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Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
1
Resumo de Matemática Básica
Assunto:
REVISÃO DE MATEMÁTICA
BÁSICA
Autor:
PROF. WILSON C. CANESIN DA SILVA
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Matematica Basica - Revisao - 2, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
Revisaõ sobre matematica asica
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
Resumo de Matemática Básica
Assunto:
REVISÃO DE MATEMÁTICA
BÁSICA
Autor:
PROF. WILSON C. CANESIN DA SILVA
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS
APOSTILA DE REVISÃO
DE
MATEMÁTICA BÁSICA
Prof. Wilson C. Canesin da Silva
Ano - 2000
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
1 – Operações com frações
O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:
b
a
d
c
bd
c d
bd a b
bd ×
^ +
bd
da + bc
Ex. 1)
×
^ ×
×
× +
×
Ex. 2)
×
^ ×
×
× −
×
Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.
b
a
d
c
f
e
bdf
e f
bdf c d
bdf a b
b df ×
×^ +
×^ +
bdf
( d f ) a +( bf ) c +( bd ) e
Ex. 3)
× ×
×
× ×
× −
× ×
× +
× ×
×
× + × − ×
Resolver:
a)
b)
c)
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
d)
+ + e)
− + f)
2 – Divisão de frações
d
c
b
a
÷ É só inverter a 2ª fração e multiplicar
d
c
b
a
÷ =
c
d
b
a
× =
bc
ad
Ex. 1)
÷ =
× =
Ex. 2)
× =
Ex. 3)
×
×
× + ×
× =
Resolver:
a)
÷ b)
÷ c)
÷
d)
÷
e)
÷
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
5 – Equações do 1º grau (continuação)
Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x)
6x + 8 – 8 = 26 – 8 → 6x = 18 → x = 18/6 → x = 3
Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x)
3x – 12 + 12 = 12 – 13 → 3x = -1 → x = -1/
Resolver:
a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9
c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0
6 – Equações do 1º grau (continuação)
Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros)
5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7
3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros)
3x – 13 + 13 = 7 + 13 → 3x = 20 → x = 20/
Resolver:
a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x
c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4
e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
Ex. 1) x
2
2
x = 4 (extrai a raiz de ambos os membros)
X = ± 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)
Prova: (x)
2
2
→ x
2
As 2 raízes satisfazem
(x)
2
2
→ x
2
Resolver:
a) 3x
2
= 12 b) x
2
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)
Ex. 1) x
2
- 2x = 0 (põe x em evidência)
x – 2 = 0 → x = 2
Resulta (x – 2)x = 0
x = 0 → x = 0
Resolver:
a) 4x
2
- 8x = 0 b) x
2
+ 3x = 0
c) 3x
2
+ 7x = 0 d) x
2
- 5x = 0
9 – Equação do 2º grau completa
Forma: ax
2
+ bx + c = 0
Solução: ∆ = b
2
- 4ac , ∆ > 0 (solução real, 2 raízes diferentes)
∆ = 0 (sol. real, 2 raízes iguais)
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
11 – Operações com radicais
Ex. 1) x × x =
2
x = x
2/
= x
Ex. 2) x × y = xy
Ex. 3)
3
3 3
Ex. 4)
2
2
Ex. 5) n − 2
n
x
x
n −( n − 2 )
x =
2
x = x
Ex. 6) 16 =
4
4 / 2
Resolver:
a)
3 (^729) b)
3 (^64) c)
(^5 ) 7
d)
4 (^81) e)
2
( x + 2 ) f) 81
12 – Exponenciais
A
x
- A é a base, x é o expoente
P1) A
x
× A
y
= A
x+y
P2) A
x
/ A
y
= A
x-y
P3) (A
x
y
= A
x.y
P4) (A. B)
x
= A
x
B
x
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
P5)
x x A A
−
e
x
B
A
= x
x
B
A
= A
x
. B
-x
Ex. 1) 2
7
3+
3
4
= 8 × 16 = 128
Ex. 2) (
2
3
6
3+
3
3
= 8 × 8 = 64
Ex. 3) (2 × 3)
3
3
× 3
3
2
× 2 × 3
2
× 3 = 4 × 2 × 9 × 3 = 216
Ex. 4) 20
23
5
5
23-
3
2
× 5 = 25 × 5 = 125
Resolver:
a) 2
10
b) 2
4
c)
4
2
3
d) 16 × 2
13 - Propriedade distributiva
1) A × (B + C) = A × B + A × C
2) (A ± B)(C + D) = (A ± B)(C + D) = A(C + D) ± B(C + D)
Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x
Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2)
= 3x – 6 – x
2
+ 2x = -x
2
+ 5x – 6
Resolver:
a) (x - 7 )(x + 7 ) b) (a + b)(a + b)
c) (2 + 3 )(2 - 3 ) d) (2 + x )(3 + 2 x )
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
Resolver:
a) (x + y + 1)
2
b) (x – y +2)
2
17 – Binômio ao cubo
(a + b)
3
= (a + b)
2
× (a + b)
18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses)
Ex. 1) 2x
2
+ 4x = 2x(x + 2)
Ex. 2) x x + x
2
= x( x + x)
Ex. 3)
2 2
x x x
x x x x
[ ( ) ]
( 3 )( 2 )
xx x
x x x x
x
x x
x
x
Resolver:
a)
2
x
x x
= b)
[ ( ) ( )]
3 ( 1 )
x
x x x
c)
( )
( a b )
a b
2
= d)
( )
( 2 )
2
x
x
19 – Racionalização de expressões numéricas
Consiste em tirar uma raiz do denominador.
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
Ex. 1)
n A
n n
n n
A
A
1
1
−
−
×
n A
n n
n n
A
A
− 1
A
A
n n − 1
Ex. 2)
×
Ex. 3)
3
3 2
3 3
3 2
3 2 3
3 2
3
= × = = =
Resolver:
a)
b)
3 5
c)
4 3
d)
3 9
20 - Racionalização de Expressões Algébricas
Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do
meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados.
Ex.1)
2 −
- x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
Ex. 2) 3 ( 2 3 )
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas
Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e
eliminação.
x y
x y
a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1).
Então 3(5 - y) + 2y =12 → y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 -
b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)
Então
3x + 2y = 12
-3x - 3y = -
- y = - 3 → y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2.
Resolver:
a) 2x + y = 12 b) 3x + 2y = 4
x + 7y = 19 x - y = 2
c) 2x + 3y = 8 d) x - y = 3
3x + 4y = 11 2x + y = 9
Respostas das Questões
1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ;
e) 343/792 ; f) 147/
Resumo: Revisão de Matemática Básica – por Prof. Wilson Canesin da Silva
2) a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e) 256/
3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ; e) 49 ;
f) 54 ; g) 25 ; h) –
4) a) x= -7/3 ; b) x=1/
5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5
6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ; e) x= -5/
7) a) x= ±2 ; b) x = ± 7
8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ;
d) x=0 e x= 5
9) a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/
11) a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3
12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2
13) a) x
2
- 7 ; b) a
2
+ 2ab +b
2
; c) 1 ; d) 2x + 7 x + 6
14) a) x
2
- 6x +9 ; b) a
2
+ 4a + 4 ; c) x
2
+2xy + y
2
15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x - 7 )(x + 7 ) ; d) 1
16) a) x
2
+ y
2
+1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x
2
+ y
2
+ 4 - 2xy + 4x - 4y
18) a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2
19) a) 3 ; b) 3
3
25 /5 ; c) 2
4
27 /3 ; d)
3