Matemática Básica Financeira, Exercícios de Matemática

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Professor: André Gustavo

Matemática Básica

Conjunto dos números naturais

Chama-se conjunto dos números naturais – símbolo N – o seguinte conjunto:

N = {0, 1, 2, 3,...}

Conjunto dos números inteiros

Chama-se conjunto dos números inteiros – símbolo Z – o seguinte conjunto:

Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}

operações Com números inteiros

1) Adição de inteiros

A soma de dois ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores abso- lutos^1 e conservando-se o sinal comum. A soma de dois ou mais números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os seus valores absolutos e repetindo-se o sinal de maior valor absoluto. Exemplos: a) (+3) + (+6) = + b) (–1) + (–4) = – c) (+2) + (–7) = – d) (+4) + (–4) = 0

2) Números inteiros opostos ou simétricos

Números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários são opostos ou simétricos. Exemplos: a) O valor absoluto de –1 é igual a 1, e o valor absoluto de +1 é igual a 1; logo, o oposto de –1 é +1. b) O valor absoluto de +3 é igual a 3, e o valor absoluto de –3 é igual a 3; logo, o oposto de +3 é –3.

3) Subtração de números inteiros

Vejamos agora como efetuar uma subtração de dois números inteiros. Para isso, vamos considerar a subtração (+3) – (–2). Note que – (–2) é o oposto de –2 e vale +2. Então, podemos perceber que (+3) – (–2) é o mesmo que (+3) + 2. Assim, podemos efetuar essa subtração da seguinte forma:

1 O valor absoluto (ou módulo) de um número pode ser entendido como a distância de um ponto de uma reta r à origem. Por exemplo: em uma reta cujo ponto O é a origem e o ponto B é igual a – 4, temos que a distância do ponto O ao ponto B é de 4 unidades. Portanto, o valor absoluto de –4 é igual a 4 (distância do ponto B à origem O ).

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Observe que o que fizemos foi somar o primeiro número ao oposto do segundo. Exemplos: a) (+5) – (–4) = (+5) + (+4) = + 9 = 9 b) (–48) – (+50) = (–48) + (–50) = – Assim, a subtração de dois números é calculada somando-se o primeiro número ao oposto do segundo.

4) Multiplicação de números inteiros

Lembre-se de que a multiplicação pode ser vista como uma adição de parcelas iguais. Exemplo:

5. 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Agora, observe as seguintes multiplicações: a) (+2). (+4) = 2. (+4) = (+4) + (+4) = +8 = 8 Portanto, (+2). (+4) = 8. Multiplicamos dois números positivos, e o resultado foi um número positivo. b) (+2). (–4) = 2. (–4) = (–4) + (–4) = – Portanto, (+2). (–4) = –8. Multiplicamos um número positivo por um número negativo, e o resultado foi um número negativo. c) O produto (–2). (+4) pode ser representado por – (+2). (+4) Como (+2). (+4) = 8, temos – [(+2). (+4)] = – Portanto, (–2). (+4) = –8. Multiplicamos um número negativo por um número positivo e o resultado foi um número negativo. d) O produto (–2). (–4) pode ser representado por – (+2). (–4). Como (+2). (–4) = –8, temos – [(+2). (–4)] = – (–8) = +8 = 8. Portanto, (–2). (–4) = 8. Multiplicamos dois números negativos, e o resultado foi um número positivo.

Em qualquer multiplicação de números inteiros, temos que: ƒ o produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo ; ƒ o produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo. Em síntese, temos: ƒ (+). (+) = + ƒ (+). (–) = – ƒ (–). (+) = – ƒ (–). (–) = +

5. Divisão de números inteiros

Lembre-se de que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Assim, 18 : 3 = 6, porque 6. 3 = 18. Exemplos: a) (+60) : (–15) = –4, porque (–4). (–15) = +60. b) (–30) : (+10) = –3, porque (–3). (+10) = –30.

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Em seguida, realizamos as operações que estão dentro dos colchetes:

Assim, obtemos a seguinte expressão:

Ao realizar a operação dentro dos colchetes, você pode eliminá-lo, se preferir. Nesta expressão que estamos resolvendo, porém, é interessante mantê-lo por causa do sinal negativo. Dessa forma, multiplique o número que está na frente dos colchetes pelo número que está dentro, aplicando a regra dos sinais:

Estamos chegando ao final da nossa expressão. É hora de realizar a operação dentro das chaves. Proceda da seguinte forma: 1) Lembre-se de que todo número inteiro é um número racional; portanto, –9 =^91. 2) Para fazer a adição entre duas frações com denominadores diferentes, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os denominadores. No caso, devemos calcular o MMC entre 2 e 1. Como o MMC (2,1) = 2, esse será o novo denominador. 3) Divida o MMC encontrado pelos denominadores das frações^3 e multiplique o resultado pelos nume- radores das frações. 4) Registre os resultados da multiplicação e faça a operação indicada na parte de cima da fração.^1

3 Representa-se uma fração pelo símbolo a b , em que a e b são números inteiros, com b ≠ 0. Chamamos a de numerador e b de denominador.

^

^

Observe que 1 3

= − , pois + (– a ) = – a.

Daí, temos que 1 3

− =^ − 55

Logo, o resultado de nossa expressão é (^) − 55 6

propriedades da potenCiação

Da definição de “potência”, temos que, dado um número natural n , com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o número an^ que é o produto de n fatores iguais a a.

a = a. a. a.... an n fatores

Lembre-se de que 3^4 = 3. 3. 3. 3 = 81. Nota: É comum entre os estudantes confundir a operação de potenciação com a de multiplicação entre dois números, por isso fique atento. Jamais faça: 3 4 = 3. 4 = 12. Isto está errado. O expoente 4 indica quantas vezes você irá multiplicar a base da potência por ela mesma, no caso, multiplique 3. 3. 3. 3 (quatro vezes).

1) Propriedade: Produto de potências de mesma base

Para calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os ex- poentes:

am^. an^ = am^ +^ n

Exemplo:

25. 2^3 = 25 + 3^ = 2^8

2) Propriedade: Quociente de potências de mesma base

Para calcularmos o produto de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os ex- poentes:

a a a a

m n (^) a m n : = = m^ − n

Exemplo:

a a a a

(^5 2) a a 5 2

: = = 5 −^2 =^3

3) Propriedade: Potência de um produto

( a. b ) n^ = an^. an

Exemplo: (2. 5)^3 = 2^3. 5^3

4. Propriedade: Potência de um quociente

a b

a b

b

n (^) n n

^

^

Exemplo:

2 5

(^3 ) 3

^

^

Lê-se: raiz cúbica de 8 é igual a 2. ƒ O índice é igual a 3. ƒ O radicando é igual a 8. ƒ A raiz é igual a 2.

b) 81 = 9 Lê-se: raiz quadrada de 81 é igual a 9. ƒ O índice é igual a 2. ƒ O radicando é igual a 81. ƒ A raiz é igual a 9.

Agora, você já está pronto para entender o próximo assunto. Dado um número racional n m

e um número real a, podemos dizer que a a

n m (^) = m n.

Exemplos:

2 2 8

3 a)^5 = 5 3 =^5

7 7 7

1 b)^3 = 3 1 =^3

3 3 2 187

7 c)^2 = 2 7 =.

9 9 81 9

2 d)^2 = 2 = =

números raCionais

Todo número que representa o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero, é chamado número racional.

a b

, (^) a e b inteiros, b ≠ 0

Como o quociente de dois números inteiros, sendo o segundo diferente de zero, pode ser representado por uma fração, sempre que pudermos representar um número por fração ele será racional. Exemplos:

–0,75 −^1

3,2 −^20

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números deCimais

Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal. Exemplos:

1 10

Observe que: ƒ 10 = 10^1 ƒ 100 = 10^2 ƒ 1 000 = 10^3 Agora, veja os seguintes exemplos: 1 2

a) = , =

1 4

b) = , =

c)

1 3

d) (^) = 0 333, ...= 3 333 10

O número decimal pode ser: ƒ um decimal exato; ƒ um número inteiro; ƒ uma dízima periódica. Exemplos:

0 5 5 10

.

a) (^) = = = etc. (decimal exato)

− 7 = 70 = −^ = −

. .

b) ,etc. (número inteiro)

c) , ... = ,^ ...^ = ,^ ... , etc.(dízima periódica)

razão e proporção

Razão

Dados dois números a e b , com b ≠ 0, chamamos de razão de a para b , ou razão entre a e b , nessa ordem, ao quociente a b

, que também pode ser indicado por a : b.

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Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos: 3 x = 2 (200 – x ) 3 x = 400 – 2 x 3 x + 2 x = 400 5 x = 400

x = 400 5 x = 80

200 – x = 200 – 80 = 120

Portanto, o valor alocado para pesquisa é 80 mil reais; para a propaganda, 120 mil reais.

porCentagem

Denomina-se razão centesimal ou percentual toda razão cujo consequente é igual a 100. Uma

razão comum, como, por exemplo, 3 4

pode ser transformada em uma razão percentual, procedendo-se

da seguinte forma: 3 4

Exemplos: a) Uma geladeira é vendida por R$ 1.200,00, se seu preço sofrer um acréscimo igual a 8% desse valor, quanto passará a custar?

Solução: 8 100

Dessa forma, o preço (em reais) após o acréscimo será de R$ 1.200,00 + R$ 96,00 = R$ 1.296,00.

b) Calcule 20% de 50%.

Solução: Nesses casos, há um método fácil e rápido: desfaça a primeira porcentagem e multiplique pela segunda (conserve a segunda), da seguinte forma: 20 100

c) Calcule 10% de 30% de 70%.

Solução: Nesses casos, desfaça a primeira e a segunda porcentagens e multiplique-as pela terceira (conser- ve a terceira), desse modo^4 :^1 10 100

4 Observe que as primeiras porcentagens você sempre transforma em frações (ou em números decimais), mas a última porcentagem sempre é mantida.

equações exponenCiais

Às vezes, encontramos equações cuja incógnita aparece no expoente de um número. A essas equa- ções damos o nome de equações exponenciais. Vamos abordar o tipo mais comum que aparece em matemática financeira e mostraremos a técnica necessária para resolvê-la.

Equações redutíveis a uma única base

Potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais:

a m^ =a n , se, e somente se,m =n (a > 0 ea ≠ 0)

Exemplos: Resolver as seguintes equações exponenciais: a) 5 x^ = 25. b) 22 x^ = 64 x^ – 2.

Soluções: a) Observe que 25 = 5^2 , daí temos 5 x^ = 5^2. Pela regra, temos que, se a m^ = an^ então m = n. Logo, x = 2. b) Como 64 = 2^6 , substituindo na equação, temos: 2 2 x^ = (2^6 ) x^ – 2 22 x^ = 2^6 x^ – 12 Pela regra, temos que potências iguais e bases iguais ⇔ expoentes iguais. Cancelamos, então, as bases da potência. Daí, 2 x = 6 x – 12 ⇒ 12 = 6 x – 2 x ⇒ 12 = 4 x ⇒ 12 4

= x^ ∴^ 3 =^ x.

Nota: Nem sempre é possível resolver equações exponenciais reduzindo a mesma base, como no caso 2 x^ = 3. Sabemos que x assume um valor entre 1 e 2, pois 2 1 < 2 x^ = 3 < 2 2. Até o momento, portanto, não sabemos qual é esse valor nem o processo para determiná-lo. A fim de que possamos resolver este e outros problemas semelhantes, vamos inserir no contexto deste complemento o estudo de logaritmos.

Calculadora científica: ações importantes

Cálculo da raiz quadrada de um número:

ƒ Digite um número qualquer, por exemplo, 1 024. ƒ Digite a tecla. ƒ O resultado obtido (32) é a raiz quadrada de 1 024.

Cálculo de potências:

ƒ Digite um número qualquer, por exemplo, 9 (base). ƒ Digite a tecla^7. ƒ Digite outro número, por exemplo, 3. ƒ Digite a tecla. ƒ O resultado obtido (729) é a potência desejada.

Cálculo de logaritmos:

ƒ Digite um número qualquer, por exemplo, 2. ƒ Digite a tecla. ƒ O resultado obtido será o logaritmo de 2 na base

probLemas resoLvidos de

matemátiCa finanCeira

Porcentagem

Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? Solução: 3% de R$ 3.600,00 = 3/100. 3 600 = 0,03. 3 600 = 108 Logo, a comissão será de R$ 108,00. Taxa unitária: É a representação da taxa percentual em número decimal. No problema anterior, por exemplo, 0,03 é a taxa unitária, 3% é a taxa percentual.

Vendas com lucros

Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00. Solução: O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e de funcionamento da empresa.^1

7 Algumas calculadoras podem apresentar o botão y x^ para o cálculo de potências.

Shutterstock/Aleksi Markku

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Seja: ƒ V = preço de venda ƒ C = preço de custo ƒ L = lucro ƒ i = taxa Vamos obter o preço de venda, usando a fórmula V =C (1 +i ). V = 500 (1 + 0,08) V = 1,08. 500 V = 540 Logo, o preço de venda é de R$ 540,00. Observação: Se no problema acima, as mercadorias fossem vendidas com prejuízo , usaríamos a fórmula V = C (1 – i ).

Exemplo: Calcular o valor dos juros totais correspondentes à aplicação do principal de R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, no prazo de três meses. Solução: Dados: J =? P = R$ 10. i = 1,5% n = 3 meses Não esqueça: O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessá- rio colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros. Portanto, 1,5% = 0,015. J = P. i. n ⇒ J = 10 000. 0,015. 3 ∴ J = R$ 450, Logo, o juro para esta aplicação é de R$ 450,00.

Taxas proporcionais (juros simples)

No regime de juros simples de cada período, os cálculos são feitos sempre sobre o mesmo principal. Fique atento, pois não existe capitalização de juros nesse regime. Os juros de cada período não são incorporados ao principal para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. A aplicação de juros simples no mercado financeiro só tem algum sentido para aplicações de curtíssimo prazo. Para calcular os juros, usamos a seguinte fórmula: J = P. i. n ; em que P é o capital principal, i é a taxa e n é o período (tempo).

Juros simples

Algumas vezes, o período de investimento é somente uma fração do período expresso na alta de juros. Nestes casos em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. Este ajuste é chamado de taxas proporcionais.

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4 , 3 −



=  118 , 1 333 ,^ ...^ − 1  = [1 247 ,^ −^1 ] =^ 0 247, ∴^ I^ taxa equivalente = 24,7% (aproximadamente)

Observação: O resultado deve ser dado em taxa percentual, para isso, multiplique-o por 100.

b) Calcule a taxa para 63 dias equivalente à taxa anual de 280%. Solução: 280% ao ano 63 dias. Daí, temos que: ƒ 1 ano = 360 dias = dias dados; ƒ 63 dias = dias desejados. Substituindo na fórmula, temos:

I = 360 1 280 1

63 ( + ) − ^

% =^30 1 2 8 1

63 ( + ) − ^

1 360

63 ,

63 , 360 −



= 3 8 , 0 175,^ − 1  =

= [1 263 , − 1 ] = [ 0 263 , ] =26 3, %

O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. Exemplo: Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada, antes de seu vencimento, por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Solução: O valor atual de um título é aquele efetivamente pago por este título na data do seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. ƒ A = valor atual ƒ N = valor do título ƒ i = taxa ƒ n = período Temos que: A = N (1 – i. n ) 6 072 = 6 900 (1 – 0,04 n ) 0,88 = 1 – 0,04 n

• 0,12 = – 0,04 n 3 = n Portanto, n = 3.

Sabemos que: ƒ o trimestre = 90 dias = dias dados; ƒ o quadrimestre = 120 dias = dias desejados. Substituindo na fórmula, temos:

I (^) taxa equivalente =^90 1 18

120 ( + ) − ^

% =^90 1 0 18 1

120 ( + ) − ^

1 90

120 ,

 =^118

120 , 90 −



Valor atual comercial ou valor descontado comercial (juros simples)

A

N

i n

% a.m. , a.m. ?

400 0 25 = ⇒ J = ⇒ J =

.. ,^.. 10 50. 10 500

Exemplo: Quero substituir um título de R$ 5.000,00 vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 me- ses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Solução: Nos problemas de equivalência de capitais, geralmente, deseja-se substituir um título (ou mais) por outro(s) com vencimento(s) diferente(s), ou saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Por isso, consideremos: ƒ N’ = capital equivalente ƒ N = valor nominal ƒ n = período inicial ƒ n’ = período subsequente (posterior) ƒ i = taxa de juros A fórmula que vamos usar para resolver problemas de equivalência de capitais é N^

N in in

’ (^ )

ƒ N’ =?

ƒ N = 5 000

ƒ n = 3 meses ƒ n’ = 5 meses ƒ i = 3,5% a.m. → 0,035% a.m.

Portanto, o valor nominal comercial do novo título é de R$ 5.424,24.

O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do cálculo eco- nômico. Nesse regime, os juros de cada período são incorporados ao principal, para que a soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o processo de incorporação de juros ao capital. Para obter o montante de uma determinada aplicação nesse regime, vamos utilizar a fórmula M = C (1 + i ) n , que nos dá o valor que se deseja obter no final do período. O fator (1 + i ) n^ é chamado de fator de capitalização ou valor futuro. Para calcular o valor presente, usaremos a fórmula C = M (1 + i )– n , que nos permite realizar o cálculo do valor presente de um montante ou de pagamento único.

Exemplos: a) Calcule qual o capital inicial que no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.

Juros compostos

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (capitais cujos vencimentos têm datas diferentes) são equivalentes em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.

Equivalência de capitais

N ’. (^ ,^.^ )

N ’

= 4 475.^ =. ,