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COLEÇÃO MATEMÁTICA BÁSICA

LIVRO 1

Aritmética e Álgebra – Parte 1

• Inteiros

• Frações

• Equações

• Equacionamento

Lafayette Spósito Goyano Jota

Editoração: Bruno Fraga Ferreira

Dedicatória

Em primeiro lugar, dedico este livro a Deus Todo-Poderoso, nosso Criador e mantenedor. Agradeço

por ter tido disposição e saúde para concluir mais esta etapa do trabalho. É para Ele que peço que

este livro seja útil no ensino de muitos estudantes.

A meu pai e à minha mãe – Paulo e Marinêz – meus primeiros e mais importantes professores.

A minha esposa, Rosselini, por ser A Rosselini.

Dedico este livro a todos os meus professores de matemática.

Dedico este livro a todos os meus patrões, presentes e passados, por abrirem colégios e assim

mudarem para melhor a vida de milhares de pessoas entre funcionários, professores e alunos.

Dedico este livro a você, que irá estudar por ele: que você tenha sucesso em sua jornada de se tornar

mais forte em matemática.

Sumário

• Dedicatória
• Sobre os Autores...................................................................................................................................................................
• Obras em Destaque
• Introdução ao Livro Um
• 1. Operações Com Inteiros. Operações Básicas em Álgebra.
  • 1.1. A Soma de um Negativo com um Positivo
  • 1.2. A Soma de Dois Negativos
  • 1.3. Resolvendo expressões com vários termos:
    • Pensando nos Números Inteiros
    • Exercícios de Tarefa
  • 1.4. Multiplicação e Divisão de Inteiros (“Jogo de Sinais”)
  • 1.5. Multiplicações em Cadeia
  • 1.6. Usando a Distributiva...............................................................................................................................................
    • Distributiva com dois parêntesis:
    • Exercícios de Tarefa
• 2. Frações e Decimais
  • 2.1. O Significado de Fração:...........................................................................................................................................
  • 2.2. Obtendo a “Fração de Alguma Coisa”.
    • Exercícios de Tarefa
  • 2.3. Frações Equivalentes
  • 2.4. Operações com Frações
    • Soma e Subtração de Frações:
    • Casos Especiais:
    • Um pouco de significado
  • Convertendo Decimais em Frações
    • Exercícios de Tarefa
    • Multiplicação de Frações
    • Divisão de Frações:
    • Simplificação na Multiplicação e Divisão de Frações
    • Exercícios de Tarefa
  • 2.5. Algumas Aplicações que aparecem em sala de aula
    • Pitágoras com Frações
    • Área de Triângulo:.......................................................................................................................................................
    • Comparando duas Frações
    • De Fração Para Decimal Para Porcentagem
    • Exercícios de Tarefa
  • Exercícios de Vestibular
• 3. Equações de Primeiro Grau
  • 3.1. Resolvendo Equações de Primeiro Grau
  • 3.2. Exemplos Básicos
    • Exercícios de Tarefa
  • 3.3. Resolvendo Equações com Frações
  • 3.4. “Multiplicação Cruzada”
    • Exercícios de Tarefa
  • 3.5. Explicação teórica de tudo o que fizemos neste capítulo:
    • Equação: uma igualdade entre dois termos.
  • Exercícios de Vestibular
• 4. Equacionamento com uma variável
  • 4.1. Cada quantidade desconhecida é uma letra.
  • 4.2. A soma das partes dá o todo
  • 4.3. Tirando a Prova Real
    • Exercícios de Tarefa
  • 4.4. Equacionando Multiplicações e Diferenças
  • 4.5. Um caso muito comum: calculando o que restou
    • Exercícios de Tarefa
  • 4.6. Total = Preço x Quantidade......................................................................................................................................
  • 4.7. Após calcular o “x”, leia novamente qual é a pergunta
    • Exercícios de Tarefa
  • Gabarito do Capítulo
  • Gabarito do Capítulo
  • Gabarito do Capítulo
  • Gabarito do Capítulo

1. Operações Com Inteiros. Operações Básicas em Álgebra.

Vamos estudar alguns detalhes importantes sobre operações. Para começar, é claro que a soma de dois positivos permanece positiva. Por exemplo: 20 + 30 = 50. Vejamos os casos interessantes agora. 1.1. A Soma de um Negativo com um Positivo Ao somar um negativo com um positivo, realmente fazemos uma subtração e conservamos o sinal do “maior” deles. Veja: Exemplo 1: Somar 12 + (–4) Realmente fazemos: 12 – 4 = 8 O sinal do resultado é positivo porque 12 é maior que 4, e o número 12 tinha o sinal positivo. O significado é: eu tinha 12 reais no banco, e gastei 4. Assim, restam 8 reais. É o mesmo significado de uma subtração. Exemplo 2: Somar (–7) + 3 Neste caso fazemos a subtração 7 – 3, que dá 4. Mas manteremos o sinal negativo, porque 7 é maior que 3. Assim, (–7) + 3 =

• 4 O significado é: eu tinha saldo de – 7 no banco, ou seja, estava devendo 7. Como recebi 3 reais, então isso abate do saldo negativo e agora eu só devo 4. Por isso o resultado é – 4. Exemplo 3: Calcular – 2 + 8 Fazemos 8 – 2 e mantemos o sinal do 8, que é maior. Assim,
• 2 + 8 = 6 O significado é: eu tinha saldo de – 2 no banco, ou seja, estava devendo 2. Como recebi 8 reais, então isso paga toda a minha dívida e eu ainda fico com 6 reais. Por isso é que o resultado é +6, mantendo o sinal do maior dos dois. Exemplo 4: Note que a ordem não importa, então são equivalentes:
• 4 + 12 é equivalente a 12 – 4 = 8 = 8

Exemplo 5: Calcular 12 – 19 Depois do exemplo anterior, já vimos que a subtração e a soma de um positivo com um negativo significam exatamente a mesma coisa. Por isso, vamos novamente subtrair 19 – 12 e manter o sinal negativo. Assim, 12 – 19 =

• 7 Novamente, o significado é: eu tinha 12 reais no banco, e gastei 19. O banco deixa que eu gaste 19 reais, e com isso, eu gastei tudo o que tinha e fiquei devendo 7 reais. Como estou devendo, é por isso que o resultado é – 7. 1.2. A Soma de Dois Negativos A soma de dois negativos é equivalente à soma de duas dívidas. Se você já devia R$ 20 para sua amiga Rosselini, e agora ela te empresta mais R$ 7, então você tem que somar as duas dívidas, e vai ficar devendo 27 reais. Por isso é que na soma de dois negativos, apenas somamos os números e conservamos o sinal negativo. Veja: Exemplo 01: calcular – 2 – 7 Somamos o 2 com o 7 e mantemos o sinal negativo:
• 2 – 7 =
• 9 Significado: eu já devia 2 reais e gastei outros 7 reais. Com isso, agora eu devo 9 reais. Exemplo 02: calcular – 10x – x A mesma coisa, porém com letras. Não faz diferença. Lembre que escrever – x é a mesma coisa que escrever – 1x Por isso,
• 10x – x =
• 10x – 1x =
• 11x Exemplo 03: calcular – x – x – 4x Não faz diferença quantos negativos estejam sendo somados entre si, somaremos todos e manteremos o negativo. Assim,
• x – x – 4x =
• 1x – 1x – 4x =
• 6x

Vamos a mais um exemplo destes em que somamos os negativos e os positivos primeiro entre si...

• 2 – 10 + 5 + 4 + 3 – 2 A soma dos negativos é – 14 e a soma dos positivos é 12, então,
• 2 – 10 + 5 + 4 + 3 – 2 =
• 14 + 12 =
• 2 Exemplo 04: resolver

Símbolos, como raízes, se comportam como se fossem letras. Desta forma, 2 se comporta como se fosse um “x”.

Lembre–se também que “ 2 ” é igual a “ 1 2 ”.

Portanto,

Somando os positivos primeiro e mantendo o negativo “esperando”:

Pensando nos Números Inteiros

Números inteiros são aqueles que expressam uma quantidade inteira (não quebrada, sem frações), seja positiva ou negativa. São os números inteiros: ... – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... Mas por que os negativos existem? O melhor jeito é entendê–lo como um saldo bancário. Se o número é positivo, por exemplo, + 200, isso quer dizer que você tem R$ 200,00 para gastar. Se o saldo for zero, você não tem nada, nem deve nada ao banco. Mas quando alguém vê um saldo igual a – 200, isso quer dizer que ele deve duzentos reais ao banco.

Exercícios de Tarefa

Para realmente aprender matemática, os exercícios deste livro devem ser feitos sem calculadora!

1. Resolva os seguintes cálculos ou expressões: a) 7 – 4 b) 4 – 7 c) 8 – 2 d) 2 – 8 e) – 2 – 8 f) – 3 – 7

2. As expressões (– 2 + 6) e (6 – 2) possuem o mesmo resultado? 3. O resultado de (– 4 – 4) é positivo, negativo ou zero? 4. Simplifique as expressões ao máximo. a) 2x + 3x – 4 x b) x + x + x – 5x c) – 2x – 2x – 3x d) – 2x + 4x – 6x + 8x e) – 10x + x + x + x f) – x – x – x – x + 5x 5. Simplifique as expressões ao máximo: a) 2x + 2 + 3x – 3 b) 4 – 4x + 5 – 5x c) x – 2x + 3 – 2x – 6 d) 2b + 3c – b – c 6. As expressões (– 3 + 7) e (7 – 3) possuem o mesmo resultado? 7. A expressão (– a – a) tem resultado zero? Explique. 8. As expressões (3 – x) e (–x + 3) são iguais? 9. Calcule as expressões (3 – x) e (–x + 3) para x = 2. 10. Calcule as expressões (3 – x) e (–x + 3) para x = – 3 11. As expressões (a – b) e (–b + a) são iguais? 12. Calcule 0,30 – 0,48. 13. Calcule 0,2 – 1. 14. Simplifique as expressões:

a) 2 2 + 2

b) 2 2 + 3 2 − 2

c) 7 2 − 2 2 − 2 2

d)−^3 2 −^2 2 −^2

e) 2 − 2 2 + 3 − 3 2

1.4. Multiplicação e Divisão de Inteiros (“Jogo de Sinais”) Aqui sim, ocorre o famoso “jogo de sinais”. Você deve se lembrar que:

• Multiplicação de POSITIVO por POSITIVO resultado POSITIVO
• Multiplicação de POSITIVO por NEGATIVO resultado NEGATIVO
• Multiplicação de NEGATIVO por POSITIVO resultado NEGATIVO
• Multiplicação de NEGATIVO por NEGATIVO resultado POSITIVO Simplesmente memorizar isso já resolve. Mas se quisermos ir um pouco além e também entender, temos que continuar recorrendo à mesma interpretação, de que “positivo” é algo que se tem; e “negativo” é algo que se deve. Neste caso, a multiplicação por um negativo altera entre “posse” e “dívida”. Por exemplo, qual é o contrário de possuir R$ 20? É dever R$ 20. Ou seja, 20 x (–1) = – 20. Ou ainda: imagine que Mariazinha diga que tem R$ 5,00. Então João diz: “você é uma sortuda! Eu estou devendo, e estou devendo o triplo disso!” Neste caso, devemos considerar os R$ 5,00 de Mariazinha e multiplicar por (–3). O sinal de “menos” faz inverter a situação, ou seja, muda de posse para dívida. Por isso, 5 x (–3) = – 15

( ) ( )

Observe que quando multiplicamos um número negativo por outros, tivemos o cuidado de mantê–lo entre parêntesis. É bom que você mantenha o mesmo costume. Escrever coisas como

Ou seja, sem os parêntesis – é confuso, feio, e além de tudo, errado, por mais que dê o resultado certo! Você deve escrever: 6  −( 10 ) = 60 Exemplo 2: −  −^4 ( 2 ) (^  − 1 ) Novamente, vamos escolher dois termos para multiplicar. Note que a multiplicação de dois negativos resultará um positivo. Assim, ( ) ( ) ( )

Outra opção bastante adequada seria resolver todos os sinais primeiro, pensando assim: “os dois primeiros termos são negativos; isso resultará positivo. Multiplicando este positivo pelo último, que é negativo, teremos um negativo no final. Então vamos colocar este negativo no resultado e ficar com todos os termos positivos, assim:” (^4) ( 2 ) ( 1 )

Exemplo 3: Veja a multiplicação2 7 5 5 2   

Aqui vamos aprender a aproveitar a ideia de que multiplicação não tem ordem. Em vez de multiplicar na ordem em que os termos aparecem, vamos lembrar que 2 x 5 = 10, e portanto vamos multiplicar “2” e “5” primeiro:

Se as operações acima ficaram parecendo uma “salada” de números, leia de novo até acompanhar. É usando este tipo de raciocínio que você vai conseguir fazer questões rapidamente e sem calculadora. Veja outro exemplo, e tente fazer sozinho:

Multiplicando o primeiro par “2” e “5”, você pode colocar o resultado onde quiser na multiplicação, então,

Exemplo 4: Também podemos multiplicar usando letras. Veja:

− 4 2 x  3 y

Ao analisar o exemplo acima, veja que:

• O termo “2x” é, por si só, uma multiplicação. Ele significa 2  x.
• Da mesma forma, “ 3 y ” significa 3  y

Então, a multiplicação é:− 4 2  x  3  y

Agora podemos multiplicar apenas os números, 2, 3 e 4, obtendo:

x y

xy

1.6. Usando a Distributiva O que chamamos de “distributiva” na verdade tem o nome completo de “Propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma/subtração”. Teremos distributiva quando houver um número multiplicando uma soma ou subtração. Aplicamos a distributiva, por exemplo, em: 2  (^) ( a + b ) Neste caso, fica: 2 a + 2 b Mas, se tivermos, 2 3  −( 4 x ) Não é caso para distributiva, porque existem apenas multiplicações. Outros exemplos para se usar a propriedade distributiva são: ( ) 10  2 − x − x^2 −^2  − +( 1 2 x ) E também, ( 2 +^ x^ )( 3 +^3 x ) ( 2 + (^2) )( 3 + (^5) ) Em todos os casos acima temos a multiplicação de um número pelo resultado de um parêntesis, e dentro do parêntesis ocorrem somas e subtrações. Vamos, novamente, recordar como aplicar a distributiva por meio de exemplos.

Assim, ( a b )( c d )

ac ad bc bd

Caso haja sinais negativos, lembre–se:

• O sinal pertence ao número logo à frente dele.
• A multiplicação respeita o “jogo de sinais”. Por exemplo, ( a + b )( c − d ) Neste caso o “d” tem o sinal de negativo, e as multiplicações ficam: ( a b )( c d )

ac ad bc bd

Se fosse: ( a − b )( c + d ) Agora seria o “b” negativo a multiplicar o outro lado, obtendo: ( a b )( c d )

ac ad bc bd

Tente agora você antes de conferir a resposta: E se fosse (^) ( a − b )( (^) c − d )? Neste caso: (^ a^ b^ )( c^ d )

ac ad bc bd

Mais detalhadamente, isso ocorre porque a última multiplicação é ( −^ b^^ ) ( − d ), ou seja, bd.

Apenas mais alguns exemplos, agora com números e letras. Exemplo 03: ( )( ) 2

x x

x x x

Agrupando os termos semelhantes,

6 + 9 x + 3 x^2.

Exemplo 04: ( )( ) 2

x x

x x x

Agrupando os termos semelhantes,

6 − 3 x − 3 x^2.

Exemplo 05: ( )( ) 2

x x

x x x

Agrupando os termos semelhantes,

6 − 9 x + 3 x^2.

Exemplo 06: Um exemplo usando raízes quadradas.

Antes de usar, vamos lembrar que 2 ^2 =^2.

Também valeria para outros números, como 3  3 = 3 e assim por diante.

Vamos multplicar: ( 2 1 )(^2 2 )

Vamos lembrar que 2  2 = 2 e também somar os termos semelhantes: 2 2 + 2 dá 3 2

Exemplo 07: Outro. ( 2 7 )( 2 3 )

Vamos lembrar que 2  2 = 2

Agora, vamos somar os termos semelhantes: − 3 2 + 7 2 dá 4 2 e também somar o +2 com o – 21, que podem somar

apesar de estarem “longe”. Com isso,

2. Frações e Decimais

2.1. O Significado de Fração: Uma fração

a

b

tem que ser entendida como: “b” – indica em quantas partes iguais vamos dividir uma unidade. “a” – indica quantas dessas partes estão sendo usadas. Para entender isso, vamos considerar que uma unidade seja este retângulo aqui, representando uma barra de chocolate: Esta é a unidade. Agora, podemos dividi–la em quantas partes quisermos, dependendo de qual for a fração. Por exemplo, a fração de

• O chocolate (unidade) está dividido em 5 partes iguais.
• Então, a fração de 1 5 significa um dos tecos.
• E a fração de 2 5 significa dois tecos. O que aconteceria com a fração de 2 7

Neste caso, o chocolate (unidade) é o mesmo, mas será dividido em 7 partes iguais. E novamente, a fração de

indica que não se trata do chocolate inteiro, mas apenas da parte pintada. Comparando as duas frações, observe como:

• Aumentar o denominador fez cada “teco” ficar menor, porque a unidade está dividida em mais partes.

• A partir daí, você já deve criar um princípio geral para frações que tiverem o mesmo numerador: quanto maior for o denominador, menor é a fração em si. Isso ocorre porque a unidade está sendo dividida em mais pedaços. Por isso, sem desenhar, é fácil concluir que 1 11 tem que ser menor que

, por exemplo. Usando o mesmo chocolate para casos não óbvios: É possível falar em frações como 6 5 ou

Basta ter acesso a mais de um chocolate! Quando definimos “um chocolate” como a unidade, isso não significa que ela é o máximo que se pode contar. Podem existir dois chocolates, três chocolates etc. Analisando a fração de 6 5

Considere um chocolate dividido em 5 partes. Ele será nossa unidade.

Um teco significa:

E portanto,

Em termos de números puros, a unidade vale 1, e pronto. Mas quando estamos trabalhando em um contexto, a unidade pode variar, porque ela pode ter unidade ou existência física. O que chamamos de unidade pode ser: 1 chocolate, 1 copo de leite, 1 pote de moedas Entre outras coisas.