INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E
TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL – IFRS
CAMPUS BENTO GONÇALVES
Professor Delair Bavaresco
Segundo Semestre de 2009
θ
y
z
x
x
w
2
3
f(
x)
w(1, 2 ) ( 3,6 ,3 )
=
1
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2 3
w : R R
→
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Matrizes e Operações Básicas na Álgebra Linear, Esquemas de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Uma introdução à teoria das matrizes, incluindo sua definição, tipos, propriedades e operações básicas como adição, subtração, multiplicação por escalares e produto de matrizes. O documento também aborda a transposta de uma matriz e propriedades associadas.
Tipologia: Esquemas
2011
1 / 5
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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E
TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL – IFRS
CAMPUS BENTO GONÇALVES
Professor Delair Bavaresco
Segundo Semestre de 2009
θ
y
z
x
x
w
2
3 f(x)
w( 1,2 ) =( 3,6 ,3 )
1
2 3
6 3
w : R 2 →R^3
DEFINIÇÃO : Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. O tamanho da matriz é descrito em termos de número de linhas e de colunas. Por exemplo, ao recdolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispo-los na tabela:
Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos) Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 Pessoa 4
Ao abstrairmos o significado das linhas e colunas, temos a matriz:
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes.
a) M =
5 4 b) M =
3 - i -i
c)
- senx -cosx
senx cosx
→
→
j coluna
i linha aij
56 3x
De uma forma geral, uma matriz de m linhas e n colunas, isto é, do tipo mxn , é representada da seguinte maneira:
11 12 1n 21 22 2 n m n ij (^) m n
m1 m2 mn
a a ... a a a ... a A a
a a ... a
× (^) ×
= ^ ^ = ^
^
Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por aij, onde “ i ” representa a linha onde está o elemento e “ j ” representa a coluna do mesmo elemento.
a 11 = 1 1ª linha e 1ª coluna
A 32 = 6
3ª linha e 2ª coluna
A matriz A pode ser representada da seguinte forma
A = (aij)m x n
aij elemento na matriz que está situado na linha i e na coluna j
m x n tipo da matriz, onde m indica o número de linhas e n , o número de colunas,
► ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO : Se A e B são matrizes do mesmo tamanho, então a soma A + B é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de A; e a diferença A – B é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A. Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtraídas. Exemplos
−^ −
−^ −
► MÚLTIPLOS ESCALARES : Se A é uma matriz e c é um escalar, então o produto cA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por c. A matriz cA é chamada múltipla escalar de A. Exemplo:
6 4 1 3 2 1 (^1 ) (^2 0 5 20 ) 2
− − ^ ^ −^ −
=^
► PRODUTO : Se A é uma matriz mxr e B é uma matriz rxn, então, o produto AB é a matriz mxn cujas entradas são determinadas como segue: para obter a entrada da linha i e coluna j de AB, destaque a linha i de A e a coluna j de B. Multiplique as entradas correspondentes desta linha e desta coluna e então some os produtos resultantes. Exemplo:
3 2 2 2 (^ ) 3 2
5 3 × × 5 1 3 0 5 1 3 4 × 5 7
^ ⋅^ +^ ⋅^ ⋅ −^ +^ ⋅
^ − ^
⋅^ ^ ^ =^ ^ ⋅^ +^ ⋅^ ⋅ −^ +^ ⋅^ =
^ ^ ^ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅
► TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ : Se A é uma matriz n x m qualquer, então a transposta de A, denotada por AT^ ou A’, é definida como a matriz n x m que resulta da permutação das linhas com as colunas de A.
Seja
2 5 3 C 1 4 1
− = (^) −
, então T
C 5 4
= ^ −
PROPRIEDADES DA MATRIZ TRANSPOSTA:
i) (AT)T^ = A ii) (A + B)T^ = AT^ + BT iii) (A – B)T^ = AT^ - BT iv) (k A)T^ = k AT v) (AB)T^ = BT^ AT
Exemplo:
- Sejam (^) [ ]
A ,B ,C 2 e D 2 1 2 1 1 3 0 1 4
^ −
− ^
Encontre, a) A+B b) A.C c) B.C d) C.D e) D.A f) D.B g) –A h) –D
- Se A^2 = A.A, então
2 2 1 3 2
- Seja
2 x^2 A 2x 1 0
. Se A’= A, então x =?
- Determine o valor das variáveis x,y,z e w, de modo que
x y 2 3 1 0 z w 3 4 0 1
- Sendo
A
, determine a matriz B, de modo que B 2 = A.
- Um construtor tem contratos para construir três estilos de casas: Moderno, contemporâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro T int a Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Contemporâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele for construir 5 casas do tipo moderno, 7 do tipo contemporâneo e 12 do tipo colonial, quantas unidades de cada material serão empregados? b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total de material empregado?
- Considere as matrizes
3 0 1 5 2 6 1 3 4 1 1 4 2 A 1 2 ,B ,C ,D 1 0 1 ,E 1 1 2 0 2 3 1 5 1 1 3 2 4 4 1 3
^ −^ ^
Calcule, quando possível: a) D + E b) D – E c) 5A d) -7C e) 2B – C
f) 4E – 2D g) -3(D + 2E) h) 2AT^ + C i) DT^ - ET j) BT^ + 5CT
l)(2ET^ – 3DT)T m) BA n) (3E)D o) CCT p) DAT
q) (4B)C + 2B r) (-AC)T^ + 5DT
8)(PEIES-UFSM-99) Considere as matrizes i j
1 A (aij ) 3 x 2 ( 1 )i j
= =− +^ e B = (bjk)2x3 = j – k. O elemento c 23 da
matriz-produto C = A.B é:
a). 12
11 − b). 12
1 c). 12
5 d). 12
11 e)1.