Aulas de Matemática Básica, Slides de Matemática

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Profa. Dra. Deiby Gouveia

UNIDADE I

Matemática

Conjunto:

 Coleção ou agrupamento de elementos.

Elemento:

 Cada item que compõe um conjunto.

Pertinência:

 Quando o elemento faz parte do conjunto;

 Notação matemática: ∈ e ∉.

Notação: geralmente:  Conjunto – indicado por letra maiúscula;  Elementos – indicado por letra minúscula;  Ex.: conjunto das vogais.  A = {a, e, i, o, u}.

Números reais – Conjuntos

 Representação dos conjuntos: ⇒ Diagrama de Venn-Euler;

⇒ Enumeração.

Exemplo:

 A = {conjunto dos números de um dado}.

Números reais – Conjuntos

A

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Diagrama de Venn-Euler

Enumeração

 Tipos de conjuntos ⇒ Finitos;

Ex.: conjunto dos meses do ano: A = {jan, fev, mar, ... dez}. ⇒ Infinitos Ex.: conjunto dos números ímpares: B = {...-3, -1 -1, 3, 5, 7, 9...}.

 Classificação ⇒ Vazio: ∅ ou { };

Ex.: conjunto dos meses do ano que comece com a letra G: M = {∅}.

⇒ Unitário; Ex.: conjunto dos meses do ano que comece com a letra F: P = {fevereiro}. ⇒ Universo; Ex.: conjunto dos meses do ano A = {jan, fev, mar, ... dez}.

Tipos de conjuntos e classificação

D) Igualdade:

Exemplo: A = {a, e, i, o, u} e B = {u, o, i, e, a}

D = {x | x + 5 = 12} e F = {7}

E) Complementar:

Exemplo: A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4}

B ⊂ A → B C^ = A – B = {6, 8, 10}

Notação: B ⊂ A → B C^ = A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Números reais – Conjuntos

Exemplo: em um grupo de 20 pessoas, sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de um clube B e 6 são sócias de A e B:

a) Quantas são sócias de A?

b) Quantas são sócias de B?

c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A nem de B?

Números reais – Conjuntos

Diagrama de Venn-Euler

Resposta: 4 pessoas. Resposta: 7 pessoas.

Resposta: 4 + 6 + 7 = 17 20 - 17 = 3 pessoas

A B

U = 20 pessoas

c) {2, 5}.

Resolução:

Montar o Diagrama de Venn-Euler:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; A – B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8}; então, A ∩ B.

Resposta

Diagrama de Venn- Euler

A (^) B

A ∩ B = {2, 5}

A) Números naturais ⇒ N

 Obs.: N* = N - {0}

N* = {1, 2, 3, 4, ...}

 Obs.: N é um subconjunto de Z.  Todos os elementos N pertencem ao conjunto de Z.  ∴ N ⊂ Z.

Números reais – Tipos de conjuntos

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

B) Números inteiros ⇒ Z

 Obs.: Z* = Z - {0} Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Z (^) + = {0, 1, 2, 3, 4} Z (^) - = {-3, -2, -1, 0}

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Números reais – R:

 Representação geométrica de R.

Números reais – Tipos de conjuntos

R = Q ∪ I R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I Diagrama de Venn-Euler:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 R

3 4

_ (^) 0, √ 2 π

Exemplo: analise os dois retângulos a seguir, calcule a diagonal de cada um deles e, depois, classifique os números encontrados em racionais ou irracionais:

Números reais – Tipos de conjuntos

Cálculo da Diagonal: D^2 = a 2 + b 2 4

5

(I)

4

3

(II)

Irracional Racional

...

Exemplo: representar os intervalos:

a) [3,5[ = {x ∈ R | 3 ≤ x < 5}

b) ]–∞,5] = {x ∈ R | x < 5}

c) ]3,5] = {x ∈ R | 3 < x ≤ 5}

d) ]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}

Números reais – Intervalos

R

R

R

R

R

3 5

5

3

3 5

Exemplo: sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A ∪ B, A ∩ B, A – B, B – A:

A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[

B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[

A ∪ B

A ∪ B = {x ∈ R | -1 < x < 5} = ] -1, 5 [

Números reais – Intervalos – Operações

R

R

R

-1 1

0 5

-1 5

 Resolução: A – B.

A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[

B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[

A – B

A - B = {x ∈ R | -1 < x ≤ 0} = ]-1, 0]

Números reais – Intervalos – Operações

R

R

R

-1 1

0 5

-1 (^0)

 Resolução: B – A.

A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[

B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ]0, 5[

B – A

B – A = {x ∈ R | 1 ≤ x < 5 } = [1, 5[

Números reais – Intervalos – Operações

R

R

R

-1 1

0 5

1 5