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Matemática Computacional
2020 / 2021 Curso: LEM
Prof. T. Silva
Capítulo 3. Sistemas de equações
- Normas de matrizes.
- Sistemas de equações lineares: Métodos iterativos de resolução de equações lineares: Métodos iterativos de Jacobi e de Gauss- Seidel. Convergência dos métodos iterativos. Erro e resíduo de uma solução aproximada. Condicionamento de matrizes. Perturbações no sistema de equações.
- Resolução de sistemas de equações não lineares: Método de Newton. Métodos lineares Generalizados. Método do ponto fixo
2 Uma norma num espaço vectorial real V é uma função que
associa a cada elemento x ∈ V um número real, representado
por ||x|| , que verifica as seguintes condições:
Normas de matrizes
4 Seja ∙ uma qualquer norma definida em ℝ 𝑛
. Define-se norma induzida da matriz A ∈ ℝ 𝑛×𝑛 por onde:
Normas de matrizes
5 Diferentes normas em ℝ 𝑛 originam diferentes normas induzidas:
Normas de matrizes
Norma euclidiana Norma da soma Norma do máximo
7
Norma do máximo
Normas de matrizes
Se A ∈ ℝ
𝑛×𝑛
é uma matriz de elemento genérico
a
ij
. Então verifica-se
ou seja, o máximo das somas por linhas dos
valores absolutos dos elementos de A.
8
então
Exemplo: Seja
Normas de matrizes
Considere o seguinte sistema Que pode ser representado pela notação matricial: onde a matriz A é denominada de matriz dos coeficientes, a matriz b consiste de um vetor coluna dos termos independentes e a matriz x consiste de um vetor coluna das incóginitas.
A^ x^ = b
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS DIRETOS Uma forma de resolver diretamente o sistema é multiplicar ambos os lados pela inversa da matriz dos coeficientes: Também poder-se resolver esse sistema pelo método de Cramer ou pelo método de iliminação de Gauss. Para todos esses métodos diretos, o problema torna-se difícil e muitas vezes impossível, quando, por exemplo, o número de incógintas é muito elevado. Assim surge a necessidade dos métodos iterativos.
1 1 1 A A x A b x A b − − − = =
Sistemas de equações lineares
A^ x^ = b
MÉTODOS ITERATIVOS
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS ITERATIVOS: Método de Jacobi
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS ITERATIVOS: Método de Jacobi
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS ITERATIVOS: Método de Jacobi
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS ITERATIVOS: Método de Jacobi Solução
Sistemas de equações lineares
MÉTODOS ITERATIVOS: Método de Gauss Seidel
Sistemas de equações lineares
