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Representação de sólidos
Pirâmides e prismas regulares com base(s) contida(s) em planos
verticais ou de topo
Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.° diedro e com a base
[ABCD] contida num plano vertical d que faz um diedro de 45° (a.d.) com o plano frontal de projecção.
O vértice A tem 1,5 cm de afastamento e 5 cm de cota. O vértice B, consecutivo de A, tem 3 cm de
afastamento e 1 cm de cota. A altura da pirâmide mede 7 cm.
Determinam-se as projecções do quadrado [ABCD] da base da pirâmide recorrendo ao rebatimento do plano d para o plano frontal de projecção. Em seguida, determinam-se as projecções do centro da base, O, através das diago- nais do quadrado. A pirâmide é recta, portanto, o seu eixo [OV] é perpendicular ao plano da base e tem a medida da altura do sólido. Neste caso, [OV] é um segmento horizontal e projecta-se em verdadeira grandeza, em projecção horizontal – [O 1 V 1 ] é perpendicular a hd e mede 7 cm. Determinam-se as projecções do vértice V e desenham-se as projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades – em primeiro lugar, desenham-se os contornos aparentes horizontal e frontal. Em projecção frontal, a base é invisível, logo, as arestas [AB] e [AD] (que não pertencem ao con- torno aparente frontal) e a aresta lateral [AV] são invisíveis nessa projecção. Em projecção horizontal, as faces laterais [ABV] e [BCV] são invisíveis, portanto, a aresta [BV] é invisível nessa projecção (note que o vértice B é o de menor cota da base).
Desenhe as projecções de um cubo, situado no 1.° diedro, sabendo que:
- a face [ABCD] do cubo está contida num plano de topo q que faz um diedro de 60° (a.d.) com o plano
horizontal de projecção;
- o centro dessa face é o ponto O, com 3,5 cm de afastamento e 4 cm de cota;
- a diagonal [AC] é um segmento de topo e o vértice A tem afastamento nulo.
Determinam-se as projecções da face [ABCD] do cubo, recorrendo ao rebatimento do plano de topo q para o plano hori- zontal de projecção. As arestas do cubo perpendiculares ao plano q são segmentos frontais e projectam-se em verda- deira grandeza em projecção frontal. Estas arestas têm a medida do lado do quadrado [ABCD] (recorde que todas as arestas do cubo têm o mesmo comprimento). Em seguida, determinam-se as projecções da face [EFGH], paralela a [ABCD], e desenham-se as projecções do cubo atendendo às invisibilidades – em primeiro lugar, desenham-se os con- tornos aparentes horizontal e frontal. Em projecção horizontal, a face [EFGH] é visível porque é a face de maior cota do cubo. A aresta [BF] (de menor cota) e as arestas que convergem no vértice B são invisíveis nessa projecção. Em projec- ção frontal não há invisibilidades a assinalar – as arestas [AE] e [CG] projectam-se coincidentes, sendo visível [CG] por- que tem maior afastamento.
Pirâmides e prismas regulares com base(s) contida(s) em planos
oblíquos, de rampa ou passantes
Plano oblíquo
Desenhe as projecções de uma pirâmide triangular regular, situada no 1.° diedro e com a base [ABC]
contida no plano oblíquo a. Os traços horizontal e frontal do plano a fazem, respectivamente, ângulos
de 45° (a.d.) e 50° (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 4 cm de abcissa. O centro da
base é o ponto O, com 3,5 de afastamento e 3 cm de cota. O vértice A tem 6 cm de afastamento e 1 cm
de cota. A altura da pirâmide mede 7 cm.
p
B
f 0
x n 0
f a
h a
C
A
V
O
a
Determinam-se as projecções do triângulo [ABC] da base da pirâmide recorrendo ao rebatimento do plano oblíquo a para o plano horizontal de projecção. A pirâmide é regular, portanto, o seu eixo está contido numa recta perpendicu- lar ao plano da base. Pelo ponto O (centro da base) conduz-se a recta p perpendicular ao plano a – as projecções da recta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano. O vértice V da pirâmide pertence à recta p e o eixo [OV] mede 7 cm (a altura da pirâmide). Como o segmento [OV] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção, recorre-se ao rebatimento do plano q, projectante frontal da recta p, para o plano frontal de projecção. Determina-se pr definida por Or e Pr (o ponto P é um ponto qualquer da recta). Sobre pr e a partir de Or marca-se a altura da pirâmide em verdadeira grandeza e obtém-se Vr. Inverte-se o rebatimento e determinam-se as projecções do vértice V sobre as projecções homónimas da recta p. Desenham-se as projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades.
Desenhe as projecções de um prisma triangular regular, situado no 1.° diedro e com as bases contidas
em planos oblíquos, sabendo que:
- uma das bases do prisma é o triângulo [ABC], contido no plano a;
- os traços horizontal e frontal do plano a fazem, respectivamente, ângulos de 60° (a.d.) e 45° (a.d.) com
o eixo x e são concorrentes num ponto com 3 cm de abcissa;
- o lado [AB] do triângulo é frontal (de frente) e tem 1,5 cm de afastamento;
- o vértice A pertence ao b1.3 e o vértice B tem 5 cm de cota;
- a altura do prisma mede 6 cm.
Determinam-se as projecções do triângulo [ABC] da base do prisma contida no plano oblíquo a recorrendo ao reba- timento do plano a para o plano frontal de projecção. O prisma é regular, portanto, as suas arestas laterais estão contidas em rectas perpendiculares aos planos das bases. Pelos pontos A, B e C conduzem-se rectas perpendicula- res ao plano a – as projecções dessas rectas são perpendiculares aos traços homónimos do plano. A altura do prisma, em projecção, pode ser determinada em qualquer uma das arestas laterais. Considera-se a recta p que con- tém a aresta lateral [BB’]. Como o segmento [BB’] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção, recorre-se ao rebatimento do plano d, projectante horizontal da recta p, para o plano horizontal de pro- jecção. Determina-se pr definida por Br e Fr (o ponto F é o traço frontal da recta). Sobre pr e a partir de Br marca-se a altura do prisma em verdadeira grandeza e obtém-se B’r. Inverte-se o rebatimento e determinam-se as projecções do ponto B’ sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de B’ desenham-se as projecções das arestas da base [A’B’C’], paralelas às arestas da base [ABC]. Em seguida, desenham-se as projecções do prisma, atendendo às invisibilidades.
Determinam-se os traços do plano de rampa r que contém o triângulo [ABC] da base de menor cota do prisma recor- rendo à recta r do plano que contém os pontos A e B. Em seguida, determinam-se as projecções do triângulo recor- rendo ao rebatimento do plano r para o plano horizontal de projecção. O prisma é regular, portanto, as suas arestas laterais estão contidas em rectas perpendiculares aos planos das bases – as arestas laterais são de perfil. A altura do prisma, em projecção, pode ser determinada em qualquer uma das arestas laterais. Considera-se a aresta [CC’] e a altura é marcada em verdadeira grandeza em [C 3 C’ 3 ] (ver relatório do exercício anterior / método 1). Determinam-se as projecções horizontal e frontal do ponto C’ e desenham-se as projecções das arestas da base [A’B’C’], paralelas às arestas da base [ABC]. Em seguida, desenham-se as projecções do prisma, atendendo às invisibilidades.
Plano passante
Desenhe as projecções de uma pirâmide hexagonal regular, situada no 1.° diedro e com a base con-
tida num plano passante. O centro da base é o ponto O (3,5; 5; 3). As arestas da base medem 3,5 cm e
duas das arestas são paralelas ao eixo x. A altura da pirâmide mede 7 cm.
Em primeiro lugar, determinam-se as projecções do hexágono [ABCDEF] da base da pirâmide recorrendo ao rebati- mento do plano passante para o plano frontal de projecção. Recorde que um plano passante é um plano de rampa que contém o eixo x, pelo que os procedimentos a efectuar na determinação das projecções do vértice V e da pirâmide seguem os raciocínios expostos no relatório da página anterior / método 1.
Desenhe as projecções de um prisma triangular regular, situado no 1.° diedro e com as bases contidas
em planos de rampa. Os pontos A (2,5; 5; 0) e B (6; 2; 2) são dois vértices de uma das bases do prisma.
A altura do sólido mede 6 cm.
Exercícios
Representação de sólidos
Base(s) contida(s) em planos verticais ou de topo
Desenhe as projecções de um prisma quadrangular regular, situado no 1.° diedro, sabendo que:
- uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], contido no plano vertical d que faz um diedro de 30° (a.e.) com o plano frontal de projecção e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula;
- o vértice A tem 1,5 cm de afastamento e cota nula;
- a aresta [AB] mede 5 cm e o vértice B tem afastamento nulo;
- a altura da prisma mede 6 cm.
Represente o pentágono regular [ABCDE] contido num plano vertical d. Esta figura é a base de uma pirâmide
pentagonal recta situada no 1.° diedro. Represente igualmente o sólido, assinalando com a convenção gráfica
adequada as arestas invisíveis.
Dados
- o centro da figura é o ponto O (5; 5; 4);
- o plano vertical d intersecta o eixo x na origem das abcissas;
- o vértice A do pentágono está no plano horizontal de projecção e pertence à recta vertical v, que passa pelo ponto O;
- a pirâmide tem 8 cm de altura. Baseado na Prova-Modelo (2002)
Desenhe as projecções de uma pirâmide triangular regular situada no 1.° diedro, sabendo que:
- o triângulo [ABC] da base está contido no plano de topo g que faz um diedro de 45° (a.e.) com o plano horizontal de projecção;
- a circunferência circunscrita ao triângulo é tangente ao plano frontal de projecção e o seu centro é o ponto O (3; 3,5; 3);
- o vértice A tem afastamento nulo;
- a altura da pirâmide mede 7 cm.
Desenhe as projecções de uma pirâmide hexagonal regular situada no 1.° diedro, sabendo que:
- o vértice da pirâmide é o ponto V (– 3; 7; 4);
- o hexágono [ABCDEF] da base está contido no plano vertical d que faz um diedro de 60° (a.e.) com o plano frontal de projecção e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula;
- as arestas da base medem 3,5 cm e duas das arestas são segmentos verticais.
Desenhe as projecções de um prisma pentagonal regular situado no 1.° diedro, sabendo que:
- as bases do prisma estão contidas em planos verticais que fazem diedros de 45° (a.e.) com o plano frontal de projecção;
- uma das bases é o pentágono [ABCDE], inscrito numa circunferência com 3,5 cm de raio, cujo centro é o ponto O (4; 4; 5);
- a face lateral de maior cota do prisma é horizontal (de nível);
- as arestas laterais do sólido medem 5 cm.
146 ✓
Desenhe as projecções de um prisma pentagonal regular situado no 1.° diedro, sabendo que:
- uma das bases do prisma é o pentágono [ABCDE], contido no plano de rampa q, cujo traço frontal tem 5 cm de cota;
- o plano q faz um diedro de 50° com o plano frontal de projecção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo;
- o centro da base [ABCDE] é o ponto O, com 3 cm de abcissa e 2,5 cm de cota;
- o vértice A tem abcissa nula e 2,5 cm de cota;
- a altura do prisma mede 6 cm.
147 ✓
Desenhe as projecções de um cubo situado no 1.° diedro, sabendo que:
- a face [ABCD] do sólido está contida no plano oblíquo d;
- os pontos A (1,5; 0; 4,5) e B (0; 3; 1) são os extremos de uma aresta dessa face;
- o traço frontal do plano d faz um ângulo de 50° (a.d.) com o eixo x.
Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.° diedro e com a base contida
num plano oblíquo a, sabendo que:
- os pontos A (0; 1,5; 3) e B (– 2,5; 5; 1) são dois vértices do quadrado [ABCD] da base do sólido;
- a aresta [AB] está contida numa recta de maior inclinação do plano a;
- a altura da pirâmide mede 7 cm.
149 ✓
Desenhe as projecções de um cubo situado no 1.° diedro, sabendo que:
- a face [ABCD] do sólido está contida num plano passante;
- o centro dessa face é o ponto O (4; 6; 3);
- o vértice A tem 1 cm de abcissa e 4,5 cm de afastamento.
150 ✓
Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.° diedro e com a base contida
num plano passante, sabendo que:
- o ponto A (1; 3; 2) é o vértice de menor abcissa do quadrado [ABCD] da base da pirâmide;
- a diagonal [AC] do quadrado mede 7 cm e está contida numa recta que faz um ângulo de 30° com o eixo x;
- o vértice V da pirâmide pertence ao plano frontal de projecção.
151 ✓
Desenhe as projecções de uma pirâmide quadrangular regular com a base contida num plano oblíquo, sabendo
que:
- o vértice da pirâmide é o ponto V (–3; 7; 9);
- o ponto O (2; 4; 3) é o centro da base;
- as diagonais da base medem 6 cm e uma das diagonais é horizontal (de nível).
Desenhe as projecções de um prisma triangular regular situado no 1.° diedro, sabendo que:
- uma das bases do prisma é o triângulo [ABC], contido no b1.3 ;
- o vértice A tem 4 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;
- o lado [AB] do triângulo está contido numa recta que faz um ângulo de 50° com o eixo x e o vértice B tem abcissa nula;
- o segmento [AD] é uma das arestas laterais do sólido e o vértice D pertence ao plano frontal de projecção.
Exercício 135
Determinam-se as projecções do quadrado [ABCD] da base do prisma recorrendo ao rebatimento do plano vertical d para o plano frontal de projecção. Note que o vértice A tem cota nula, portanto, pertence a hd e o vértice B tem afasta- mento nulo, logo, pertence a fd. Sabe-se que [AB] mede 5 cm, assim, com centro em Ar desenha-se um arco de circunferência de raio igual a 5 cm. O ponto de intersecção desse arco com fd é Br ∫ B 2 (o ponto B pertence à char- neira do rebatimento, portanto, mantém-se fixo). Constrói-se o quadrado em verdadeira grandeza no rebatimento e, em seguida, determinam-se as suas projecções. As projecções do prisma são determinadas de acordo com os pro- cedimentos expostos na página 112. Verifique que a aresta lateral [AA’] (invisível em projecção horizontal) está con- tida no plano horizontal de projecção.
Exercício 138
Desenham-se as projecções do vértice V e representam-se os traços do plano vertical d que contém a base da pirâ- mide. Em seguida, determinam-se as projecções do centro da base O – a pirâmide é regular, portanto, o seu eixo [OV] é perpendicular ao plano da base. Neste caso, [OV] é um segmento horizontal e o ponto O pertence ao plano d
- [O 1 V 1 ] é perpendicular a hd e O 1 está sobre hd. Para determinar as projecções do hexágono [ABCDEF] da base optou-se pelo rebatimento do plano d para o plano frontal de projecção. Em seguida, desenham-se as projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades. Em projecção frontal, a base é invisível, pelo que as arestas [AB], [BC] e [CD] (que não pertencem ao contorno aparente frontal) e as arestas laterais [BV] e [CV] são invisíveis nessa projec- ção. Em projecção horizontal não há invisibilidades a assinalar.
Exercício 143
Em primeiro lugar, determinam-se as projecções do quadrado [ABCD] recorrendo ao rebatimento do plano de rampa q para o plano frontal de projecção. As projecções do cubo são determinadas de acordo com os procedimentos expos- tos na página 116. Recorde que todas as arestas do sólido têm o mesmo comprimento; assim, considera-se a aresta [BF] e transporta-se a medida do lado do quadrado [ABCD] (obtida em verdadeira grandeza no rebatimento) para [B 3 F 3 ].
Exercício 146
Em primeiro lugar, representa-se o plano de rampa q em tripla projecção ortogonal. Para as projecções do pentá- gono [ABCDE] da base do prisma contida no plano q, ver relatório do exercício 130. As projecções do prisma são determinadas de acordo com os procedimentos expostos na página 116.
Exercício 147
Em primeiro lugar, determinam-se os traços do plano oblíquo d recorrendo à recta r que contém a aresta [AB] do cubo – r está contida no plano d, portanto, fd contém o vértice A (o ponto A pertence ao plano frontal de projecção) e hd contém o traço horizontal da recta r e é concorrente com fd no eixo x. O processo de resolução segue os procedi- mentos expostos na página 114. Recorde que todas as arestas do cubo têm o mesmo comprimento. Considera-se a recta p que contém a aresta [CG] e recorre-se ao rebatimento do plano q, projectante frontal da recta p, para o plano frontal de projecção. Determina-se pr definida por Cr e Fr (o ponto F, traço frontal da recta, pertence à charneira, por- tanto, mantém-se fixo). Sobre pr e a partir de Cr marca-se a medida da aresta (obtida em verdadeira grandeza no rebatimento da face [ABCD]) e obtém-se Gr. Inverte-se o rebatimento e determinam-se as projecções do ponto G sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de G desenham-se as projecções das arestas da face [EFGH], paralelas às arestas da face [ABCD]. Em seguida, desenham-se as projecções do cubo, atendendo às invisibilidades.
Exercício 151
Em primeiro lugar, desenham-se as projecções do eixo [OV] da pirâmide. A pirâmide é regular, portanto, o plano a que contém o quadrado da base é perpendicular à recta r que contém o eixo [OV] do sólido. Os traços do plano a são perpendiculares às projecções homónimas da recta r e para a sua determinação recorre-se à recta horizontal h que contém o ponto O e é perpendicular à recta r. As projecções do quadrado [ABCD] da base da pirâmide são determinadas recorrendo ao rebatimento do plano a para o plano horizontal de projecção – note que uma das diago- nais é horizontal, portanto, está contida na recta h. Em seguida, desenham-se as projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades.
