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MATEMÁTICA – GEOMETRIA
FICHA 1 (
os
anos)
ASSUNTO: GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
Prof. Edvaldo Benjamim
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
1. Introdução
A Matemática é a Ciência que estuda os movimentos quantitativos e das formas do
Universo. Para os movimentos quantitativos se desenvolveu a linguagem numérica.
Para as formas do Universo, criou-se a linguagem geométrica. A
Geometria surgiu quando o homem tentou lidar com as formas da
natureza, buscando representá-las simbolicamente. Já a Geometria
Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de
pedra) usados em construções. É quando ele descobre aspectos da
natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o
espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do
século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Pitágoras (570 a.C. a
480 a.C.), iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem
geométrica.
2. Postulados
Existem dois tipos de proposições matemáticas:
Os POSTULADOS , que aceitamos como verdadeiros sem demonstração;
Os TEOREMAS , que aceitamos como verdadeiros após demonstração.
Os postulados iniciais são divididos em quatro grupos: existência, determinação, inclusão e
separação.
Postulados da existência
P
1
. Existe ponto, existe reta e existe plano.
.A r
Ponto A Reta r
Plano
P
2
. Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.
.A .B .C
r
D E F G ⋯
P
3
. Num plano e fora dele existem infinitos pontos.
.A .B .C .D .E
.F .G .H ⋯
Postulados da determinação
P
4
. Se dois pontos são distintos, então existe uma e uma só reta que passa por eles.
A B
r
P
5
. Se três pontos são não-colineares (pontos que não estão numa mesma reta), então existe
um e um só plano que passa por eles.
.A .C
.B
Postulado da inclusão
P
6
. Se uma reta tem dois de seus pontos distintos num plano, então essa reta está contida
nesse plano.
r B
A
OBSERVAÇÕES
1. ESPAÇO → é o conjunto de todos os pontos. 2. FIGURA GEOMÉTRICA → é todo conjunto não-vazio de pontos. 3. Duas ou mais figuras geométricas são COPLANARES , se estão contidas num mesmo plano.
Postulados da separação
P
7
. Postulado da separação de plano
Toda reta r separa um plano que a contém em duas regiões convexas (convexa quer
dizer que: se ligarmos dois pontos dessa região por um segmento de reta, o mesmo
permanecerá na parte limitada por essa região)
1
e
2 , em cada uma das quais ela está
contida, de forma que para cada X pertencente a uma dessas regiões e para cada Y
pertencente à outra, X r e Y r , o segmento de reta 𝑿𝒀
intercepta r em um único ponto.
RETAS REVERSAS
Duas retas r e s são REVERSAS entre si não existe plano que as contenha.
r
s r
s
DETERMINAÇÃO DE PLANOS
a) A EXISTÊNCIA e a UNICIDADE (ser único) de um plano estarão garantidas quando
tivermos:
1º) três pontos NÃO-COLINEARES ou
.A
.B .C
2º) uma RETA e um PONTO fora dessa reta ou
r
.A
3º) duas RETAS distintas PARALELAS entre si ou
r
s
4º) duas retas CONCORRENTES (duas retas são concorrentes quando se cruzam em um só
ponto) entre si.
r s
P r s = {P}
b) Se um ponto A não pertence a uma reta r , então existe um único plano que passa por eles.
.A .A
r r
B C
c) Se duas retas distintas são paralelas entre si, então existe um único plano que passa por
elas.
r r s
s
r // s
d) Se duas retas são concorrentes entre si, então existe um único plano que passa por elas.
r r
P s s
A P
B
r s = {P}
4. Posições relativas entre reta e plano
RETA CONTIDA EM PLANO
Uma reta r está contida em um plano se r tem todos os pontos em .
r
r
PLANOS CONCORRENTES
Dois planos distintos são concorrentes (ou secantes ) entre si a INTERSECÇÃO deles é
não-vazia.
Postulado
Se dois planos distintos têm intersecção não - vazia , então a intersecção é uma RETA.
= r
r
6. Retas Perpendiculares e retas Ortogonais
Retas Perpendiculares
Duas retas r e s são perpendiculares entre si r e s são concorrentes entre si e formam
ângulos adjacentes ( Ângulos Adjacentes → dois ângulos são adjacentes quando são
consecutivos e não possuem pontos internos comuns ) congruentes (Ângulos Congruentes →
→ dois ou mais ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida ) entre si.
Ângulos Adjacentes Ângulos Congruentes
s s
D
o
o
A O B r O r
e são ângulos CONSECUTIVOS e são ângulos CONGRUENTES.
e ADJACENTES.
Veja a seguir a figura de duas retas perpendiculares entre si.
r s
r ⊥ s
Retas Ortogonais
Duas retas r e s são ortogonais entre si r e s são reversas entre si e a reta paralela a
uma delas, conduzida por um ponto da outra , é perpendicular a esta.
t // s
s P r t ⊥ r s é ORTOGONAL a r
7. Perpendicularismo entre reta e plano
Reta e plano perpendiculares
Uma reta r e um plano são perpendiculares entre si se r é concorrente com e é
perpendicular a todas as retas de que passam pelo TRAÇO de r em .
r
r ⊥
Teorema
As intersecções não-vazias de dois planos paralelos entre si com um terceiro plano são
paralelos entre si.
r
= r
= s
S r // s
Paralelismo
Teorema
Se uma reta r é paralela a um plano , então ela é paralela a uma reta (reta s ) desse
plano.
r
s r // r //s
Teorema
Se uma reta r não está contida num plano e é paralela a uma reta s do plano , então
essa reta r é paralela a esse plano .
r
s r // s r //
SINTETIZANDO
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta r e um plano sejam paralelos
entre si é que r não esteja contid a em e seja paralela a uma reta contida em .
Teorema
Se um plano é determinado por duas retas concorrentes entre si, ambas paralelas a
um plano , então e são paralelos entre si.
s r
P
r s = {P}
r // , s //
= plano (r, s)
Perpendicularismo
Teorema
Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes s e t de um plano , então ela é
perpendicular a esse plano r
s
r ⊥
t
Teorema
Se dois planos e são perpendiculares entre si e uma reta r de um deles é
perpendicular à intersecção desses planos, então essa reta r é perpendicular ao outro plano
que não contém essa reta r.
S
r
r ⊥ .
r ⊥ s
P
Condição suficiente
Uma condição necessária e suficiente para que dois planos concorrentes sejam
perpendiculares entre si é que toda reta de um deles, perpendicular à intersecção , seja
perpendicular ao outro.
REFORÇANDO...
Postulados de divisão
P
1
. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes.
C
B → Esse ponto divide 𝑨𝑪 em duas partes.
A
𝑩𝑨 : semi-reta e 𝑩𝑪 : semi-reta
P
2
. Uma reta qualquer de um plano divide-o em duas partes.
1
r r
1
: semiplano
2
r
2
: semiplano
P
3
. Um plano qualquer divide o espaço em duas partes.
1
: semi-espaço
2
: semi-espaço
OBSERVAÇÕES:
⎯ Retas coplanares → São aquelas que estão contidas num mesmo plano.
r r
r e s são
s s COPLANARES.
⎯ Retas Oblíquas → são aquelas que não são perpendiculares.
O r
0
e 90
0
.
s
P
1
. Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) :
a) Existem infinitas retas no espaço. ( )
b) Por uma reta passa um único plano. ( )
c) Um plano tem infinitos pontos. ( )
d) Três pontos são sempre coplanares. ( )
e) Dados três pontos, existe um único plano que os contém. ( )
f) Dois pontos determinam um único plano. ( )
g) Três pontos alinhados pertencem a uma única reta. ( )
h) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no
plano. ( )
i) Todo ponto de uma reta divide essa reta em duas partes iguais. ( )
j) No espaço existem infinitos pontos. ( )
k) Três pontos não-colineares determinam um único plano. ( )
l) Dois semiplanos são sempre coplanares. ( )
P
2
. (Unicamp – SP) É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas
em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a
quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, porque isso não acontece com
uma mesa de três pernas.
P
3
. Qual o número máximo de retas determinadas por seis pontos distintos (diferentes) e não-
colineares?
P
4
. Vamos considerar o cubo ABCDEFGH. Com base na figura, classifique como verdadeira (V)
ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmativas:
E F a) As retas 𝑨𝑩
e 𝑪𝑮
são coplanares.
b) As retas 𝑯𝑫
e 𝑫𝑪
são concorrentes
no ponto D. ( )
c) As retas 𝑨𝑫
e 𝑪𝑮
são reversas. ( )
A B d) As retas 𝑨𝑬
e 𝑫𝑪
são ortogonais.
e) A intersecção entre os planos BFCG
e ABFE é a reta 𝑨𝑬
H G f) As retas 𝑨𝑬
e 𝑪𝑮
são paralelas. ( )
g) As retas 𝑬𝑯
e 𝑫𝑯
são perpendicula-
res****. ( )
h) As retas 𝑬𝑭
e 𝑩𝑭
são oblíquas. ( )
D C i) Os planos que contêm as retas 𝑨𝑬
e
têm intersecção vazia. ( )
P
5
. Classifique como certo (C) ou errado (E) cada afirmação:
a) Duas retas reversas nunca são coplanares. ( )
b) A condição r s = é suficiente para que as retas r e s sejam reversas. ( )
c) Se r s = r , então r e s são retas coincidentes. ( )
d) Se r e s são coplanares e r s = , então r e s são retas paralelas. ( )
e) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas. ( )
f) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares. ( )
g) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. ( )
h) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum. ( )
P
6
. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
a) Sempre que três retas têm um ponto comum, elas são coplanares. ( )
b) Uma reta e um ponto determinam um único plano. ( )
c) Quatro pontos não-coplanares determinam quatro planos. ( )
d) Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. ( )
e) Duas retas distintas determinam um único plano. ( )
f) Se duas retas são reversas e uma terceira reta é concorrente com as duas, então elas
determinam dois planos distintos. ( )
g) Três pontos distintos determinam um único plano. ( )
h) Três pontos distintos não-colineares determinam um único plano. ( )
P
7
. Calcule o número máximo de planos determinados por cinco pontos distintos e não-
colineares.
P
8
. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes proposições:
a) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. ( )
b) Se uma reta é paralela a um plano, ela não é paralela a todas as retas do plano. ( )
c) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. ( )
d) Por um ponto não pertencente a um plano, pode-se traçar apenas uma reta paralela a esse
plano. ( )
e) Se uma reta r está contida em um plano, então toda reta paralela a r também está contida
nesse plano. ( )
f) Se uma reta r é secante a um plano α , então existem infinitas retas de α concorrentes com
r. ( )
g) Se a reta r “fura” o plano no ponto P , então r é concorrente ao plano. ( )
h) Se r = , então r “fura” em um único ponto. ( )
P
9
. Classifique como verdadeira (V) ou (F) cada afirmação:
a) Se dois planos têm uma reta em comum , eles são secantes. ( )
b) Se uma reta é paralela a intersecção de dois planos, então ela não é concorrente a
qualquer dos dois. ( )
c) A intersecção entre dois planos secantes é sempre uma reta. ( )
d) Se uma reta é paralela a dois planos secantes , então ela é paralela à intersecção dos
planos. ( ).
e) Se dois planos têm um ponto em comum , então eles são secantes. ( )
P
11
. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F) :
a) Existem infinitas retas. ( )
b) Num plano existem infinitas retas. ( )
c) Fora de um plano existem infinitas retas. ( )
d) Por dois pontos passam infinitos planos. ( )
e) Três pontos determinam um único plano. ( )
f) Por três pontos distintos podem passar infinitos planos. ( )
g) Um segmento de reta , não-nulo , é convexo. ( )
h) Um plano é convexo. ( )
P 12. Quais são os planos determinados pelos pontos A , B , C e D não-coplanares?
P
13
. Na figura temos um bloco retangular. Das retas que passam pelas suas ARESTAS , citar as
que são:
E H
a) paralelas a 𝑨𝑩
D C
b) concorrentes com 𝑬𝑯
F G
c) reversas com 𝑪𝑫
. A B
P 14. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F) :
a) Duas retas que não se interceptam são paralelas entre si. ( )
b) Duas retas que não se interceptam são reversas entre si. ( )
c) Duas retas que têm ponto comum são concorrentes entre si. ( )
d) Três retas distintas , concorrentes duas a duas , são coplanares. ( )
e) Se três retas distintas são coplanares , então elas são paralelas duas a duas ou são
concorrentes duas a duas em três pontos distintos , ou concorrem num mesmo ponto. ( )
P
15
. Classificar cada asserção em verdadeira (V) ou falsa (F) :
a) Três pontos determinam um único plano. ( )
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano. ( )
c) Duas retas paralelas entre si determinam um único plano. ( )
d) Duas retas que têm ponto comum determinam um único plano. ( )
P
16
. Na figura temos um bloco retangular. Das retas que passam pelas suas ARESTAS , citar as
que:
H G
a) são paralelas ao plano ( A, B, C, D );
E F
b) são concorrentes com o plano ( B, C, H, G );
C B
c) estão contidas no plano ( C, D, E, H ). D A
P
17
. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
a) r s = r e s são reversas. ( )
b) r e s são reversas r s = . ( )
c) r s = r e s são paralelas. ( )
d) r // s , r s r s = . ( )
e) A condição r s = é necessária para que r e s sejam reversas. ( )
f) A condição r s = é suficiente para que r e s sejam reversas. ( )
g) A condição r s = é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas. ( )
h) A condição r s = é suficiente para que duas retas r e s sejam paralelas. ( )
P
18
. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
a) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes. ( )
b) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum. ( )
c) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum. ( )
d) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum. ( )
e) Se uma reta está contida num plano, eles tem um ponto comum. ( )
f) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. ( )
g) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa a reta dada. ( )
h) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.
i) Se uma reta e um plano são concorrentes , então a reta é concorrente com qualquer reta do
plano. ( )
j) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas desse plano. ( )
k) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. ( )
l) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a
uma reta do plano e não estar nele. ( )
m) Por um ponto fora de um plano passam infinitas retas paralelas ao plano. ( )
n) Por um ponto fora de uma reta passa um único plano paralelo à reta. ( )
P
19
. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
a) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes. ( )
b) Se duas retas formam ângulo reto , então elas são perpendiculares. ( )
c) Se duas retas são perpendiculares , então elas forma ângulo reto. ( )
d) Se duas retas são ortogonais , então elas formam ângulo reto. ( )
e) Duas retas que forma ângulo reto podem ser reversas. ( )
f) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si. ( )
g) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. ( )
h) Se duas retas formam ângulo reto , toda paralela a uma delas forma ângulo reto com a
outra. ( )
P 20. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano. ( )
c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano. ( )
