Propriedades de Matrizes: Matriz Inversa e Exercícios, Notas de estudo de Matemática

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MA093 – Matem´atica b´asica 2

Propriedades de matrizes. Matriz inversa

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Outubro de 2018

T´opicos importantes

O objetivo dessa aula ´e investigar

(^1) propriedades das opera¸c˜oes com matrizes;

(^2) matrizes especiais;

(^3) matriz inversa.

Exemplo

Dada a matriz A =

[

]

, temos

2 A −

A =

A propriedade distributiva

A simplifica¸c˜ao

 produto por escalar

 Resultado

Propriedades da transposta

Mais propriedades Sejam A e B matrizes m × n, e seja c um n´umero real. a) (AT^ )T^ = A b) (c · A)T^ = c · AT c) (A + B)T^ = AT^ + BT

Dadas A =

[

]

e B =

[

]

temos

(A + B)T^ = AT^ + BT^ =

Exemplo

Sejam dadas as matrizes

A =

[

]

B =

[

]

C =

[

]

Observe que

AB =

[

]

e BC =

[

]

Assim, como prevˆe a propriedade (a) da multiplica¸c˜ao,

(AB)C =

[

]

[

]

A(BC ) =

[

]

[

]

Exemplo

Sejam dadas as matrizes

A =

[

]

B =

[

]

Observe que

AB =

[

]

e (AB)T^ =

[

]

Por outro lado,

BT^ AT^ =

[

]

[

]

[

]

como previsto pela propriedade (e) da multiplica¸c˜ao.

Matriz identidade

Defini¸c˜ao A matriz identidade de ordem n × n ´e definida por

In =

Se a matriz A ´e m × n, ent˜ao

A · In = Im · A = A

A matriz identidade ´e sempre quadrada.

Matriz inversa

Defini¸c˜ao Seja A uma matriz n × n (quadrada). Definimos a inversa de A, caso exista, como a matriz A−^1 (tamb´em n × n) tal que

A · A−^1 = A−^1 · A = In

Quando A−^1 existe, dizemos que A ´e invers´ıvel, ou n˜ao singular.

Obten¸c˜ao da inversa

M´etodo para a obten¸c˜ao de A−^1 Para obter a inversa de A (^1) Montamos a matriz ampliada M = [ A | I ]

(^2) Aplicamos opera¸c˜oes sobre as linhas da matriz ampliada at´e convertermos A em I. Ou seja, fazemos

[ A | I ] −→ [ I | A−^1 ].

Convertemos uma coluna de A de cada vez, da esquerda para a direita (come¸cando na coluna 1 e acabando na n). (^3) A inversa de A ´e a matriz que aparece do lado direito da nova matriz ampliada.

Exemplo

Problema

Obter a inversa de A =

[

]

(^1) Montando a matriz ampliada:

M =

[

]

(^2) Convertendo o elemento m 11 em 1: 1 ← 1 / 2 [ 2 6 1 0 − 1 − 2 0 1

]

[

]

(^3) Convertendo o elemento m 21 em 0: 2 ← 2 + ` 1 [ 1 3 12 0 − 1 − 2 0 1

]

[

]

Outro m´etodo para a obten¸c˜ao da inversa

M´etodo alternativo para a obten¸c˜ao de A−^1 Para obter a inversa de A, supondo que ela seja 3 × 3:

(^1) Criamos a matriz A−^1 =

a b c d e f g h i

(^2) Montamos o sistema A · A−^1 = I , ou seja   

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a b c d e f g h i

(^3) Resolvemos o sistema, encontrando a, b, c, d, e, f , g , h e i.

Exemplo

Problema

Obter a inversa de A =

[

]

(^1) Montando o sistema linear: [ 2 6 − 1 − 2

]

[

a b c d

]

[

]

(^2) Efetuando a multiplica¸c˜ao:     

2 a +6c = 1 −a − 2 c = 0 2 b +6d = 0 −b − 2 d = 1

Propriedades da inversa

Propriedades Sejam A e B matrizes n × n invers´ıveis, e c um escalar, com c 6 = 0. a) (A−^1 )−^1 = A (inversa da inversa)

b) (AT^ )−^1 = (A−^1 )T^ (inversa da transposta)

c) (AB)−^1 = B−^1 A−^1 (inversa do produto)

d) (cA)−^1 = (^1) c A−^1 (inversa do produto por escalar)

Exerc´ıcio 1

Problema Verifique que B ´e a inversa de A efetuando os produtos BA e AB.

A =

[

]

B =

[

]