COLEÇÃO MATEMÁTICA BÁSICA
LIVRO 2
Aritmética e Álgebra – Parte 2
• Sistemas de Equações
• Potências
• Raízes
• Produtos Notáveis
• Equação de Segundo Grau
Lafayette Spósito Goyano Jota
Editoração: Bruno Fraga Ferreira
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matematica-basica-enem-2025-02
Tipologia: Exercícios
2025
Compartilhado em 25/09/2025
usuário desconhecido 🇧🇷
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COLEÇÃO MATEMÁTICA BÁSICA
LIVRO 2
Aritmética e Álgebra – Parte 2
• Sistemas de Equações
• Potências
• Raízes
• Produtos Notáveis
• Equação de Segundo Grau
Lafayette Spósito Goyano Jota
Editoração: Bruno Fraga Ferreira
Dedicatória
Em primeiro lugar, dedico este livro a Deus Todo-Poderoso, nosso Criador e mantenedor. Agradeço
por ter tido disposição e saúde para concluir mais esta etapa do trabalho. É para Ele que peço que
este livro seja útil no ensino de muitos estudantes.
A meu pai e à minha mãe – Paulo e Marinêz – meus primeiros e mais importantes professores.
A minha esposa, Rosselini, por ser A Rosselini.
Dedico este livro a todos os meus professores de matemática.
Dedico este livro a todos os meus patrões, presentes e passados, por abrirem colégios e assim
mudarem para melhor a vida de milhares de pessoas entre funcionários, professores e alunos.
Dedico este livro a você, que irá estudar por ele: que você tenha sucesso em sua jornada de se tornar
mais forte em matemática.
Sumário
- Dedicatória
- Sobre os Autores...................................................................................................................................................................
- Obras em Destaque
- Montando e Resolvendo Sistemas de Equações
- 5.1. Sistema de Duas Equações: Técnica de Isolar uma Incógnita
- Exercícios de Tarefa
- 5.2. Sistema de Duas Equações: Técnica da Adição
- Exercícios de Tarefa
- 5.3. Sistema de Três Equações
- 5.4. Sistemas Multiplicativos
- Exercícios de Tarefa
- 5.5. Montagem de Equações Envolvendo Dinheiro e Quantidades:
- significam. 1) Você tem que dar nome às suas incógnitas. Faça isso no começo da questão, escrevendo por extenso o que elas
- Problemas que envolvem dinheiro
- Problemas envolvendo diferenças
- Tire a prova real no enunciado do problema
- Exercícios de Tarefa
- Exercícios de Vestibular
- Tópicos Extras do Capítulo
- 5.6. Tópico Extra I (Aprofundamento): Problemas em que preço e quantidade são incógnitas ao mesmo tempo
- Técnica para este tipo de exercício:............................................................................................................................
- Exercícios Extras do Tópico 5.6
- 5.7. Tópico Extra II (aprofundamento): algumas aplicações que usam sistemas
- Função de Primeiro Grau a Partir do Gráfico
- Exercícios de Física com Gráfico
- Exercícios Extras do Tópico 5.7
- Potenciação e Propriedades de Potências
- 6.1. O Significado de Potências
- 6.2. Algumas Potências Elementares
- Potência de Expoente
- Potência de Base
- Potência de Base
- Potência de Expoente
- Potências de Base Negativa
- Exercícios de Tarefa
- 6.3. Propriedades de Potências
- P1) Multiplicação de Potências de Mesma Base:
- P2) Divisão de Potências de Mesma Base
- P3) Potência de Potência
- P4) Multiplicação de Potências de Mesmo Expoente
- P5) Divisão de Potências de Mesmo Expoente
- P6) Potência de Expoente Negativo
- Resumo das Propriedades de Potências:
- Exercícios Resolvidos
- Exercícios de Tarefa
- Algumas Explicações Adicionais:
- Exercícios de Vestibular e Extras
- Radiciação
- 7.1. O Básico Sobre Raízes
- Símbolo de Raiz Quadrada e seu significado:
- Obtendo Raízes por Tentativa
- Raízes Aproximadas:
- Elementos de uma Raiz (Nomenclatura):
- Exercícios de Tarefa
- Raízes de Outros Índices:
- Exercícios de Tarefa
- 7.2. Operações Básicas Com Raízes
- Soma e Subtração de Raízes:
- Multiplicação de Raízes Iguais
- Multiplicação de Raízes Diferentes
- Tópico Extra: Raízes de outros índices (ou: e quando as raízes não são quadradas?)
- Exercícios de Tarefa
- Racionalização de Denominadores
- Técnicas de Como Racionalizar Denominadores
- Exercícios de Tarefa
- 7.3. Potência de Expoente Fracionário (Transformação de Potência em Raiz)
- Exercícios de Tarefa
- 7.4. Propriedades da Radiciação
- P1) Propriedade Elementar
- P2) Raízes Equivalentes
- Comparando raízes de índices distintos:
- Fazendo um Número “Entrar” na Raiz
- P3) Multiplicação de raízes de um mesmo índice:
- Consequência Importante: a simplificação de radicais...............................................................................................
- Exercícios de Tarefa
- P4) Divisão de Raízes de Mesmo Índice
- P5) Potência de uma Raiz............................................................................................................................................
- P6) Raiz de Raiz
- Exercícios de Tarefa
- Exercícios de Vestibular
- Produtos Notáveis e Fatoração
- Produtos Notáveis
- 8.1. Quadrado da soma de dois termos:.......................................................................................................................
- 8.2. Quadrado da diferença de dois termos:
- 8.3. Produto da soma pela diferença de dois termos:
- Correção das três demonstrações:
- 8.4. Fatoração Usando os Produtos Notáveis
- Tabela de Fatorações:
- 8.5. Alguns Modelos de Exercícios
- Exercícios de Tarefa
- 8.6. Fatoração por Fator Comum
- Prova Real da Fatoração:
- Exercícios de Tarefa
- Exercícios de Vestibular
- Equações de Segundo Grau
- 9.1. O conceito de raiz
- Exercícios de Tarefa
- 9.2. A Fórmula de Bhaskara
- Obtendo os valores de a, b e c:.................................................................................................................................
- A fórmula de Bhaskara
- Prova Real de uma Raiz (Conferindo suas Respostas)
- Manipulando a Equação antes de Aplicar a Fórmula
- Exercícios de Tarefa
- 9.3. Quantidade de Raízes
- 1º Caso: Delta Positivo. Duas raízes diferentes entre si.
- 2º Caso: Delta igual a zero. Um único valor de raiz real.
- 3º Caso: Delta negativo. Não existe raiz real.
- Exercícios de Tarefa
- 9.4. Resolvendo Equações Incompletas
- Equações sem o termo independente:
- Equações sem o termo em x:
- Exercícios de Tarefa
- 9.5. Soma e Produto das Raízes
- Fórmulas de Soma e Produto:
- Exercícios Típicos de Soma e Produto (Exercícios Resolvidos)
- Exercícios de Tarefa
- Exercícios de Vestibular
- Gabarito do Capítulo
- Gabarito do Capítulo
- Gabarito do Capítulo
- Gabarito do Capítulo
- Gabarito do Capítulo
- Montando e Resolvendo Sistemas de Equações
Ao resolver um sistema de equações, buscamos conhecer o valor de DUAS OU MAIS incógnitas.
Neste capítulo, vamos dividir nosso aprendizado em como resolver sistemas de duas incógnitas; depois sistemas de três incógnitas e por fim, vamos focar na resolução de problemas em que primeiro é necessário montar o sistema para depois resolvê–lo.
5.1. Sistema de Duas Equações: Técnica de Isolar uma Incógnita
Esta vai ser a sua principal técnica. Ela se resume assim:
Isolar em uma equação e substituir na outra
Vamos a um exemplo:
3 7 2 5 3
x y x y
^ +^ =
1º passo: analisar, buscando a letra mais fácil de isolar A letra mais fácil de isolar é o “x” da primeira equação, porque ele não tem coeficiente. (Não tem número multiplicando).
2º passo: isolando
3 7 7 3 2 5 3
x y x y x y
^ +^ =^ ^ =^ −
3º passo: substituindo na OUTRA equação. 2 x − 5 y = 3
Agora vamos substituir x por 7 − 3 y , entre parêntesis porque está multiplicando pelo 2.
2 7( − 3 y (^) )− 5 y = 3 14 − 6 y − 5 y = 3 − 11 y = − 11 11 y = 11 y = 1
4º passo: subsituir o valor encontrado em qualquer uma das equações, para obter a outra incógnita. Agora que temos y = 1, podemos substituir isso em qualquer equação para obter x. Vamos usar a primeira: 3 7 3 1 7 4
x y x x
- =
- = =
5º passo: tirar a prova real 2 8 2 5 2 8 10 2 8 ok! 2 3 16 2 5 3 2 16 10 6 16 ok!
x y x y
Então a solução é x = 5 e y = 2.
Agora é sua vez. Tente resolver estes dois sistemas abaixo.
1º Sistema: 4 2 2 3 15
x y x y
^ −^ =
Use o espaço abaixo:
Resolução: 4 2 2 3 15
x y x y
^ −^ =
A letra mais fácil de isolar é o “x” da primeira equação. Isolando, obtemos x = 2 + 4y. Como isolamos na primeira, vamos substituir na segunda. 2 x + 3 y = 15 2 2( 4 ) 3 15 4 8 3 15 11 11 1
y y y y y y
Agora substituindo este y encontrado:
2 3 15 2 3 15 2 12 6
x y x x x
- =
- = = =
Fazendo a prova real, obtemos: 4 2 6 4 1 2 6 4 2 ok! 2 3 15 2 6 3 1 15 12 3 15 ok!
x y x y
−^ =^ −^ ^ =^ −^ =
^
+^ =^ ^ +^ ^ =^ +^ =
2º Sistema: 8 3 0 4 10
x y x y
^ −^ +^ =
Use o espaço abaixo:
Solução: A letra mais fácil de isolar é o “y” da segunda. 8 3 0 4 10 10 4
x y x y y x
Substituindo na primeira: − 8 x + 3 y = 0 − 8 x + 3 (^) ( 10 − 4 x ) − 8 x + 30 − 12 x = 0 20 30 3 2
x x
Não se assuste, é só uma fração! Substituindo para obter y:
Ainda será necessário trabalhar mais com frações para obter o valor de x. 3 x − 2 y = 4
3 2 2 4 3 x − =
3 4 4 3
x − =
x = x =
Assim,^16 ,^2 9 3
S = ^ ^
Se os cálculos tiverem sido um problema gigantesco para você – sinais, mudanças de lado, frações, isolar e substituir – é para isto que eu escrevi o livro zero. Provavelmente você ainda não o fez!
Uma nota psicológica Depois de dar o curso de matemática básica várias e várias vezes, eu tenho certeza de que em qualquer sala de terceiro ou curso é muito, muito normal não saber resolver um sistema. Se é o seu caso, você está bem acompanhado.
O que mais prejudica muitos alunos é a ilusão de que sistema deve ser resolvido em duas linhas e 15 segundos. Por quê eles acreditam nisso? Porque o professor faz assim.
Vamos abandonar essa ilusão imediatamente. O professor faz assim porque ele só trabalha com isso há 20 anos, e provavelmente já resolveu o sistema na sala ao lado e lembra da resposta. Além disso, ele precisa economizar tempo, então deixa o sistema para você resolver em casa.
Gastar alguns minutos é perfeitamente razoável. No começo, serão vários. Além disso, você vai gastar entre 5 e 10 linhas, e isso é o tamanho razoável para se acertar um sistema!
Exercícios de Tarefa
1. Resolva os sistemas: (Neste exercício 1, como um brinde, as respostas serão sempre inteiras).
a)
x y x y
b)
x y x y
^ +^ =
c)
a b a b
^ −^ =
d)
x y x y
^ +^ =
e)
x y x y
^ +^ =
2. Resolva os sistemas:
a)
x y x y
^ +^ =
b)
x y x y
^ +^ =
c)
a b a b
^ −^ =
d)
x y x y
^ +^ =
e)
x y x y
^ +^ =
3. Eu e minha esposa temos juntos o dinheiro suficiente para comprar uma geladeira nova, que custa R$ 3.000,00. Se eu tivesse o dobro do que tenho e ela tivesse R$ 700, a menos do que ela tem, poderíamos comprar uma um pouco mais cara, que custa R$ 3.600,00. Quanto dinheiro ela tem hoje? 4. Num quintal há 90 animais entre galinhas e coelhos. Sabendo que o total de pés é 300, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal? 5. As notas de certo tipo de questão no PAS–UnB são calculadas da seguinte maneira: uma questão certa vale +1,00 ponto e uma questão errada vale – 1,00 ponto. A Srta. Stefenoni resolveu 87 questões deste tipo e obteve uma nota igual a 79 pontos. Quantas questões ela acertou? 6. Um estacionamento tem carros e motos estacionados. Ao todo, é possível ver 140 pneus, e o número de motos é 1/3 do número de carros. Calcule quantos são os pneus de moto. 7. (Unicamp/2013) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a 2/9. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem a) 12 anos. b) 13 anos. c) 10 anos. d) 15 anos. 8. Tente resolver o sistema abaixo: 2 11 12
x y xy
^ +^ =
5.2. Sistema de Duas Equações: Técnica da Adição
O objetivo desta técnica é sempre obter coeficientes opostos em uma mesma letra.
Veja o exemplo: 3 7 2 5 3
x y x y
1º passo: analisar e decidir qual letra será usada Note que os termos em x são 1x e 2x. Precisamos que eles sejam opostos, por exemplo, “2x” e “– 2x”. Então, depois dessa análise, decidimos que vamos multiplicar a primeira equação por (–2)
2º passo: multiplicar uma das equações adequadamente. 3 7 ( 2) 2 6 14 2 5 3 2 5 3
x y x y x y x y
+^ =^ ^ −^ −^ −^ = −
−^ =^ −^ =
3º passo: somar as duas equações. O mais importante é você entender o porquê de tudo estar acontecendo. Veja como o sistema está agora.
x y x y y y
Depois de obter o valor de y, basta substituir em qualquer equação para obter x. 2 x − y = 8 2 2 8 5
x x
Finalmente, não se esqueça da prova real. Ela tem que ser feita no primeiro sistema. 2 8 2 5 2 8 10 2 8 ok! 2 3 16 2 5 3 2 16 10 6 16 ok!
x y x y
−^ =^ ^ −^ =^ −^ =
^
+^ =^ ^ +^ ^ =^ +^ =
Comentário Para dominar bem o método da adição, se você gostar dele, precisa entendê–lo bem – ou seja, entender que você precisa “forçar” coeficientes opostos. Também tem que tomar muito cuidado na hora de multiplicar, porque precisa multiplicar os dois lados da equação (é muito comum multiplicar apenas um lado e esquecer o outro).
O PIOR CASO PARA ADIÇÃO:
O pior caso de adição ocorre quando nenhum coeficiente vale 1. Neste caso, a multiplicação fica mais difícil. Veja um exemplo:
3 5 7 4 2 5
x y x y
^ +^ =
Você poderia resolvê–lo usando a técnica da substituição. Mas estamos interessados em fazer a técnica da ADIÇÃO, e por isso, precisamos de coeficientes opostos.
Logo vem a pergunta, “como fazer para obter coeficientes opostos tendo 3x e 4x”? Neste caso, trazemos a solução decorada. Veja que os coeficientes de x são 3 e 4, certo? Vamos multiplicar “trocado”, ou seja, a de cima por 4 e a de baixo por 3.
( ) ( )
x y (^) x y x y x^ y
−^ =^ ^ −^ =
Agora, basta multiplicar uma delas por (–1), porque, como sabemos, queremos coeficientes opostos. Assim, 12 20 28 12 6 15
x y x y
^ +^ =
Somando:
y = y =
E basta substituir este valor de y em qualquer equação para obter^3 2 x = (fica como exercício).
Exercícios de Tarefa
9. Resolva os sistemas usando a técnica da adição.
a)
a b a b
^ +^ =
b)
x y x y
^ −^ =
c)
x y x y
^ +^ =
d)
x y x y
^ −^ =
10. Juquinha teve aula de sistemas, viu seu professor fazendo pela técnica da adição e ficou muito animado. Ele foi tentar resolver um sistema por essa tecnica:
a b a b
E ele fez exatamente o seguinte: 4 10 3 4 2 6
a b a b a b
^ +^ =
−^ = −
E ficou decepcionado, porque os exemplos do professor sempre cancelavam, e o dele não cancelou!
a) Responda, detalhadamente, o que Juquinha fez de errado. b) O que ele deveria ter feito antes de somar se quisesse cancelar a incógnita “a”?
5.3. Sistema de Três Equações
Caso o sistema tenha três equações, você só precisa aprender um único método. Faremos assim:
Isolar uma incógnita em uma equação, e substituir nas outras duas.
Veja o exemplo: 6 2 3 5 11 4 3
x y z x y z x y z
^ +^ +^ =
Primeiro, vamos isolar uma incógnita que esteja fácil. Poderia ser x, y, z na primeira equação; vamos isolar z na primeira. Assim, z = 6 − x − y.
Agora temos que substituir nas outras duas. Tem a obrigação de ser nas outras duas, senão a mágica não acontece. Substituindo na segunda: Substituindo na terceira:
5.4. Sistemas Multiplicativos
Observe este sistema:
A primeira característica notável é a multiplicação existente entre as incógnitas. Por causa desta multiplicação, não será possível usar a técnica da adição.
Sistemas multiplicativos deverão ser resolvidos por substituição e chegarão a equações do segundo grau.
Veja. Isolando y na segunda equação:
E substituindo na primeira:
Como comentado: chegamos a uma equação de segundo grau. Multiplicando ambos os lados por (–1):
E assim obtemos:
ou
Para cada um destes valores de x devemos obter um valor correspondente de y. Isso pode ser feito substituindo em qualquer equação do sistema.
Para , segue que:
Para , segue que:
xy
x y
^ =
xy
x y y x
^ =
2 xy = 15 2 x (^) ( 8 − 2 x )= 15
16 x − 4 x^2 = 15 − 4 x^2 + 16 x − 15 = 0
4 x^2 − 16 x + 15 = 0 ( ) 16 2 4 4 15 256 240 16
= − − = − = ( 16 )^16 16
x
x = =^12 8 2 x = =
x = 2 xy = 15
2 5 15 6 4
y = y =
x = 2 xy = 15
As soluções são dadas na forma de par ordenado (x, y), ou seja, com o x primeiro. Assim:
Exercícios de Tarefa
11. Resolva os sistemas de três equações abaixo:
a)
2 4 2 0 9 3 0
x y z x y z x y z
^ +^ +^ = (^) + + = (^) + + =
b)
x y z x y z x y z
c)
x y z x y z x y z
12. Equacione e resolva os sistemas abaixo:
a)
x y xy
^ +^ =
b)
x y xy
c)
ab a b
^ =
13. (UNIOESTE PR/2019) José precisa pesar três peças de metal A, B e C. Mas, a balança que ele dispõe não é precisa para pesos menores do que 1kg. José decide então pesar as peças de duas em duas. A e B juntas pesam 1600g, B e C juntas pesam 1400g e A e C juntas pesam 1700g. Nestas condições, qual o peso da peça mais leve? a) 550g. b) 650g. c) 700g. d) 950g. e) 1400g. 14. (UNIUBE MG/2017) Três diaristas, em conversa sobre seus rendimentos salariais mensais, descobriram que o dobro do rendimento da primeira, mais o rendimento da segunda, mais o triplo do rendimento da terceira, dá para comprar uma moto usada de R$ 7.000,00. E que o rendimento da primeira mais o dobro do rendimento da terceira é igual ao rendimento da segunda. Finalmente que a metade do rendimento da primeira, mais a metade do rendimento da terceira, é o valor de um estofado de R$ 1.000, 00. Nessas condições, o rendimento de cada uma das diaristas, em reais, é de:
a) 1000, 1.250 e 1. b) 250, 3.500 e 3. c) 500, 3.000 e 1. d) 2.000, 500 e 1. e) 1.500, 2.500 e 500
15. (OBMEP/2016) Na figura vemos três cartelas com quatro adesivos e seus respectivos preços. O preço de uma cartela é a soma dos preços de seus adesivos.
Qual o preço da cartela abaixo, com seis adesivos?
y = y =
(^5) , 6 ; 3 , 4 2
S = ^ (^) ^ ^ ^