se todos os números forem naturais. Lembre-se: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Para resolver qualquer expressão numérica é preciso entender apenas duas coisas: a ordem das operações e os sinais de associação.
A ordem ou seqüência correta em que as operações matemáticas devem ser feitas é a seguinte:
1 o^ ) Resolvem-se as operações de potenciação e radiciação. 2 o^ ) Resolvem-se as operações de multiplicação e divisão. 3 o^ ) Resolvem-se as operações de adição e subtração
Os sinais de associação entre os números são os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }. À medida que a conta vai se desenvolvendo, é preciso ir eliminando cada um desses sinais de associação entre os números. A ordem correta para eliminá-los é a seguinte:
1 o^ ) Eliminam-se os parênteses ( ). 2 o^ ) Eliminam-se os colchetes [ ]. 3 o^ ) Eliminam-se os chaves { }.
Se você sempre seguir essas duas regrinhas básicas jamais errará conta alguma. Só se você errar, então, em uma ou mais operações. Para evitar isso é importante conhecer a tabuada. Por isso, antes mesmo de ir adiante, é aconselhável fazer ou rever as tabuadas do 1 ao 10 da adição e da multiplicação. Se você se garante por já conhecer bem essas tabuadas, então prossiga.
a) Adição e Subtração de Números Naturais:
Adição Exs.: 7 + 6 = 13; 11 + 8 = 19; etc. Números que se somam são chamados de parcela e o resultado da adição é a soma. Assim, no primeiro exemplo, 7 e 6 são parcelas e 13 é a soma.
Subtração: Exs.: 7 – 6 = 1; 13 – 5 = 8; 10 – 13 =? Observe que o resultado desta conta não pode ser obtido dentro do conjunto dos Nûmeros Naturais, pois o resultado desta conta é 3 e esse valor não número é um número natural, mas inteiro. O resultado da subtração é chamado de resto.
Propriedades da Adição e Subtração
Propriedade Conceito Exemplo Comutativa* A ordem das parcelas não altera a soma. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 Associativa* Alterando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera.
Fechamento* A soma de vários números naturais é sempre um número natural. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 25 + 16 + 14 +125 +1562 = 1742 Elemento Neutro
Todo número natural adicionado a zero ou subtraído o zero permanece igual a ele mesmo.
- A Comutativa, Associativa e a Fechamento não são válidas para a subtração. Tente descobrir o motivo disto.
Expressões Numéricas com Adição e Subtração em N: agora vamos às contas com sinais de associação.
É fundamental que essas regrinhas de eliminar os parênteses, colchetes e chaves, de trocar o sinal dos números e de somar todos os números positivos com os positivos e somar os negativos com os negativos, estejam bem claras pois isto é a base para qualquer operação.
Essa ordem sempre deverá ser respeitada ou a conta nunca dará o resultado certo.
Se o sinal na frente do sinal de associação for negativo, ao eliminá-lo é preciso trocar o sinal de (+/) de todos os números de dentro.
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Ex.: 5 + {3 1 + [15 (11 – 5) + 2] 1} = primeira linha 5 + {3 1 + [15 11 + 5 + 2] 1} = segunda linha 5 + {3 1 + 15 11 + 5 + 2 1} = terceira linha 5 + 3 1 + 15 11 + 5 + 2 1 = quarta linha 5 + 3 + 15 + 5 + 2 1 11 1 = 30 12 = 18 quinta linha
30 12 = 18
b) Multiplicação e Divisão de Números Naturais:
Idéias Gerais: Para resolver qualquer expressão numérica é preciso entender apenas duas coisas: a ordem das operações e os sinais de associação. A ordem ou seqüência correta estudada na página anterior, em que as operações matemáticas devem ser feitas NUNCA MUDAM. Todavia não existe uma seqüência rígida e imutável para resolver adição ou subtração. Podemos fazer as duas o mesmo tempo que o resultado sempre dará certo. Os passos abaixo são apenas para lhe orientar na hora de resolver as contas. NÃO É PRECISO DECORÁ-LOS, pois é apenas para lhe orientar.
1 o^ ) Resolva todas operações de multiplicação e divisão dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 2 o^ ) Resolva todas operações de adição e subtração que ainda restam dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 3 o^ ) Elimine os parênteses, não esquecendo de trocar o sinal dos números se for preciso. 4 o^ ) Se ainda surgir uma conta de divisão ou multiplicação após eliminar os parênteses, resolva-a antes de prosseguir. 5 o^ ) Continue na conta fazendo os 2o^ , 3o^ e/ou 4o^ passo(s) também para os colchetes e as chaves. 6 o^ ) Agrupe os números positivos com os números positivos e os negativos com os negativos, separando-os. 7 o^ ) Some todos os números positivos e some todos os números negativos, mantendo o sinal de cada um. 8 o^ ) Subtrai os positivos dos negativos.
Siga um exemplo abaixo: {3 2 4 + [5 9 3 (7 9 124 4)8 + 25]}= (essa é a conta para resolver) {6 4 + [15 (63 31)8 + 25]}= (Feito o 1 o^ passo) { 2 + [15 32 8 + 25]}= (Feito o 2 o^ e o 3o^ passos) { 2 + [15 4 + 25]}= (Feito o 4 o^ passo) { 2 + 15 4 + 25}= (Feito o 3 o^ passo para colchetes) 2 + 15 4 + 25 = (Feito o 3 o^ passo para as chaves) 2 + 15 + 25 4 = (Feito o 6 o^ passo) 42 4 = (Feito o 7 o^ passo) 38 (Feito o 8 o^ passo)
Multiplicação: adição de parcelas iguais (Ex.: 5 + 5 + 5 = 35)
. Ex.: 3 4 2 7 + 9 2 5 = 12 14 + 18 5 = 12 + 18 14 5 = 30 19 = 11
Primeiro resolve-se as multiplicações. Após isso, é melhor agrupar os positivos junto com os positivos e os negativos juntos com os negativos. Agora devemos somar todos positivos com eles mesmos e somar todos negativos com eles mesmos. Após isso, para obter o resultado final, devemos subtrair os positivos dos negativos.
Primeira linha: essa é conta para resolver. Segunda linha: Parênteses eliminados e os números de dentro com sinal trocado, pois na frente do parênteses tinha o sinal negativo. Será feito o mesmo com os colchetes e as chaves (Terceira e Quarta linhas). Quando o sinal for positivo +, os números ficam com o mesmo sinal. Quinta linha: Após eliminar todos os parênteses, os colchetes e as chaves, junte todos números positivos com os positivos e todos números negativos com os negativos. Sexta linha: foi feita a soma de todos números positivos e de todos números negativos. Agora basta apenas subtraí-los e pronto. O resultado da conta está aí.
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é a raiz quadrada de 16. Qual o número que elevado ao cubo dá 125? A resposta é 5, pois 5 ao cubo dá 125 (5 3 = 125). Portanto, a raiz cúbica de 125 é 5. O símbolo usado para a radiciação é o radical ( ). Abaixo temos um exemplo:
RADICAL
ÍNDICE
9 3 RAIZ
RADICANDO
Propriedades da Potenciação e da Radiciação em N É muito importante entender as propriedades da potenciação e radiciação. Elas estão abaixo: P1) Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1. Exs.: 5 0 = 1; 75 0 = 1; 9285 0 = 1. P2) Todo número elevado a um é igual a ele mesmo. Exs.: 5 1 = 5; 9 1 = 9; 456 1 = 456. P3) Se a base for zero, o resultado sempre será zero, qualquer que seja o expoente não nulo. Exs.: 0 2 = 0; 0 36 = 0; 0 999 = 0. P4) Se a base for um, a potência sempre será um. Exs.: 1 2 = 1; 1 25 = 1; 1 999 = 1. P5) Não existe a potência de 0 0. Não existe resultado possível. P6) A raiz de zero, seja qual for o índice não nulo, sempre será zero.
Exs.: 0 0 ; 3 0 0
P7) Não existe a raiz zero de qualquer número.
Exs.: 0 16 ?; 0 9 ?; 0 0 ?
Obs.: existem outras propriedades que só serão vistas na Matemática Básica.
d) Expressões Numéricas com as 6 Operações em N: a partir de agora você já está apto para desenvolver e resolver com sucesso expressões numéricas com as seis operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Para isso, é necessário que você tenha domínio das propriedades de cada operação, saiba a ordem correta das operações e consiga eliminar os sinais de associação que são os ( ), os [ ] e as { }. Você também poderá seguir os passos feitos anteriormente, só que agora também temos a potenciação e a radiciação para resolvermos.
1 o^ ) Resolva todas operações de potenciação e radiciação dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 2 o^ ) Resolva todas operações de multiplicação e divisão dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 3 o^ ) Resolva todas operações de adição e subtração que ainda restam dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 4 o^ ) Elimine os parênteses, não esquecendo de trocar o sinal dos números se for preciso. 5 o^ ) Se ainda surgir uma conta de divisão ou multiplicação após eliminar os parênteses, resolva-a antes de prosseguir. 6 o^ ) Continue na conta fazendo os 3o^ , 4o^ e/ou 5o^ passo(s) também para os colchetes e as chaves. 7 o^ ) Agrupe os números positivos com os números positivos e os negativos com os negativos, separando-os. 8 o^ ) Some todos os números positivos e some todos os números negativos, mantendo o sinal de cada um. 9 o^ ) Subtrai os resultados encontrados. Essa seqüência é apenas uma sugestão e NUNCA DEVERÁ SER VISTA COMO REGRA FIXA. Observe com atenção os exemplos abaixo.
O número do qual é preciso extrair a raiz recebe o nome de radicando. Nesse caso é o
- O número que indica qual a raiz a ser extraída é o índice. O índice fica em cima do radical, que é o símbolo da radiciação.
Quando a raiz a ser extraída for quadrada, não precisa pôr o número 2 no índice. Assim, na raiz quadrada de 9, que é o exemplo, não se deve escrever o 2 no índice. E, por fim, o resultado da radiciação é a raiz.
Qual é o número que elevado ao cubo dá 64? Nesse caso, queremos saber a raiz cúbica de 64.
Escrevemos assim: 3 64. O resultado é 4, pois 4 3 = 64. Portanto, 3 64 = 4. Se o índice for diferente
de 2, ele deverá sempre aparecer. Nesse estudo de Matemática Elementar, estudaremos até raiz cúbica.
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Ex. 1) Calcule o valor numérico da expressão 60 (2 2 +3 1 ) 2 3 3 0. Vamos lá então: 60 (2 2 +3^1 ) 2 3 3 0 = (essa é a conta para resolver) 60 (4+3) 8 1= (Feito o passo 1) 60 7 8 1= (Feito o passo 3 e o 4: o passo 2 não foi preciso). 60 56 = (feito o passo 5) 4 (feito o passo 9: os passos 6, 7 e 8 não foram precisos)
Ex. 2) Esse exemplo será feito sem seguir os passos anteriores. Pense e escolha o que você acha melhor. Calcule o valor numérico da seguinte expressão:
49 3 27 + {2^0 ^64 + 3[6^3 ^ (3^3 8 + 2)2]^ ^1 999 }= (essa é a conta para resolver)
7 3 + {18 + 3[216 (32 + 2)2] 1} = (as raízes e potências foram resolvidas) 7 3 + {8 + 3[216 (6+ 2)2] 1} = (as multiplicações foram resolvidas) 7 3 + {8 + 3[216 8 2] 1} = (os parênteses foram eliminados) 7 3 + {8 + 3[216 4] 1} = (a divisão foi feita) 7 3 + {8 + 3 212 1} = (os colchetes foram eliminados) 7 3 + {8 + 636 1} = (as multiplicações restantes foram feitas) 7 3 + 8 + 636 1 = (as chaves foram eliminadas) 7 + 8 + 636 3 1 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 651 4 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 647 (o resultado final foi feito a partir da subtração que havia sobrado)
e) Potências de base 10 ou Potências de 10: essas potências são aquelas em que a base é sempre 10. De qualquer forma, para calcular a potência de base 10, basta adicionar tantos zeros quantos forem os expoentes naturais. Observe os exemplos abaixo.
Exs.: 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10000 etc.
Também é possível determinar o expoente da base 10. Para isso basta seguir a seguinte regrinha simples: escreve-se o número seguido da multiplicação pela potência de base 10; a quantidade de zeros que há será o expoente da base 10. Se não houver zeros, o expoente será zero.
Exs.: 500m = 5100m = 5 10 2 m 780Km = 7810Km (quando o expoente for um, não é necessário escrevê-lo). 1200Kg = 12100 = 12 10 2 Kg 1000 l = 11000 l = 10 3 l (não é necessário escrever o número um na frente da potência de 10) 2Km = 2 10 0 Km A potência de base 10 será revista no estudo dos números racionais.
Para saber qual é a potência certa, basta você ver o expoente: quando a base for 10 o valor do expoente indica quantos zeros você deverá acrescentar à direita do 1 (um). Assim, é possível calcular a potência de qualquer base 10 rapidamente.
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CASO REGRA EXEMPLO
Sinais Iguais (+) e (+) ou () e ()
Mantém-se o sinal e soma-se os números. 5 + 7 = 12 ou +
5 7 = 12 (conserva o sinal e somam-se os números) Sinais Diferentes (+) e () ou () e (+)
Mantém-se o sinal do maior número e subtrai-se os números.
9 7 = 2 ou +2 (conserva o sinal do
7 9 = 2 (conserva o sinal do 9)
Além dessas duas regras, outra muito importante, que já foi estudada no conjunto dos Números Naturais deve ser sempre lembrada pelo seu contínuo uso é a seguinte: “Se na frente de um parênteses, colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todos os números dentro desses parênteses, colchetes ou chaves”. É imprescindível lembrar isso ou haverá erro na conta. Ex.1: 49 (2 + 2 3) = 49 16 6 + 12 = (aqui os sinais dos números foram trocado ao eliminar os parênteses) 49 + 12 16 6 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 61 24 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 37 (conservou-se o sinal do maior número e subtraiu-se)
Ex.2: Vamos agora a um exemplo com parênteses, colchetes e chaves. 4 + {5 7 [9 5 (2 +11 14) + 5] 15} = 4 + {5 7 [9 5 2 11 + 14 + 5] 15} = (parênteses eliminados e sinais dos números trocados) 4 + {5 7 9 + 5 + 2 +11 14 5 15} = (colchetes eliminados e sinais dos números trocados) 4 + 5 7 9 + 5 + 2 +11 14 5 15 = (chaves eliminadas e sinais dos números nã foram trocados) 5 + 5 + 2 + 11 7 9 14 5 15 = (os números foram agrupados em negativos e positivos) 23 73 = (foram somados os números positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 50 (conserva-se o sinal do maior e subtri-se)
Propriedades Operatórias da Adição e Subtrção em Z: as mesmas propriedades válidas para a adição em N também é válida para a adição em Z. Além destas, há ainda uma nova propriedade: Número Oposto.
Propriedade Conceito Exemplo Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. 5 + 6 = 6 5 = 1 Associativa Alterando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera.
Fechamento A soma de vários números inteiros é sempre um número inteiro. 1 2 + 3 4 = 2 25 16 + 14 125 +162 = 10 Elemento Neutro
Todo número inteiro adicionado a zero ou subtraído o zero permanece igual a ele mesmo.
Número Oposto
Um número é o oposto de outro número quando a soma ou subtração deles dá zero.
6 + 6 = 0 (6 e 6 são opostos entre si) 14 14 = 0 (14 e 14 são opostos entre si)
Expressões Numéricas com Adição e Subtração em Z: nessas expressões, você fará contas de adição e subtração com números negativos. É importante relembrar o seguinte: “Se na frente de um parênteses, colchetes ou chaves tiver o sinal negativo, devemos trocar os sinais de todos os números dentro desses parênteses, colchetes ou chaves”. Nunca esqueça isso!!!!!!
Ex.1: 30 + 18 + 45 = 18 + 45 18 = (agrupando os positivos com os positivos e os negativos com os negativos) 63 18 (todos os positivos foram somados. Não foi preciso somar os negativos) 45 ou + 45 (conserve o sinal do maior e subtraia)
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Ex.2: 10 + 15 {25 [11 – 5 + 8] – 3 5}= 5 {25 – 11 + 5 – 8 – 3 – 5} = (os colchetes foram eliminados) 5 25 + 11 – 5 + 8 + 3 + 5 = (as chaves foram eliminadas) 5 + 11 + 8 + 3 + 5 – 25 – 5 = (agrupou-se os números em positivos e negativos)
32 – 30 = 2 ou +2 (conserva o sinal do maior e subtrai) b) Multiplicação e Divisão de Números Inteiros: Regras Gerais de Multiplicação e Divisão em Z: para ser possível multiplicar e dividir números inteiros, devemos sempre ter em mente que todas as idéias para multiplicação e divisão em N são também válidas em Z. Mas, além disso, como se trata de outros tipos de números, algumas regras novas sempre acabam surgindo. Abaixo está um quadro com essas idéias básicas para multiplicação e divisão de dois números inteiros. Tenha em mente que as regras de sinais nas operações de multiplicação e divisão são as mesmas: o que vale para uma também vale para a outra.
CASO REGRA EXEMPLO Sinais Iguais (+)(+) ou ()() (+)(+)ou ()()
Se o sinal dos dois números forem iguais, o resultado será sempre POSITIVO, isto é: (+)(+) = + ou ()() = + (+)(+) = + ou ()() = +
5 6 = 30 ou + 5 (6) = 30 ou + 10 2 = 5 ou + (10)(5) = 2 ou + Sinais Diferentes ()(+) ou ()(+) ()(+)ou ()(+)
Se o sinal dos dois números forem diferentes, o resultado será sempre NEGATIVO, isto é: ()(+) = ou (+)() = ()(+) = ou (+)() =
Se caso você for multiplicar e/ou dividir mais de sois números inteiros, a regra é a seguinte: se a quantidade de números negativos for par, o resultado é positivos, mas se a quantidade de números negativos for ímpar, o resultado será negativo. Para que essa regra funcione não deve haver outras operações matemáticas envolvidas, mas só multiplicação e/ou divisão.
Ex.1) 2 (3) 4 (1) 5 (2) = 60 ou +60 (como há 4 números negativos, e essa quantidade é par, o resultado dá positivo) Ex.2) 2 (3) 4 5 (2) = 60 (como há 3 números negativos, e essa quantidade é ímpar, o resultado dá negativo)
Propriedades Operatórias da Multiplicação e Divisão em Z: as mesmas propriedades válidas para multiplicação e divisão em N também são válidas para a multiplicação e divisão em Z. A única diferença é que agora devemos levar em consideração o “jogo” de sinais. O asterisco (*) indica que a propriedade não é válida para a divisão. Será válida para divisão apenas nos Números Racionais e/ou Números Reais.
Propriedade Conceito Exemplo Comutativa* A ordem dos fatores não altera o produto. (^) 5 6 = 6() = 30 Associativa* Associando os números com os sinais de associação, o resultado da expressão não se altera.
Fechamento* O produto de vários números inteiros é sempre um número inteiro.
Elemento Neutro*
Todo número multiplicado por um (1) permanece igual a ele mesmo.
36 1 = 41 (o contrário não é válido) Distributiva Se um número multiplica um parênteses, então ele multiplica todos os números dentro desse parênteses. Se um parênteses está sendo dividido por um número, então todos os números de dentro do parênteses são divididos por este número.
(12 8)4 = 12 4 8 4 (obs.: se o número e o sinal de divisão estiverem na frente do parênteses, a propriedade não será válida para a divisão em Z). Fator Nulo ou Fator Zero
Se numa multiplicação de vários números pelo menos um deles for zero, o produto final será zero.
Divisão por Zero
Não é possível dividir qualquer número por zero. O resultado é impossível ou indeterminado.
3 0 =? (nenhum resultado-impossível) 0 0=? (infinitos resultados-indeterminado)
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P4) Se a base for um, a potência sempre será um 1 X^ = 1 Exs.: 1 2 = 1; 1 25 = 1; 1 999 = 1. P5) Não existe a potência de 0 0. Não existe resultado possível.
P6) A raiz de zero, seja qual for o índice não nulo, sempre será zero X 0 0 X 0
Exs.: 0 0 ; 3 0 0
P7) Não existe a raiz zero de qualquer número.
Exs.: 0 16 ?; 0 9 ?; 0 0 ?
P8) Se o expoente for par, a potência sempre será positiva, mesmo que a base seja negativa () PAR^ = (+) Exs.: (2) 4 = (2) (2) (2) (2) = 16 ou +16. Portanto, (2) 4 = 16. (3) 2 = (3) (3) = 9. Portanto, (3) 2 = 9. 7 2 = 77 = 49 P9) A potência será negativa apenas se a base for negativa e o expoente for ímpar ()ÍMPAR^ = () Exs.: (2) 3 = (2) (2) (2) = 8. Portanto, (2)^3 = 8. (3) 5 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243 P10) Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes Xm^ Xn^ = Xm+n Exs.: 3 3 3 2 = 3 5 ; (2) 3 (2) 4 = (2) 7. P11) Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes Xm^ X n^ = Xmn Exs.: 3 5 3 2 = 3 3 ; (2) 8 (2) 5 = (2) 3. P12) Potenciação de uma potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes (Xm^ )n^ = Xmn Exs.: (3^2 )^3 = 3 6 ; ( 32 )^5 = 3 10 ; ( 23 )^2 = (2) 6. P13) Potenciação de ordem superior: conservamos a base e calculamos a potência de cima para baixo.
Exs.:
2 2
2 (^) ; 32 32 3512
32 9 P14) Potenciação de um produto de vários números: o expoente vale para todas as bases (regra do chuveirinho) (abc)X^ = aX b X cX Exs.: (2 3 4)^2 = 2 2 3 2 4 2 ; ( 2 3 4)^2 = (2) 2 3 2 4 2.
P15) Não existe raiz par de números negativos PARX nãoexisteseX 0.
Exs.: 4 nãoexiste; 16 nãoexiste nãoexiste
4
16 ; etc.
Isso acontece porque não é possível, para qualquer número, elevá-lo a um expoente par e a potência dê negativa. OBS.: você não precisa se preocupar em decorar essas regras, pois à medida que você as vai usando também vai memorizando. NÃO SE EXTRESSE!!
d) Expressões Numéricas com as Seis Operações em Z: as expressões numéricas de números inteiros se baseia em todas as propriedades vistas até agora para as seis operações. Sendo assim, é muito importante que você tenha um bom domínio dessas propriedades estudadas até aqui. Nessa etapa que, sem dúvida alguma, é a mais complexa até agora, é bom relembrarmos que os mesmos procedimentos para realizar expressões numéricas ainda são válidas aqui. Para resolver expressões numéricas em Z, você poderá usar os passos sugeridos desde as expressões numéricas de Números Naturais. Relembre as etapas abaixo:
1 o^ ) Resolva todas operações de potenciação e radiciação dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 2 o^ ) Resolva todas operações de multiplicação e divisão dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. 3 o^ ) Resolva todas operações de adição e subtração que ainda restam dentro dos parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem. Faça o jogo de sinal, se preciso. 4 o^ ) Elimine os parênteses, não esquecendo de trocar o sinal dos números se for preciso. 5 o^ ) Se ainda surgir uma conta de divisão ou multiplicação após eliminar os parênteses, resolva-a antes de prosseguir. 6 o^ ) Continue na conta fazendo os 3o^ , 4o^ e/ou 5o^ passo(s) também para os colchetes e as chaves. 7 o^ ) Agrupe os números positivos com os números positivos e os negativos com os negativos, separando-os. 8 o^ ) Some todos os números positivos e some todos os números negativos, mantendo o sinal de cada um. 9 o^ ) Subtrai os resultados encontrados.
Ex.1) Calcular o valor numérico da expressão (2) 3 + 3 8 { 3 (4) +[ 16 (1) 3 (2 3 2 5 ) 2 4 ] + 2 2 2 3 }.
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(2) 3 + 3 8 { 3 (4) +[ 16 (1) 3 (2 3 2 5 ) 2 4 ] + 2 2 2 3 } = (essa é a conta que temos que resolver)
8 + (2) { 3 (4) +[ 4 (1) 2 8 2 4 ] + 2 5 } = (Feito o passo 1) 8 + (2) { 3 (4) +[ 4 (1) 16] + 32} = (Feito o passo 1 novamente para as potências que sobraram) 8 + (2) { 12 + [ 4 16] + 32} = (Feito o passo 2) 8 2 { 12 + 4 16 + 32} = (Feito o passo 4 para os colchetes) 8 2 12 4 + 16 32 = (feito o passo 4 para as chaves) 16 8 2 12 4 32 = (Feito o passo 7: passos 5 e 6 não foram precisos) 16 58 = (Feito o passo 8) 42 (Feito o passo 9)
Ex.2) 3 72 ^ { (2)^4 (^ 4) + [^36 3 64 23 ^3 ((3)^0 5 – 6)] – 11]} 3 49 { 16(4) + [6 4 8 3 (1 5 6)] 11} Foram feitas a potenciação e a radiciação 147 {4 + [3 3 (5 6)] 11} Foram feitas a multiplicação e a divisão 147 {4 + [3 3 (1)] 11} Foi feita a subtração que restou nos parênteses, que foi eliminado 147 {4 + [3 + 3] 11} Resolvido a multiplicação restante 147 {4 + 3 + 3 11} Colchetes eliminados 147 + 4 3 3 + 11 Chaves eliminadas 147 + 4 + 11 3 3 Números agrupados em positivos e negativos 162 6 Números positivos somados com positivos e o mesmo com os números negativos 156 Resultado final
- Operações com Números Racionais (só com frações): os números racionais surgiram da necessidade de realizar contas com números que não são naturais e nem inteiros. Por exemplo, se um terreno tem uma área de 760m^2 e, por herança, ele deverá ser dividido por 3 filhos herdeiros então qual será a área que cada um deles deverá receber, se for feito uma divisão por igual? A conta será a seguinte: 7623. O resultado dessa conta não é um número natural e nem inteiro. Faça a divisão e verifique você mesmo! A divisão não dá exata, então o número não é natural e nem inteiro. Depois de alguns estudos, ficou definido que os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos em forma de fração. Nessa idéia entram também os Números Naturais e os Números Inteiros, pois eles também podem ser representados por uma fração. Isso acontece porque toda fração também é uma divisão. Por exemplo: (^1025) 2
A fração “dez meios” é a mesma coisa que “cinco”, que é um número natural. Assim, o zero também fará parte do Números Racionais, pois é possível representar zero em forma de fração: (^) ... 0 7
. Abaixo tem uma
classificação dos tipos de números racionais.
1- Frações Exs.: ;
; etc
2- Números Decimais Exatos Exs.: 8,3; 6,45; 3,128; etc.
3- Números Decimais Inexatos ou Dízimas Periódicas Exs.: 4,333...; 1,232323...; 2,353535...; etc.
É necessário entender que fração e números decimais são modos diferentes de escrever um mesmo valor.
Como se lê uma fração??
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... Observe as tabelas das próximas páginas.
OS TRÊS
TIPOS DE
NÚMEROS
RACIONAIS
MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Divisibilidade por Um (1): todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo. Exs.: 71 = 7; 89651 = 8965; etc. Divisibilidade por Dois (2): um número poderá ser dividido por 2 apenas se for par, isto é, quando terminar em 0, 2,4,6 ou 8. Exs.: 990, 78952, 6784, 2356, 198 são divisíveis por 2, pois satisfazem a condição de serem pares. Divisibilidade por Três (3): um número poderá ser dividido exatamente por 3 quando a soma de seus algarismos for um resultado da tabuada do 3. Ex.: 7.245. Somando os algarismos 7 + 2 + 4 + 5 = 18, que está na tabuada do três. Então o número 7.245 é divisível por 3, ou seja, 7.2453 dá uma “divisão exata”. Faça a conta e comprove!
Divisibilidade por Quatro (4): um número será divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número que é um resultado da tabuada do 4 ou quando os dois últimos algarismos forem zero. Exs.: 7.812: é divisível por quatro pois 12 é um dos resultados da tabuada do 4. 1360: é divisível por quatro pois 60 é um dos resultados da tabuada do 4. 44.731: não é divisível por quatro pois 31 não é um dos resultados da tabuada do 4. 5700: é divisível por quatro pois termina com dois zeros (00).
Divisibilidade por Cinco (5): um número poderá ser dividido exatamente por 5 se terminar em zero ou em 5. Exs.: 300, 305, 13795, 800, etc.
Divisibilidade por Seis (6): um número poderá ser dividido exatamente por seis quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Ex.: 5.670: é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (5+6+7+0 = 18, está na tabuada do 3)
Divisibilidade por 7: a regra é muito complicada e quase não é usada. Não compensa estudar isso.
Divisibilidade por 8: um número será divisível exatamente por 8 quando os três últimos algarismos formarem um número que é um resultado da tabuada do 8 ou quando os três últimos algarismos forem zero. Exs.: 2.000 é divisível por 8 pois termina em 000. Faça a divisão e verifique por você mesmo! 12.120 é divisível por 8 pois 120 é um resultado da tabuada do 8 (815 = 120).
Divisibilidade por 9: um número poderá ser dividido exatamente por 9 quando a soma de seus algarismos der um valor que é um resultado da tabuada do 9. Exs.: 5.472 é divisível por 9, pois 5 + 4 + 7 + 2 = 18 (está na tabuada do 9). 7.866 é divisível por 9, pois 7 + 8 + 6 + 6 = 27 (está na tabuada do 9).
Divisibilidade por 10: um número poderá ser dividido exatamente por 10 quando terminar em zero.
Número Primo: um número é dito primo quando ele for divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Exs.: os números 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ... são primos, pois só podemos dividi-los exatamente por 1 ou por ele mesmo. Existe uma regra prática para identificar se um número é primo ou não. Leia o próximo critério de divisibilidade.
Identificação de Número Primo: para saber se um número é primo ou não, basta você somar ou subtrair 1 dele: se o resultado for divisível por 6 então o número é primo. Caso contrário, não. Essa regra é muito útil porque se for identificado que um número é primo, é desnecessário tentar dividi-lo por algum número que não seja ele mesmo ou o 1. Essa regra vale para todos os números primos exceto o 3, pois este é menor que 6. Exs.: O número 371 é primo ou não? 371 + 1 = 372. Como 372 é divisível por 6 então 371 é primo. O número 181 é primo ou não? 181 1 = 180. Como 180 é divisível por 6, então 181 é primo.
b) Simplificação de Frações: simplificar uma fração significa reduzi-la a números mais simples, mas sem alterar o seu valor, isto é, simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente e que seja irredutível (que não dê mais para simplificar). Para fazer isso é preciso entender o seguinte: “em qualquer fração, se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador ao mesmo tempo por um mesmo número que não o zero, o valor da fração não se altera”. Isso é conhecido como “Princípio Fundamental das Frações”. Por exemplo:
MATEMÁTICA ELEMENTAR MÓDULO II: OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
O numerador (que é o 2) e o denominador (que é o 3) foram multiplicados pelo por um mesmo
número: o 5. A nova fração ficou sendo dez quinze avos, que é a mesma coisa que dois terços. Observe o próximo exemplo.
A fração original, seis oitavos, foi simplificada por 2 e se tornou três quartos. A fração
simplificada e a não simplificada representam a mesma quantidade de um todo: têm o mesmo valor. Vamos fazer alguns exercícios sobre isso. Ex. 1) Simplifique as frações abaixo: a) 7
(a fração foi simplificada por 7)
b)
(a fração foi simplificada por 2, depois por 2 de novo e, no fim, por 3).
À medida que a simplificação vai sendo feita, a fração vai ficando com números cada vez menores até não ser mais possível a sua simplificação. Nesse ponto temos então uma fração irredutível.
c) Comparação de Frações: comparar frações significa verificar qual delas é maior ou menor. É necessário entender a comparação de frações porque mais adiante será necessário efetuar os mesmos cálculos para somar e subtrair frações. Há dois casos possíveis de comparação de frações.
1 o^ CASO Frações com Denominadores Iguais: a maior fração é aquela que tem o maior denominador. Exs.:
e Imagine-se numa pizzaria. Qual seria melhor: comer cinco oitavos ou comer sete oitavos da pizza
que você mais gosta? Nesse simples exemplo, a pizza foi dividida em oito partes iguais (O denominador sempre significa o total de partes em que o todo foi dividido). Na primeira fração você comeria cinco pedaços desses 8 e na segunda, comeria 7 dos 8 pedaços (O numerador sempre indica quanto do total de partes foi tomado). Portanto, você comeria mais se comesse 8
(^7) da pizza. Raciocinado assim, podemos concluir o seguinte: se as frações tiverem
o mesmo denominador, a fração maior será a que tiver o maior numerador. Assim 8
2 o^ CASO Frações com Denominadores Diferentes: para determinar, por exemplo, qual é a maior fração
entre
e devemos igualar seus denominadores. Para isso, usaremos o já estudado e conhecido Princícpio
Fundamental das Frações, que ensina o seguinte: “em qualquer fração, se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador ao mesmo tempo por um mesmo número que não o zero, o valor da fração não se altera”. Com isso, vamos então descobrir qual das frações acima é a maior.
e Multiplicamos a primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicamos a segunda
fração pelo denominador da segunda fração. Isso irá igualar os denominadores. Veja o exemplo abaixo.
Essa é a primeira fração multiplicada pelo denominador da segunda, que é 5.
Essa é a segunda fração multiplicada pelo denominador da primeira, que é 3.
Como elas têm o mesmo denominador, aquela que tiver o maior numerador é a fração de maior valor. Comparando:
então
OBS.: é preciso entender esse procedimento porque depois será necessário para somar e subtrair frações com denominadores diferentes.
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e) Multiplicação e Divisão Frações: como foi dito anteriormente, a multiplicação e a divisão são mais simples que a adição e subtração de frações, como você perceberá agora. É importante também entender o seguinte:
Toda fração é uma divisão e por isso o denominador nunca pode ser zero. Tente resolver, por exemplo, 70. Perceba que não existe nenhum número que multiplicado por zero dê sete. Assim, não existe resultado para essa conta!
Outro caso: 00?
. Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, então existe um único
resultado para esse cálculo, mas infinitos resultados! Portanto, de qualquer forma, uma condição para que exista um número racional é que ele não pode ser divido por zero em hipótese alguma.
Multiplicação de Frações: para melhor compreender o porque da regra de multiplicação de frações, analise o exemplo abaixo, que representa uma barra de chocolate dividida em pequenos bloquinhos. A parte escura representa o quanto você já comeu do chocolate. Que fração representa esse total?
A quantidade de quadrados pintados também pode ser obtida multiplicando-se a quantidade de quadrados de cada um dos lados entre si. A altura dos quadrados pintados equivale a dois terços da altura total e a largura dos quadrados pintados equivale a quatro quintos da largura total. Multiplicando-se esses dois valores teremos o quanto a
área pintada equivale do total. Então o resultado de
representa a quantidade de chocolate. O resultado dessa
fração deverá ser igual aos oito quinze avos previstos anteriormente. Portanto:
Desse exemplo podemos
generalizar uma regra para multiplicação de frações: para multiplicar frações, multiplicam-se os numeradores pelos numeradores e os denominadores pelos denominadores. Vamos a alguns exemplos:
Ex.1) Calcule o produto de: a)
b)^
c)^
Se a multiplicação for de um número inteiro por uma fração, o número inteiro irá multiplicar apenas o numerador e o denominador deve ser conservado. Exs.: 3
Inverso de uma Fração: para avançar em divisão de fração é preciso determinar a fração inversa. A fração inversa de uma outra fração é aquela obtida invertendo-se as posições do numerador com o denominador. Veja os exemplos:
a fraçãoinversade éafração ; a fração inversa de 3 é^
(debaixo do 3 tem o número 1).
O inverso de 7 é
; o inverso de
é a fração
(a inversão de um número não altera seu sinal).
OBS.: Não existe inverso de zero pois, como já foi dito, não fica determinado uma fração com denominador igual a zero. Faça o inverso dos seguintes números: 6, 11, 5
e.
O chocolate todo está dividido em 15 partes. Essa área
mais escura representa
8 do todo, pois são 8 blocos
num total de 15.
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Divisão de Frações: para divisão de frações não faremos nenhuma explicação ilustrativa por ser muito semelhante à dada para multiplicação. Apenas daremos a regra de como se divide frações. Para dividir frações, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exs.:
a) b) 5
(^2) c) 15
OBS.: para não confundir, o traço maior é o que separa as frações.
f) Potenciação e Radiciação Frações: as regrinhas de potenciação e radiciação estudadas para Números Inteiros também são válidas para as frações.
Radiciação: quando elevamos uma fração entre parênteses a um expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Exs.:
a) b)
Se a fração não estiver entre parênteses, o expoente só valerá para o numerador ou só para o denominador.
Exs.:
;^
Radiciação: quando o radical envolve o numerador e o denominador, devemos extrair a raiz do numerador e do denominador. Exs.:
a) b)
Se o radical só estiver no numerador ou só no denominador, devemos extrair apenas a raiz do número que está no radical. Exs.:
(a fração foi simplificada por 4)^
(a fração foi simplificada por 3)
g) Expressões Numéricas com as Seis Operações: as regras válidas para resolver expressões numéricas nos Números Inteiros também são válidas para os numero fracionários. Além dessas, é claro, devemos lembrar de como resolve cada uma das operações com frações: isso é imprescindível. a) (^)
^ 8 3 5 200
8 8 3 5 200 0 3 5 200 5 200 ^1000
b)
^
4
1 3 2
1 15 12 2
(^)
^ 4
1 3 4
1 15 1
^ 4
7 4
1 15 1
^ 28
1 15 4
28
416 1
(a fração foi simplificada por 4)
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Fração Decimal = Números Decimais
Os números 0,1; 0,01; 0,001 e 11,7 por exemplo, são números decimais. Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. A parte inteira vem antes da vírgula e a decimal vem após a vírgula. Veja o quadro explicativo abaixo.
Leitura dos números decimais: No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:
Lemos as partes inteiras, seguidas da partes decimais, acompanhadas das palavras:
Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos
Décimos milésimos
Centésimos milésimos Milionésimos
Partes inteiras Partes decimais
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décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.
Exemplos:
1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos
Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.
Exemplos:
0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos
Observação:
- Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:
Leitura convencional: cinco inteiros e cinqüenta e três centésimos;
Outras formas: quinhentos e cinqüenta e três centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.
- Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:
b) Transformação de Fração Decimal para Número Decimal:
Observe os seguintes números decimais:
0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja,
0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,
5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja,
0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,
Sendo assim, compare com a próxima tabela.
