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CENTRAL DE ATENDIMENTO: 4006.
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TD de Matemática (REVISÃO) – PARTE 2
Turnos: Manhã/Tarde Data: _____/_____/
Profs.: Etapa: 2a
Aluno(a): No^ .: Turma:
Ensino Médio
2019/MAT/MAT05–TD–2ET–2EM–M.T–MAT–PARTE 2-REVISÃO/EBS-NGS/Renata-24/
I. ANÁLISE COMBINATÓRIA I
ANÁLISE COMBINATÓRIA I: DIVISORES DE UM NÚMERO
Quais são os divisores primos de 2 400? Para responder a essa pergunta, devemos obter a decomposição em fatores primos do número, no caso: 2 400 = 2 5 ⋅ 3 1 ⋅ 5 2. Veja que os fatores primos de 2 400 são 2, 3 e 5, portanto: (A) os únicos números primos que dividem 2 400 são 2, 3 e 5. (B) os divisores de 2 400 não podem possuir em sua decomposição outros fatores primos diferentes de 2, 3 e 5.
Diante dessas afirmações, é possível responder, por exemplo: (1) 12 é divisor de 2 400? Sim, pois 12 = 2 2 .3 1. (2) 160 é divisor de 2 400? Sim, pois 160 = 2 5 .5 1. (3) 28 é divisor de 2 400? Não, pois 28 = 2 2 .7^1 e 7 não é um fator primo de 2
(4) 9 é divisor de 2 400? Não, apesar de 9 = 3 2 e 3 ser fator de 2 400. Observe que seu expoente supera o expoente do fator 3 na fatoração de 2 400.
Chegamos a mais uma informação importante: (C) Os divisores de 2 400, além de só poderem possuir em sua decomposição os mesmos fatores de 2 400, seus expoentes não podem ser superiores ao expoente do mesmo.
De modo geral, seja N =p 1 α 1 .pα 2 2. ... .pnα n a
decomposição em fatores primos de um número N. Então um divisor de N só pode conter em sua decomposição alguns (ou todos) fatores primos e expoentes menores ou iguais aos da fatoração do próprio N.
Desse resultado, é possível concluir, em conjunto com o princípio multiplicativo, que a quantidade de divisores naturais de um número N é ( α 1 + 1).( α 2 + 1). ... .( αn + 1).
Vejamos por exemplo o caso do 2 400: Lembre: 2 400 = 2 5. 3 1. 5 2 e um divisor seu só pode possuir alguns, ou todos, os fatores primos 2, 3 e 5. Então, um número d que divide 2 400, quando
fatorado, deverá ser da forma d = 2 a 1. 3a 2. 5a^3 e
ainda a 1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a 2 ∈ {0, 1}e a 3 ∈ {0, 1, 2}.
Para obtermos um divisor d de 2 400, temos que escolher uma entre 6 opções de expoentes para a , 1 uma entre 2 opções para a 2 e uma entre 3 opções para a , 3 portanto, para escolher um divisord, temos um total de 6 x 2 x 3, ou seja, 36 opções; conclusão: 2 400 possui um total de 36 divisores naturais. Não deixe de observar que: 6 x 2 x 3 = (5 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1).
EXERCÍCIOS
- Dos números abaixo, qual NÃO é divisor de 5 600? (A) 14. (B) 25. (C) 35. (D) 36. (E) 56.
- Qual dos números a seguir é divisor de N = 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 2? (A) 24. (B) 35. (C) 42. (D) 56. (E) 64.
- Quantos divisores naturais possui o número 504? (A) 6. (B) 8. (C) 12. (D) 16. (E) 24.
- A quantidade de divisores naturais do número N = 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 7 é igual a (A) 210. (B) 304. (C) 455. (D) 576. (E) 612.
- Dados os números M = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 72 e N = 2 3 ⋅ 52 ⋅ 71 , indique a quantidade de divisores naturais de (M ⋅ N). (A) 48 (B) 72 (C) 121 (D) 156 (E) 180
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- O número P = 2 3 ⋅ 3 x^ ⋅ 72 possui 36 divisores naturais, então o valor de P é igual a (A) 2. (B) 3. (C) 1 244. (D) 3 528. (E) 10 584.
- A quantidade de divisores naturais do número 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 5 ⋅ 6 6 é igual a (A) 720. (B) 1 020. (C) 1 440. (D) 2 360. (E) 2 520.
- A quantidade de divisores naturais de 10! é igual a (A) 64. (B) 144. (C) 270. (D) 720. (E) 1 024.
- Quantos são os divisores naturais pares de 1 000? (A) 9. (B) 12. (C) 15. (D) 16. (E) 20.
- O número 600 possui quantos divisores naturais ímpares? (A) 6. (B) 12. (C) 16. (D) 18. (E) 24.
- Quantos dos divisores naturais de 1 176 são múltiplos de 7? (A) 8. (B) 12. (C) 16. (D) 18. (E) 24.
- Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2 x^ ⋅ 5 y^ ⋅ 7 z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de
O número de divisores de N, diferentes de N, é: (A) x ⋅ y ⋅ z (B) (x + 1) ⋅ (y + 1) (C) x ⋅ y ⋅ z - 1 (D) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ z (E) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ (z + 1) - 1 - (UECE 2016) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então a soma x + y é igual a (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) 9.
- (G1 - IFCE 2016) O número possui exatamente 96 divisores inteiros positivos, quando é um número natural igual a (A) 20. (B) 18. (C) 16. (D) 14. (E) 12.
- A quantidade de divisores positivos de 10 2017 é igual a (A) 2 017. (B) 2 018. (C) 4 016. (D) 2 017^2. (E) 2 018 2.
- Sobre os divisores naturais de 7 200 é fato que (some os itens verdadeiros)
- são no total de 54.
- 45 são pares.
- 9 são ímpares.
- 36 são múltiplos de 3.
- 18 não são múltiplos de 5.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 D C E D E D B C 09 10 11 12 13 14 15 16 B A C E B E E 31
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Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são (A) Caio e Eduardo. (B) Arthur e Eduardo. (C) Bruno e Caio. (D) Arthur e Bruno. (E) Douglas e Eduardo.
- (ENEM 2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, (A) 1,5 vez menor. (B) 2,5 vezes menor. (C) 4 vezes menor. (D) 9 vezes menor. (E) 14 vezes menor.
- Carlos fez um jogo de 8 números e foi o ganhador da Mega-Sena. Como seu cartão não era um cartão simples, então, juntamente com o grande prêmio da Mega, ele ganhou algumas QUADRAS e QUINAS.
Quantas QUADRAS e quantas QUINAS Carlos ganhou respectivamente? (A) 4 e 5. (B) 12 e 18. (C) 15 e 12. (D) 16 e 25. (E) 25 e 16.
GABARITO
01 02 03 04 05 06 C C D D B E 07 08 09 10 11 C E A C C
ANOTAÇÃO:
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III. ANÁLISE COMBINATÓRIA III
PRINCÍPIO DAS GAVETAS, PERMUTAÇÃO CIRCULAR E
PERMUTAÇÃO CAÓTICA
O PRINCÍPIO DAS GAVETAS
Os problemas de análise combinatória podem ser divididos em dois tipos: os de contagem e os de existência. Os de contagem utilizam as nossas ferramentas conhecidas, como a Combinação, a Permutação, o Arranjo, o PFC e permitem-nos contar de quantas maneiras podemos organizar uma estante de livros, quantos anagramas possui uma palavra, como podemos estacionar um carro em um estacionamento, entre outros. Já os problemas de existência utilizam uma ferramenta simples, porém poderosa: o Princípio da Casa das Gavetas.
Exemplo 1: Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que entre elas há duas que fazem aniversário no mesmo dia da semana?
Solução: A resposta é 8. Se houvesse apenas 7 pessoas, seria possível que cada uma delas fizesse aniversário em um dia da semana diferente. Com 8 pessoas, há, obrigatoriamente, pelo menos um dia da semana com mais de um aniversariante (se houvesse, no máximo, um aniversariante por dia da semana, o número de pessoas presentes seria, no máximo, 7). Um enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n - 1 gavetas, então pelo menos uma delas irá conter pelo menos dois objetos. Embora trate-se de um fato extremamente elementar, ele é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas.
Exemplo 2: A prova de um certo concurso possui 10 questões do tipo V ou F. Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos dois deles deram exatamente as mesmas respostas para todas as questões?
Solução: Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de 2 modos (V ou F), a prova pode ser preenchida de 2 x 2 x 2 x … x 2 = 2 10 = 1 024 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos 1025 candidatos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
TEXTO PARA AS QUESTÕES 01 E 02. Em uma gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (de forma aleatória) para se garantir que:
- As meias retiradas contenham um par da mesma cor? (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 10
- As meias retiradas contenham um par de cor branca? (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 10
- Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: (A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 38 (E) 40
- Uma prova consta de 4 testes com 5 alternativas cada, sendo uma única alternativa correta para cada teste. O número mínimo de alunos que deverão resolver essa prova para se ter certeza de que, pelo menos, dois deles fornecerão o mesmo gabarito é igual a: (A) 626 (B) 375 (C) 1 025 (D) 476 (E) 21
- (ENEM 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há (A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
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- De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo NÃO fiquem juntas? (A) 2 880 (D) 480 (B) 1 440 (E) 120 (C) 720
PERMUTAÇÕES CAÓTICAS Você já brincou de amigo secreto (amigo oculto)? Essa é uma brincadeira que já virou tradição entre os amigos e na família, e também está sempre presente nas festas de confraternização. A brincadeira ocorre da seguinte forma: Cada participante tira um papel com o nome de outro participante, e não deve contar a ninguém quem é. Mas e se alguém tira o papel com seu próprio nome? Neste caso, as retiradas teriam que ser feitas novamente, até que nenhuma pessoa pegue seu próprio nome A brincadeira de “amigo oculto”, muito comum em nossa sociedade, traz consigo uma intrigante questão que no século XVIII motivou o célebre matemático Leonhard Euler a empenhar-se em um engenhoso e surpreendente trabalho com o intuito de solucioná-la. Esta questão conhecida como “O Problema das Cartas mal endereçadas” consiste em descobrir de quantas formas distintas pode-se colocar n cartas em n envelopes, endereçados a n destinatários diferentes, de modo que nenhuma das cartas seja colocada no envelope correto. Imagine que um carteiro atrapalhado vai entregar alguns envelopes para cada uma das casas de uma certa rua, porém ele acabou entregando todos eles em casas erradas.
De quantas formas distintas ele pode fazer isso?
- Suponha que o carteiro atrapalhado vai entregar os envelopes E 1 e E 2 em uma rua que tem apenas 2 casas denominadas C 1 e C 2. Neste caso, existem apenas duas formas de fazer essa entrega: uma certa (ele entrega o envelope E 1 na casa C 1 e o envelope E 2 na casa C 2 ) e uma errada (ele entrega o envelope E 1 na casa C 2 e o envelope E 2 na casa C 1 ), sendo que neste último caso ele errou TODAS as entregas.
- Suponha agora que o carteiro atrapalhado vai entregar os envelopes E 1 , E 2 e E 3 em uma rua que tem 3 casas denominadas C 1 , C 2 e C 3. Existem formas distintas de se fazer essa distribuição.
Observe:
ENVELOPE PARA A CASA
FOI ENTREGUE NA CASA
Note que em apenas duas situações (C 1 E 2 , C 2 E 3 , C 3 E 1 ) e (C 1 E 3 , C 2 E 1 , C 3 E 2 ) todas es entregas foram feitas de forma errada. Em todas as outras, o carteiro atrapalhado entregou pelo menos um envelope na casa certa. Mas se fossem n envelopes para serem entregues em n casas? Qual seria a resposta para o caso geral? Dada uma sequência finita (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a (^) n) de elementos distintos, damos o nome de permutação caótica a qualquer permutação dela em que nenhum dos elementos encontra-se em sua posição original. Uma permutação com tal característica também é chamada de um “desarranjo” O número de permutações caóticas (desarranjos) de n elementos será denotado pelo símbolo D (^) n e pode ser calculado usando a seguinte expressão:
para n ≥ 1.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
- (ENEM – MODIFICADA) Em um concurso de televisão apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. De quantas formas distintas o participante NÃO ganha qualquer prêmio? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
TEXTO PARA AS QUESTÕES 13 E 14.
(ENEM – MODIFICADA) Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá- las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 12, que era o valor, em reais, do trio- - promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira 5, ele ganharia R$ 2, de desconto.
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- Em quantas formas distintas um determinado consumidor pode NÃO ganhar qualquer desconto? (A) 9 (B) 12 (C) 14 (D) 15 (E) 17
- Em quantas formas distintas um determinado consumidor paga exatamente R$ 10,5 trio- -promoção? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
- (AM) Quatro amigos, Ana, Beto, Carla e Diego brincam entre si de amigo secreto. Cada um dos participantes escreve seu nome em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. Para que a brincadeira seja realizada com sucesso, é necessário que nenhum dos amigos retire seu próprio nome.
De quantas formas distintas isso pode acontecer? (A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8
- (AM) Mariano esqueceu-se da senha do seu e- mail. Ele lembrava apenas que a senha era composta por 5 dígitos distintos compostos pelos algarismos 1, 2, 6, 8 e 9. Se Mariano fizer todas as tentativas possíveis para tentar acessar sua conta, em quantas dessas tentativas ele conseguiu acertar pelo menos um dos dígitos em sua posição correta? (A) 98 (B) 84 (C) 76 (D) 62 (E) 44
GABARITO 01 02 03 04 05 06 A D C A A E 07 08 09 10 11 12 B C A D A B 13 14 15 16 A B D C
IV. ANÁLISE COMBINATÓRIA IV
Para abordar o tema Combinações Completas, vamos iniciar com um problema bem simples: De quantos modos é possível pedir uma casquinha com 3 bolas de sorvete em uma sorveteria que dispõe de 5 sabores distintos?
Normalmente somos levados a responder que a solução desse problema é. No entanto, esta resposta está errada, pois é o número de formas de pedir uma casquinha com 3 bolas de sorvete com sabores distintos.
A resposta correta seria , que são as combinações completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso devemos contar também as possibilidades da pessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, acaba recaindo em um caso de permutações com elementos repetidos. Retomando a questão inicial, uma maneira de contar os casos seria usar o seguinte raciocínio: imagine que a loja oferece os sabores: morango, chocolate, creme, flocos e doce de leite. Nas combinações simples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: morango, chocolate e creme ou morango, chocolate e flocos ou chocolate, creme e flocos, etc..., mas não estaríamos contando os casos como morango, morango e creme ou chocolate, chocolate e chocolate, etc. Portanto, como se pode perceber, (combinações completas ou combinações com repetições ) dará um resultado maior que. A solução desse problema das combinações completas, que consiste em escolher 3 sabores (distintos ou não) dentre as 5 opções que a sorveteria oferece, é equivalente a determinar o número de soluções inteiras e não negativas de uma equação polinomial de coeficientes unitários. Para compreender a associação que acabamos de fazer, vamos denotar por S 1 , S 2 , S 3 , S 4 e S 5 os sabores distintos que essa sorveteria dispõe. Para escolher 3 sabores, existem várias possibilidades, sendo que todas elas são soluções inteiras e não negativas da equação. Fazendo uma representação gráfica do problema, devemos indicar cada unidade por (●) e cada sinal de adição por (+). Dessa forma, percebemos que existe um padrão nas respostas, que nos permite calcular a quantidade de soluções dessa equação sem precisar descrever todas elas. Observe:
, solução que corresponde a
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- Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de doce de leite, e pretende montar saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja no mínimo três balas de hortelã e duas balas de caramelo. Um saquinho diferencia-se do outro pelo número de balas de cada tipo. De quantas maneiras distintas a pessoa pode montar o saquinho? (A) 45 (B) 53 (C) 61 (D) 87 (E) 105
- Márcia comprou 10 picolés iguais e pretende distribuí-los entre seus três filhos: Gabriel, Rafael e Samuel. Com a condição de que nenhum deles deve ficar sem picolés, de quantas maneiras distintas essa distribuição poderá ser feita? (A) 36 (B) 66 (C) 72 (D) 360 (E) 720
GABARITO 01A 01B 01C 02 03 04 28 286 1001 E C B 05 06 07 08 09 10 B D B D A A
ANOTAÇÃO:
V. ANÁLISE COMBINATÓRIA V
- A respeito dos possíveis anagramas montados pelas letras da palavra BRANCO, determine quantos
(A) começam pela letra A? (B) terminam pela letra C? (C) começam pela letra A e terminam pela letra C? (D) possuem as letras B, R e A, juntas e nessa ordem? (E) possuem as letras B, R e A, juntas? (F) possuem a letra A antes da letra O?
- Um grupo de alunos decide escrever todos os anagramas da palavra PERGUNTA. (A) Qual o total de anagramas escritos? (B) Quantos começam com as letras PT, juntas e nessa ordem? (C) Quantas começam pelas vogais e terminam com as consoantes? (D) Quantas possuem as vogais E, U e A, juntas? (E) Quantas possuem as vogais em ordem alfabética?
- O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Zezé teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Então, quantas possibilidades existem de números satisfazendo essas condições?
- O mapa a seguir representa as regiões em que está dividido o Brasil. Cada região do mapa deve ser colorida de modo que regiões com uma fronteira comum tenham cores distintas (por exemplo, as regiões Sul e Sudeste devem ter cores diferentes, enquanto as regiões Sul e Nordeste podem ter a mesma cor). Tendo como base essa condição, é correto afirmar:
Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, assim como as regiões Norte e Sudeste, quantas formas existem de modos diferentes de colorir o mapa?
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- As numerações das fichas de inscrição para um concurso devem ser preenchidas por um número de cinco algarismos distintos. Os algarismos disponíveis no sistema são 1, 3, 5, 7 e 9.
Após o preenchimento, as mesmas serão colocadas em ordem crescente de numeração. (A) Qual é a posição da ficha com numeração 35179? (B) Qual é a posição da ficha com numeração 75913? (C) Qual é a numeração da ficha que ocupa a posição 78?
- (FUVEST 1998 - MODIFICADA) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 “palavras” (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, (A) Qual é a posição da “palavra” SFETUV? (B) Qual é a posição da “palavra” UTFSEV? (C) Qual é a “palavra” que ocupa a posição 250?
- (UFRGS 2015) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior.
O número de trapézios na 6 a^ etapa de construção é (A) 14. (D) 17. (B) 15. (E) 18. (C) 16.
- (INSPER 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul- americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras
diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é (A) 140. (D) 60. (B) 120. (E) 40. (C) 70.
- (PUCRJ 2017) O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro.
Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores? (A) 220. (D) 3 960. (B) 660. (E) 7 920. (C) 1 980.
- (FGVRJ 2016) Em um departamento de uma universidade, trabalham 4 professoras e 4 professores e, entre eles, estão Astreia e Gastão, que são casados. Um grupo de 3 desses professores(as) deverá ir a um congresso, sendo, pelo menos, um homem. Obrigatoriamente, um dos elementos do casal deverá estar no grupo, mas não ambos.
De quantas maneiras diferentes esse grupo poderá ser organizado?
- (UECE 2015) A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 36 alunos, sendo 22 mulheres e 14 homens. O número de comissões que podem ser formadas com alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é (A) 5 236. (B) 6 532. (C) 3 562. (D) 2 635.
- Uma fábrica de automóveis lançou um modelo de carro que pode ter até 5 tipos de equipamentos opcionais. Qual é o número de alternativas deste modelo com respeito aos equipamentos opcionais que podem ser formados?
- (UEMG 2015) Observe a tirinha abaixo:
TD de Matemática (REVISÃO) – PARTE 2
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De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? (A) 15. (D) 600. (B) 30. (E) 972. (C) 108.
- (ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. Opção Formato I LDDDDD II DDDDDD III LLDDDD IV DDDDD V LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato, cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adéqua às condições da empresa é (A) I. (D) IV. (B) II. (E) V. (C) III.
- (ENEM 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (ENEM 2016) Para cadastrar-se em umsite, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nessesite é dado por
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (ENEM 2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quesitos 1. Fantasia e Alegoria^ 2. Evolução eConjunto^ 3. Enredo eHarmonia Bateria^ 4. Total Jurado A B A B A B A B Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55 Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66 Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50 Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68 Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? (A) 21. (D) 1 250. (B) 90. (E) 3 125. (C) 750.
- (ENEM 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de
TD de Matemática (REVISÃO) – PARTE 2
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comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (ENEM 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela Internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (ENEM 2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma Iiga metálica, a partir de um molde no formato de um Iosango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? (A) 6. (D) 24. (B) 12. (E) 36. (C) 18.
- (ENEM 2012) Odesigner português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, indicando se estas são claras ou escuras. Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado). De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? (A) 14. (D) 21. (B) 18. (E) 23. (C) 20.
- (ENEM 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou osite de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por
(A). (C).
(B). (E).
(D).
- (ENEM 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma
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VII. ANÁLISE COMBINATÓRIA I
- (ENEM) Os alunos de uma escola organizaram um torneio individual de pingue-pongue nos horários dos recreios, disputado por 16 participantes, segundo o esquema abaixo: Foram estabelecidas as seguintes regras: – Em todos os jogos, o perdedor será eliminado; – Ninguém poderá jogar duas vezes no mesmo dia; – Como há cinco mesas, serão realizados, no máximo, 5 jogos por dia. Com base nesses dados, é correto afirmar que o número mínimo de dias necessário para se chegar ao campeão do torneio é (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 12
- A figura exibe um mapa representando 13 países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
- A figura a seguir apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo: Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada? (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6.
- Dois amigos André e Beto disputam entre si um torneio de tênis de mesa. Pelas regras que foram estabelecidas, ficou definido que seria declarado campeão do torneio aquele que ganhar 2 jogos seguidos ou 3 alternados. Quantas são as maneiras de o torneio se desenrolar? (A) 8 (D) 14 (B) 10 (E) 16 (C) 12
- Em um jogo de roleta é permitido jogar, no máximo, 5 vezes. Em cada jogada, ganha-se ou perde-se R$ 1,00. Inicia-se o jogo com R$ 1,00 e encerra-se a série de jogadas se ocorrer uma das hipóteses:
- perda de todo o dinheiro - ganho de R$ 4, Quantas são as maneiras de o jogo se desenrolar? (A) 11 (D) 14 (B) 12 (E) 15 (C) 13
- A bandeira a seguir está dividida em 4 regiões. Cada região deverá ser pintada com uma cor, e regiões que fazem fronteira devem ser pintadas com cores diferentes. Sabendo que dispomos de 6 cores, de quantas maneiras distintas podemos pintar essa bandeira? (A) 20. (B) 24. (C) 120. (D) 600. (E) 720.
- Uma ótima e criativa forma de recuperar ou mudar os móveis é pintá-los. Ricardo resolveu reformar um armário que é constituído de três gavetas e uma porta lateral. Ele dispõe de tinta de cinco cores distinta e deseja criar um modelo de forma que as divisões adjacentes sejam de cores diferentes. Sabendo que Ricardo vai pintar somente as três gavetas e a porta lateral, de quantos modos distintos o armário pode ser pintado?
(A) 625 (D) 120
(B) 240 (E) 100
(C) 180
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- Considere o mapa da região formada pelos países A, B, C e D. Ao colorir um mapa, pode-se usar uma mesma cor mais de uma vez, desde que dois países vizinhos tenham cores diferentes. De acordo com essa informação e usando apenas quatro cores, pode-se colorir o mapa acima de L maneiras distintas. Então, é correto afirmar que L vale: (A) 24 (B) 32 (C) 36 (D) 40 (E) 48
- Desde o fim da última era glacial até hoje, a humanidade desenvolveu a agricultura, a indústria, construiu cidades e, por fim, com o advento da Internet, experimentou um avanço comercial sem precedentes. Quase todos os produtos vendidos no planeta atravessam alguma fronteira antes de chegar ao consumidor. No esquema adiante, suponha que os países a, b, c e d estejam inseridos na logística do transporte de mercadorias com o menor custo e no menor tempo. Os números indicados representam o número de rotas distintas de transporte aéreo disponíveis, nos sentidos indicados. Por exemplo, de a até b são 4 rotas; de c até d são 2 rotas, e assim por diante. Nessas condições, o número total de rotas distintas, de a até d é igual a (A) 66 (B) 65 (C) 64 (D) 63 (E) 62
- Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus:
- do terminal A para o B, 4 linhas distintas;
- do terminal B para o C, 3 linhas distintas;
- do terminal A para o D, 5 linhas distintas;
- do terminal D para o C, 2 linhas distintas. Não há linhas diretas entre os terminais A e C. Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C. Qual o número possível de trajetos distintos que ele poderá fazer? (A) 10 (B) 22 (C) 36 (D) 64 (E) 120
- No restauranteSabor & Cia são oferecidas quatro opções de saladas, quatro opções de bebidas, três opções de pratos quentes e duas sobremesas, conforme o cardápio. Todos os clientes do restaurante, em seus pedidos, escolhem necessariamente uma bebida e um prato quente, sendo opcionais as saladas e sobremesas, podendo o cliente escolhê-las ou não, de acordo com as opções do cardápio. Saladas Bebidas (^) quentesPratos Sobremesas
Caeser Suco Filet Torta debanana Grega Água Frango Sorvete Crocante Cerveja Omelete Russa Refrigerante Qual o número de opções distintas de pedido que esse cardápio oferece? (A) 13 (D) 180 (B) 96 (E) 360 (C) 124
- Fábio e sua família, que moram em Fortaleza, pretendem viajar nas férias de janeiro para Buenos Aires. Consultando uma agência de viagens, Fábio foi informado que só há voos para Buenos Aires com conexão em São Paulo, Rio ou Curitiba. A malha de voos para a data solicitada é a seguinte:
ORIGEM DESTINO COMPANHIAS FORTALEZA SÃO PAULO A, B, C, D FORTALEZA RIO A, B, C, D FORTALEZA CURITIBA A, B SÃO PAULO BUENOS AIRES A, B, C, D, E RIO BUENOS AIRES B, C, E CURITIBA BUENOS AIRES A, B, C, F
Se Fábio decidiu que os dois trechos da viagem serão feitos usando companhias aéreas diferentes, de quantas formas distintas ele pode escolher o voo de ida à Buenos Aires? (A) 22 (D) 34 (B) 26 (E) 40 (C) 32
- Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 72
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- Para verificar e analisar o grau de eficiência de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo. Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é:
(A).^ (D)^.
(B). (E).
(C).
- (ESC. NAVAL 2017) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doença, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (UCPEL 2017) Numa prova de Matemática, 80% dos alunos da turma A foram aprovados, sendo que 48% dos alunos aprovados são mulheres. Se um aluno da turma é selecionado ao acaso, a probabilidade deste aluno ser mulher, considerando que esteja aprovado é (A) 68%. (D) 88%. (B) 40%. (E) 38%. (C) 60%.
- (UEG 2017) Um nadador vai disputar duas provas nas Olimpíadas, primeiro os 100 metros borboleta e depois os 100 metros nado livre. A probabilidade de ele vencer a prova dos 100 metros borboleta é de 70%, ao passo que a de ele vencer ambas é de 60%. Se ele vencer a prova dos 100 metros borboleta, a probabilidade de ele vencer a prova dos 100 metros nado livre é de aproximadamente (A) 0,42. (B) 0,86. (C) 0,50. (D) 0,70. (E) 0,60.
- (ENEM 2017) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar- se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25% Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? (A) 0,075. (D) 0,600. (B) 0,150 (E) 0,800. (C) 0,325.
- (UNIOESTE 2017) A tabela a seguir apresenta o número de casos notificados ou prováveis de dengue,chikungunya eZika vírus, registrados nos estados do Sul do Brasil até a semana 23 do ano de 2016, conforme boletim epidemiológico do Ministério da Saúde.
Estado Dengue Chikungunya Zika Paraná 71.114 1.459 1. Santa Catarina 5.344 324 360 Rio Grande do Sul 3.961 233 97
Escolheu-se aleatoriamente um paciente do Sul do Brasil registrado como um caso (notificado ou provável) de uma dessas doenças. Com relação ao paciente supracitado, de acordo com a tabela acima, assinale a afirmação que é INCORRETA. (A) A probabilidade de ser um caso dechikungunya ou de ter sido no Paraná é maior que 90%. (B) A probabilidade de que seja um caso do Rio Grande do Sul é menor que a probabilidade de ser um caso de dengue. (C) A probabilidade de que não seja do Paraná é menor que 15%. (D) A probabilidade de ser um caso deZika ou de ter sido em Santa Catarina é menor que 10%. (E) A probabilidade de ser um caso no Paraná ou ser de dengue é maior que 98%.
- (FAMEMA 2017) Um professor colocou em uma pasta 36 trabalhos de alunos, sendo 21 deles de alunos do 1º ano e os demais de alunos do 2º ano. Retirando-se aleatoriamente 2 trabalhos dessa pasta, um após o outro, a probabilidade de os dois serem de alunos de um mesmo ano é
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (H28) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, perguntou-se às que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e
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com filhos. Sabe-se ainda, que 180 pessoas responderam a essa enquete. Uma pessoa será sorteada para receber um brinde por participação, qual a probabilidade dela ter filhos, sabendo que é casada?
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (ESPCEX (AMAN) 2018) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando- -se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? (A) 50%. (D) 80%. (B) 70%. (E) 85%. (C) 75%.
- (IME 2015) O time de futebol “X” irá participar de um campeonato no qual não são permitidos empates. Em 80% dos jogos, “X” é o favorito. A probabilidade de “X” ser o vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9%. Quando “X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. Em um determinado jogo de “X” contra “Y” o time “X” foi o vencedor. Qual a probabilidade de “X” ter sido o favorito nesse jogo? (A) 0,80. (D) 179/181. (B) 0,98. (E) 170/181. (C) 180/181.
- (FMP 2018) Em uma sala estão cinco estudantes, um dos quais é Carlos. Três estudantes serão escolhidos ao acaso pelo professor para participarem de uma atividade. Qual é a probabilidade de Carlos ficar de fora do grupo escolhido?
(A). (D).
(B). (E).
(C).
- (UERJ 2018) Cinco cartas de um baralho estão sobre uma mesa; duas delas são Reis, como indicam as imagens.
Após serem viradas para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao acaso e, em seguida, retira outra. A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada equivale a:
(A). (C).
(B). (D).
- (UEM-PAS 2017) Um estojo de um estudante tem 7 canetas, das quais 3 são azuis, 2 são vermelhas e 2 são pretas. Se o estudante retirar do estojo, ao acaso, 2 destas canetas sucessivamente e sem reposição, é correto afirmar que a probabilidade de (A) sair a primeira caneta vermelha e depois sair
a azul é
(B) sair uma caneta de cada cor é
(C) saírem duas canetas da mesma cor é
(D) sair a segunda caneta preta é
(E) sair a primeira caneta azul e sair a segunda
vermelha é
- (UNIFESP 2017) Sofia deveria ter estudado 10 temas de biologia para fazer uma avaliação, porém só estudou 2. Nessa avaliação, ela poderá ser reprovada (R), aprovada com ressalvas (AR) ou aprovada (A). Antes de iniciar a avaliação, a professora de Sofia dá a ela o direito de escolher uma das seguintes estruturas de avaliação:
Avaliação 1 – composta por apenas 2 questões, cada uma tratando de um dos 10 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas implica R (^) , acertar apenas uma implica AR, e acertar as duas implica A. Avaliação 2 – composta por apenas 3 questões, cada uma tratando de um dos 10 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas ou mais questões implica R, acertar apenas duas implica AR, e acertar as três implica A.
Considere que Sofia sempre acerta questões dos temas que estudou, e que sempre erra questões dos temas que não estudou. (A) Calcule as probabilidades de R (^) , AR e A para o caso de Sofia ter escolhido a avaliação 1. (B) Se Sofia pretende ser aprovada, independentemente de ser com ressalvas (AR) ou diretamente (A), em qual das avaliações ela terá maior chance? Justifique matematicamente sua conclusão por meio de cálculos de probabilidade.
