Matemática Computacional: Métodos Numéricos para Engenharia e Ciências, Esquemas de Matemática Aplicada

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Matemática

Computacional

2020/2021 Curso: LEM

Prof. PhD. Telma Silva

Email: [email protected]

Apresentação

Matemática Computacional abrange o estudo de métodos e técnicas que permitam obter soluções aproximadas de problemas numéricos de uma forma eficiente. É por natureza uma disciplina que se situa na fronteira entre a Matemática e a Ciência de Computadores.

Motivação Métodos Numéricos

• Muitos problemas matemáticos não têm soluções

exatas. Mesmos que tenham soluções, não sabemos

como encontra-las.

• Ás vezes, sabemos como encontrar essas soluções

exatas mas os métodos de resolução são complicados,

morosos, ou então, a expressão da solução é

“assustadora” e não pode ser usada nos cálculos.

• Assim, surge a necessidade dos métodos numéricos.
• O objetivo principal de um método numérico consiste

em fornecer soluções numéricas (i.e. soluções sob a

forma de números) a problemas matemáticos.

Motivação Métodos diretos

Problema: Encontrar a raiz positiva da equação

Solução exata:

O mesmo problema pode ser resolvido numericamente,

por exemplo, por um método iterativo.

2 0 2 x − = x = 2

Conteúdos Programáticos Capítulo 1. Teoria dos erros

• Erro Numérico: Noção básica de erros. Principais fontes de erro num cálculo numérico (erros inerentes, erros do método, erro computacional )
• Representação de números reais: Notação científica. Sistema de vírgula flutuante.
• Análise de Erros: Erro relativo e erro absoluto. Erros de representação. Erros nas operações aritméticas
• Efeitos Numéricos: ✓ Cancelamento Subtrativo ✓ Propagação do erro: Mal Condicionamento. Instabilidade Numérica

Capítulo 2. Equações não lineares

• Limitação e separação das raízes. Método da bissecção. Método de falsa posição
• Métodos do ponto fixo. Análise do erro
• Convergência linear e supralinear
• O método de Newton. O método da secante
• Raízes de polinómios. Localização e determinação de todas as raízes
• Técnicas de aceleração de convergência Conteúdos Programáticos

Capítulo 4. Aproximação de funções

• Interpolação de Lagrange:

o Fórmula interpoladora de Lagrange

o Fórmula interpoladora de Newton

o Diferenças divididas

• Interpolação de Chebyshev
• Interpolação de Hermite
• Aproximação por Splines
• Aproximação de uma função no sentido dos mínimos

quadrados

• Transformação de Fourier Discreta (DFT e FFT) Conteúdos Programáticos 10

Capítulo 5. Diferenciação numérica

• Derivadas de Primeira ordem
• Derivadas de segunda ordem
• Derenciação com splines
• Influência nos erros de arredondamento
• Extrapolação de Richardson Conteúdos Programáticos

Capítulo 7. Métodos numéricos para equações diferenciais

• Métodos de passo simples:

o Métodos de Euler

o Métodos de Taylor

o Métodos de Runge-Kutta.

• Métodos de multipasso:

o Métodos de Adams-Bashforth

• Problemas com valores na fronteira: métodos de diferenças

finitas

• Análise do erro, consistência, convergência e estabilidade
• Exemplos de aplicação a problemas de Engenharia Mecânica Conteúdos Programáticos

Bibliografia principal

1. Heitor Pina, Métodos numéricos , McGraw Hill, 1995.
2. A. Quarteroni e F. Saleri, Cálculo Científico com MATLAB e OCTAVE , Springer Verlag, 2007.
3. A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri, Numerical Mathematics , TAM 37, Springer Verlag, 2000.
4. M. P. J. Carpenier, Análise Numérica, IST, U. Lisboa, 1993
5. J. Coimbra de Matos, Apontamentos de Análise Numérica , Universidade de Porto, 2005.
6. Francis Scheid, Análise Numérica , McGraw Hill , 1991.
7. M. T. T. Monteiro, Métodos Numéricos: exercícios resolvidos aplicados à Engenharia e outras Ciências, Universidade do Minho, Portugal, 2012.
8. Bian Bradie, A Friendly Introduction to Humerical Analysis , Pearson Prentice Hall, 2006.

Métodos de Avaliação

• Duas provas escritas (80%)
• Um trabalho computacional (20%), realizados em MatLab (Scilab, C ou Octave), por grupos de três alunos.
• Todas as provas escritas (e o trabalho computacional) são classificadas de 0 a 20.
• A nota final (NF) será a média ponderada das notas das provas escritas (NE) e do trabalho computacional (NT) , de acordo com a fórmula: NF = 0.20 NT + 0.80 NE
• Para obter aprovação na cadeira é necessário ter NF maior ou igual a 9.5 valores.

Datas dos testes

• Primeiro teste: 03/05/2021 às 07:
• Segundo teste: 28/06/2021 às 07:
• Entrega do trabalho computacional: 31/07/ OBS: último dia de aulas 2º semestre – 26/06/