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Matemática Elementar
Prof. Inaldo Barbosa de Albuquerque Curso de Licenciatura em Matemática – UFPB VIRTUAL [email protected] Curso de Matemática – UFPB VIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site da UFPB VIRTUAL: www.virtual.ufpb.br Site do curso: www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPB VIRTUAL (83) 3216 7257
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Ementa
Conjuntos; Relações de Equivalência e Conjunto Quociente; Princípio da Boa Ordenação; Enumerabilidade e não Enumerabilidade; Introdução à Teoria dos Números; Congruências.
Descrição
Esta disciplina é a porta de entrada para disciplinas mais avançadas da Matemática, notadamente as que envolvem estruturas algébricas. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle.
Objetivos
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:
Compreender o conceito de conjunto e dominar suas principais propriedades e operações; Compreender o conceito de relação de equivalência e de conjunto quociente e suas principais propriedades; Compreender os conceitos de número cardinal de um conjunto infinito, enumerabilidade e não enumerabilidade ; Ter uma iniciação em Teoria dos Números; Familiarizar-se com ideias matemáticas mais abstratas.
Unidades Temáticas Integradas
Unidade I Conjuntos
- Definição de Conjunto
- Subconjuntos
- O Paradoxo de Russel
- Operações com conjuntos e os Diagramas de Euler-Venn
- Famílias de conjuntos
Unidade II Relações de Equivalência
- Definição de Relação de Equivalência
- Classes de Equivalência
- Conjunto Quociente
Unidade III Enumerabilidade
- Conjuntos Parcialmente Ordenados
- Diagramas de Hasse
- Conjuntos Totalmente Ordenados
- Conjuntos Bem Ordenados e o Axioma da Boa Ordenação
- Princípio da Indução
- Enumerabilidade
Unidade IV Introdução à Teoria dos Números
- Algoritmo da divisão
- Máximo Divisor Comum
- Teorema Fundamental da Aritmética
- Mínimo Múltiplo Comum
Unidade V Congruências
- Congruência Módulo n
- Operações em Zn
- Propriedades das Congruências módulo n e Critérios de Divisibilidade
Z = {0,±1,±2,±3, ...} = conjunto dos números inteiros Q = {p/q ⎪ p,q ∈ Z, q ≠ 0} = conjunto dos números racionais A = {1,2,3,4,5,6} = { x ∈ N ⎪ 1 ≤ x ≤ 6} (lê-se: conjunto dos x pertencentes a N tais que 1 ≤ x ≤ 6)
Ampliando seu conhecimento
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845 - Halle, Alemanha, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático russo de origem alemã conhecido por ter criado a moderna Teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos. Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho de um comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 a sua família mudou-se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker. Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração. Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis). Provou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável, enquanto que o conjunto dos números reais R é contínuo (logo, “maior” que o anterior). Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermediária entre os enumeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo R para representar o conjunto dos números reais. Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que Georg Cantor identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos Conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância. Nas palavras de David Hilbert: "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou." Fonte: Wikipédia
3.2 Subconjuntos
Assumiremos que os caros leitores já estejam familiarizados com os conjuntos numéricos: dos números naturais (N), dos números inteiros (Z), dos números racionais (Q), dos números irracionais (I) e dos números reais (R).
Definição 3.2.1 Dizemos que A é subconjunto de B se todos os elementos de A são também elementos de B. Neste caso, escrevemos A ⊂ B (lê-se A está contido em B).
Temos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Dois conjuntos A e B são iguais se os elementos de A são os mesmos elementos de B e vice-versa, ou seja, A ⊂ B e B ⊂ A.
Observe o conjunto A = { x ∈ Z ⎪ x^2 = 1}. É fácil identificar seus elementos como sendo -1 e 1, ou seja, A = {-1,1}. E se fosse A = { x ∈ Z ⎪ x^2 = –1}? Neste caso não existe valor x ∈ Z que satisfaça à propriedade dada, isto é, A não possui elementos! O conjunto assim definido é chamado vazio e denotado por ∅ ou por { }. Um erro bastante comum é escrever o conjunto vazio como {∅}, mas este conjunto possui um elemento, o conjunto ∅, não podendo ser chamado de vazio. Podemos escrever, neste caso, que ∅ é um elemento de {∅}, ou seja, ∅ ∈ {∅}.
Muitas vezes, quando queremos provar que uma afirmativa A implica em outra afirmativa B, provamos que a negação de B (~B) implica na negação de A (~A), ou seja, “A ⇒ B” equivale a “~B ⇒ ~A”. O uso desse tipo de argumentação, denominado Contraposição , é muito comum em Matemática e, certamente, você já se deparou com ele. Por exemplo, para provar que X ⊂ Y, precisamos mostrar que todo elemento de X é elemento de Y ou, equivalentemente, que todo elemento que não está em Y também não está em X.
Exemplo Prove que, qualquer que seja o conjunto A, ∅ ⊂ A.
Prova Se x ∉ A então x ∉ ∅, pois ∅ não possui elementos.
Russell nasceu em 1872, no auge do poderio econômico e político do Reino Unido, tendo morrido em 1970, vítima de uma gripe, quando o império se tinha desmoronado e o seu poder drenado em duas guerras vitoriosas mas debilitantes. Até à sua morte, a sua voz deteve sempre autoridade moral, uma vez que ele foi um crítico influente das armas nucleares e da guerra estadunidense no Vietnam. Em 1950, Russell recebeu o Prémio Nobel da Literatura "em reconhecimento dos seus variados e significativos escritos, nos quais ele lutou por ideais humanitários e pela liberdade do pensamento".
Fonte: Wikipedia
Em http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_barbeiro encon- tramos mais um paradoxo atribuído a Russell que, pode-se dizer, equivale, metaforicamente, ao paradoxo acima. Acesse e veja. Para um acesso mais rápido, busque, no Google , Paradoxo do barbeiro.
Exercício Dê exemplo de um conjunto que contém a si mesmo como elemento (desafio!).
3.4 Operações com conjuntos e os Diagramas de Euler-Venn
Para estudar de maneira mais simples as operações com conjuntos, Euler (lê-se Óiler) e Venn, separadamente (Leonhard Euler é do século XVIII e John Venn é do século XIX) pensaram numa representação gráfica para conjuntos, pensando seus elementos como limitados por círculos, cada um representando um conjunto diferente. Na verdade Euler criou a representação e Venn a popularizou.
No diagrama ao lado, os conjuntos A e B, representados por círculos, estão imersos em um conjunto maior, o conjunto universo, aqui representado pelo retângulo. Por exemplo, se A e B são subconjuntos de R, U será o conjunto dos números reais. Se A e B são conjuntos de funções deriváveis f : D ⊂ R → R, U será o conjunto de todas as funções deriváveis f : D ⊂ R → R.
No diagrama ao lado, observe que o conjunto A é subconjunto de B, A e C são disjuntos, B e C são também disjuntos. A ideia é que, com o diagrama de Venn, percebamos claramente todas as operações – e os resultados destas – sem muito esforço intelectual. Temos, para o diagrama ao lado:
A∪B = B; A∩B = A; A∩C = ∅ e B∩C = ∅
U
U
Definição 3.4.1 Dados A e B conjuntos, definimos a diferença A
- B como sendo o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos:
A – B = { x ∈ A ⎪ x ∉ B}
No diagrama à esquerda temos a representação de A – B.
No diagrama à direita temos a representação de B – A.
Exemplo Dados N = {1,2,3,4,...} e P = {2,4,6,8,...}, então N – P = {1,3,5,7,9...} enquanto que P – N = ∅. Se R é o conjunto dos números reais e Q é o conjunto dos números racionais, então R – Q = I (conjunto dos números irracionais) e Q – R = ∅. Note que, sempre que A ⊂ B, temos A – B = ∅.
Dialogando e Construindo Conhecimento
Considere U o conjunto universo e A um subconjunto de U. Definimos o complementar de A como sendo o conjunto Ac^ = U – A. Por exemplo, se U = N e A = conjunto dos números pares, temos A c^ = {1,3,5,...} = conjunto dos números ímpares.
Teorema 3.4.1 (Leis de De Morgan ) Dados A e B subconjuntos de U = conjunto universo, então:
- (Ac^ ) c^ = A
- ∅c^ = U e Uc^ = ∅
- A∪Ac^ = U e A∩Ac^ = ∅
- A ⊂ B ⇔ Bc^ ⊂ Ac
- (A∪B) c^ = Ac∩Bc^ e (A∩B) c^ = Ac∪Bc
Demonstração Vamos provar o item 4 e deixar os outros itens como exercício: Suponhamos que A ⊂ B. Dado x ∈ Bc^ , temos que x ∉ B e, por conseguinte, x ∉ A, uma vez que A ⊂ B. Portanto x ∈ Ac^ , ou seja, A ⊂ B ⇒ Bc^ ⊂ Ac^. A prova da recíproca é análoga.
Escrevendo para aprender
- Se A∪B = B, então A é subconjunto de B.
- Se A∩B = B, então B é subconjunto de A.
Exercício Se n(A) = 10, n(B) = 17 e A é subconjunto de B, quantos elementos tem A∪B?
Dialogando e Construindo Conhecimento
3.5 Famílias de conjuntos
Nesta seção, abordaremos operações de união e interseção para uma “família” de conjuntos, indexada em uma coleção infinita L. Na verdade, a definição não difere da que já temos para o caso finito. Vejamos:
Definição 3.5.1 Dada uma família {Aλ}, λ ∈ L, o conjuntoλ∪ ∈ LA λ
= { x ⎪ x ∈ Aλ para algum λ ∈ L} e o conjuntoλ∩ ∈ L A λ = { x ⎪ x ∈ Aλ para
todo λ ∈ L}.
Exemplo Considere A (^) n = [-1/n,1/n], com n ∈ N. É fácil perceber que (^) n ∪ ∈ N An = A 1 = [-1,1], pois para todo n ∈ N, An ⊂ A 1 = [-1,1]. Observe
também que o número 0 é o único elemento comum a todo An e, assim,
temos n ∩ ∈ N An = {0}.
Exercícios 1. Considere A (^) n = (0,1/n), com n ∈ N. Mostre que
n NAn^ n A^ n
∞
∩∈ =∩= 1 = Ø.
- Tente encontrar uma família {An ⎪ n ∈ N} tal que:
- Cada A (^) n é um intervalo aberto;
- A (^) n+ 1 ⊂ A (^) n para todo n ∈ N;
- (^) n ∩ ∈ N An é um intervalo fechado.
Observação Quando a indexação se dá no conjunto dos números naturais N, é comum escrever
nNAn^ n A^ n
∞
∩∈ =∩= 1 e nNAn n An
∞
Neste curso, assumimos que o aluno está razoavelmente informado a respeito de funções. Conceitos como domínio, contradomínio, injetividade, sobrejetividade, bijetividade etc, são
Escrevendo para aprender Para obter uma demonstração do teorema acima, faça um diagrama de Venn colocando o número de elementos de cada parte envolvida: de A – B, de A∩B e de B – A. Veja que a soma dos números cardinais de cada uma das partes dá exatamente o cardinal de A∪B. Conclua a demonstração.
supostamente conhecidos. Em caso de necessidade, é sempre bom recorrer a textos onde tais assuntos se encontram.
Definição 3.5.2 Dada uma função f : A → B, definimos a imagem inversa de b ∈ B como sendo o conjunto f –1^ (b) = { x ∈ A ⎪ f ( x ) = b}. Se C ⊂ B, definimos f –1^ (C) = { x ∈ A ⎪ f ( x ) ∈ C}.
Observações 1. Uma função f : A → B é sobrejetiva se, e somente se, f –1^ (b) é não vazio para todo b ∈ B. A função f : R → R, definida por f ( x ) = x^2 , não é sobrejetiva pois f –1^ (–2) = Ø.
- Se f : A → B e g : B → C são sobrejetivas então a função composta g ◦ f : A → C é sobrejetiva. Se f e g são injetivas, g ◦ f é injetiva. Assim, se tivermos f e g bijetivas, g ◦ f também será bijetiva.
Exercício Prove as afirmativas das observações 1 e 2.
Exemplo Dada f : N → N definida por f ( x ) = x^2 , temos f –1^ (3) = Ø e f –1^ ({1,2,3,4}) = {1,2}
Exercício Considere a função f : R → R definida por f ( x ) = x^2. Dê um subconjunto não vazio B de R tal que f –1^ (B) = ∅.
No gráfico a seguir, temos representada uma função y = f ( x ) e o conjunto f –1^ ([1,2]). No gráfico, notamos que f –1^ ([1,2]) = [–2,0]∪[1, a ], onde a é tal que f ( a ) = 2. Suponhamos que a função a seguir seja:
- contínua em todo o conjunto R;
- =±∞ →±∞
lim f ( x^ )
x
- crescente para x > 2 e para x < -2.
Sendo assim, o que é f –1^ ([2,∞])?
Exemplo Considere a função f : N → N definida por f ( n ) = soma dos algarismos da representação decimal de n. Para esclarecer exatamente como é esta função, observe os seguintes exemplos: f (30) = 3 + 0 = 3, f (37) = 3 + 7 = 10, f (307) = 3 + 0 + 7 = 10. Mostre que: a) Dado n ∈ N, A n = f –1^ ( n ) = {k ∈ N ⎪ f (k) = n } é um subconjunto infinito de N, para todo n ∈ N. b) Se n ≠ m , f –1( n ) ∩ f –1^ ( m ) = ∅.
c) n ∪ ∈ N An = N.
Solução Provaremos o item (a): Dado n ∈ N, temos f (111...1) = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n (o número de vezes que aparece o algarismo 1 é evidente, não?)
Unidade II Relações de Equivalência e Conjunto
Quociente
1. Situando a Temática
Nesta unidade introduzimos os conceitos de Relação de Equivalência e de Conjunto Quociente, muito importantes no estudo das Estruturas Algébricas.
2. Problematizando a Temática
A Matemática tem atraído e ocupado grandes pensadores da História da Humanidade, desde Arquimedes e Euclides, na Grécia Antiga, até os dias de hoje, com um enorme contingente de cérebros trabalhando para descobrir novas teorias ou avançando cada vez mais nos campos já existentes, bem como, não menos importante, ajudando a disseminar o conhecimento matemático e motivando novos discípulos para a prática da Ciência. O que leva a humanidade a estudar Matemática? Muitos hão de responder que é a utilidade demonstrada por essa ciência em praticamente todos os campos do conhecimento humano, notadamente em Física, Economia e Engenharia. Verdade. Mas também é verdade que muito provavelmente Euclides não estava preocupado com aplicações práticas quando escreveu seus famosos Elementos , bem como os pesquisadores atuais de Matemática “pura”. Nós a estudamos porque somos humanos, pura e simplesmente, e, como humanos, temos a curiosidade de sempre saber mais, não importa se o conhecimento é sobre estrelas que estão a milhões de anos-luz – e que não interferem no nosso planeta – ou se são os mistérios da Natureza, a beleza da Música ou a “simplicidade” e o rigor da Matemática. Quando estudamos Geometria Euclidiana, segmentos congruentes, bem como ângulos congruentes ou quaisquer figuras geométricas congruentes, são tratados como um único objeto, não importando se um triângulo está localizado aqui e outro, congruente, está a 10 quilômetros. O mesmo pode se dar em qualquer conjunto, quando desejamos tratar da mesma forma elementos que satisfaçam determinadas propriedades. Por exemplo, no conjunto dos números inteiros Z, podemos reunir todos os pares numa classe e tratá-los como se fossem um só elemento e os ímpares (outra classe) também como outro elemento. Desta forma, escolhemos um elemento no conjunto dos pares, pode ser o número 0, como representante de todos eles e escolher o número 1 para representante dos ímpares. Esse “novo” conjunto (das classes de pares e ímpares) é denotado por Z 2 = {0,1}.
3. Conhecendo a Temática
3.1 Relações de Equivalência
O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B é definido como sendo o conjunto dos pares ordenados ( x , y ) tais que x ∈ A e y ∈ B e é denotado por AxB. Em símbolos,
AxB = {( x , y ) ⎪ x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo Dados A = {a,b,c} e B = {1,2}, temos AxB = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
Note que, quando A e B são finitos, o número de elementos de AxB é o produto do número de elementos de A pelo número de elementos de B.
Definição 3.1.1 Uma relação binária R entre os elementos de um conjunto A com os elementos de um conjunto B (R : A → B) é um subconjunto do produto cartesiano AxB. Quando ( x , y ) ∈ R, escrevemos x R y.
Exemplo Dados A = {a,b,c} e B = {1,2,3,4,5}, considere R = {(a,3), (b,2),(b,5)}. Neste caso, temos aR3, bR2 e bR5, c não está relacionado a nenhum elemento de B e há elementos de B que não se relacionam com qualquer elemento de A, a saber, 1 e 4.
A definição a seguir é a mais importante desta unidade.
Definição 3.1.2 Seja A um conjunto não vazio. Uma relação binária R : A → A que satisfaz às seguintes propriedades é chamada Relação de Equivalência em A:
- x R x , ∀ x ∈ A (R é reflexiva)
- Se x R y então y R x (R é simétrica)
- Se x R y e y R z então x R z (R é transitiva)
É costume adotar a notação "~" para uma relação de equivalência em um conjunto A e será esta notação que adotaremos a partir de agora. Sempre que mencionarmos uma relação de equivalência em um conjunto A, estaremos assumindo que A ≠ ∅.
Exemplos 1. No conjunto R, dos números reais, vamos provar que
x ~ y , se, e somente se, x – y ∈ Z, é uma relação de equivalência em R:
Se A é o conjunto de todas as retas de um plano, a relação r ~ s ⇔ r é paralela a s é uma relação de equivalência em A.
Se conjunto A é um conjunto não vazio, a relação a ~ b ⇔ a = b é uma relação de equivalência em A.
Dada uma função f : A → B, podemos definir uma relação de equivalência em A da seguinte forma: x ~ y se f ( x ) = f ( y ). Na relação definida desta forma para f : R → R dada por f ( x ) = x^2 , temos – 1 ~ 1. Em geral, que elementos se relacionam, desta forma, com x ∈ R?
Considere f : Z → Z definida por f ( n ) = resto da divisão de n por 2. Com a relação de equivalência definida em (3) temos que 0 ~ p , para todo número par p , e 1 ~ i , para todo número ímpar i.
Considere A o conjunto de todas as pessoas e ~ a relação “ter a mesma idade”.
A é o conjunto das palavras da língua portuguesa e ~ a relação “ser um anagrama”. Com esta relação, rato ~ rota ~ ator, mato ~ toma etc.
Se ~ é uma relação de equivalência em A e x ~ y , dizemos que x equivale a y (módulo ~). Assim, com a relação de equivalência ~ do exemplo (4), 102 equivale a 0 (módulo ~) e 27 equivale a 1 (módulo ~).
3.2 Classes de Equivalência
Definição 3.2.1 Dada uma relação de equivalência ~ em um conjunto A, para cada x ∈ A consideremos o conjunto x = { a ∈ A ⎟ a ~ x }.
x é chamado Classe de Equivalência de x (módulo ~).
O item (3) do exercício acima nos diz que toda função induz uma relação de equivalência em seu domínio. Considerando a função f : D ⊂ R^2 → R contínua e ~ a relação de equivalência associada a f , as classes de equivalência módulo ~ são as curvas de nível de f. Se f ( x , y ) = y , as classes de equivalência correspondentes são retas horizontais.
As classes de equivalência (curvas de nível) correspondentes à função f ( x , y ) = x^2 + y^2 são círculos de centro na origem.
No item (2) do exercício acima, a classe de equivalência de x (módulo ~) é o conjunto unitário x = { x }. Já no item (3), temos x = {-
x , x } e, no exemplo (4), x = {0,±2,±4,±6,...}, se x é par e x = {±1,±3,±5,...}, se x é ímpar.
Exemplo Determine todas as classes de equivalência (módulo ~), onde ~ = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,2), (2,0), (2,1), (1,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4)} é a relação de equivalência (mostre isto) no conjunto A = {0,1,2,3,4}.
Solução 0 = {0,1,2} e 3 = {3,4} são as únicas classes de
equivalência em A (módulo ~).
Teorema 3.2.1 Dada uma relação de equivalência ~ em um
conjunto A e x , y duas classes de equivalência (módulo ~) distintas,
então x ∩ y = ∅.
Prova Suponhamos, por absurdo, que x ∩ y ≠ ∅. Então existe a
~ x para algum x ∈ x e a ~ y , para algum y ∈ y. Mas, por transitividade,
a ~ x , ∀ x ∈ x e, analogamente, a ~ y , ∀ x ∈ y e assim, todos os
elementos de x são também elementos de y e vice-versa, ou seja, x =
y , contrariando a hipótese de serem classes de equivalência distintas.
Exemplo Em R^2 , suponha a relação: ( a , b ) ≈ ( c , d ) ⇔ ( a , b ) e ( c , d )
são pontos de uma mesma reta que passa pela origem (0,0). Por exemplo, (1,2) e (2,4) são pontos da reta de equação y = 2 x , ou seja, (1,2) ≈ (2,4). Já (2,2) e (2,3) estão sobre a reta vertical x = 2, que não passa pela origem e, por isso, não temos (2,2) ≈ (2,3). A relação ≈, definida desta maneira, não é uma relação de equivalência em R^2 pois, supondo ≈ uma relação de equivalência, teríamos (0,0) em todas as classes de equivalência, o que contradiz o teorema acima. No entanto, com a mesma definição, ≈ é uma relação de equivalência em R^2 – {(0,0)}.
Exemplo Em Z, considere a relação: a ~ b ⇔ a – b é múltiplo de 3,
ou seja, a – b = 3 n para algum n inteiro. Mostre que ~ é uma relação de equivalência e determine todas as classes de equivalência módulo ~.
Solução Para todo a ∈ Z, a – a = 0 = 3⋅0. Logo a ~ a. Se a ~ b , a – b = 3 ⋅ n para algum inteiro n e, daí, b – a = – ( a – b ) = 3 ⋅(– n ). Logo b ~ a. Se a ~ b e b ~ c , temos a – b = 3 ⋅ n , para algum inteiro n e b – c = 3 ⋅ m , para algum inteiro m e então temos a – c = ( a – b ) + ( b – c ) = 3 ⋅ n + 3 ⋅ m = 3 ⋅( n + m ), donde concluímos que a ~ c.
Observe que 0 = {0, ±3, ±6, ±9, ...}, 1 = {±1, ±4, ±7, ...}, 2 = {±2, ±5,
±8, ...} são classes de equivalência módulo ~ e, como Z = 0 ∪ 1 ∪ 2 , o
teorema acima garante que estas são as únicas classes de equivalência módulo ~ em Z.
Uma família como a definida acima é chamada de Partição do conjunto A. Dada uma partição para A, só existe uma relação de equivalência para o mesmo cujo conjunto quociente seja esta partição.
Exercício Dê exemplo de relação de equivalência em um conjunto X ≠ ∅ tal que a) X/~ = {X}. b) x = { x }. c) X seja um conjunto infinito e X/~ contenha exatamente 5 elementos.
Solução de (c): Como X é infinito, tomemos 4 elementos distintos de X: x 1 , x 2 , x 3 e x 4. Tomemos agora
A 1 = { x 1 }, A 2 = { x 2 }, A 3 = { x 3 }, A 4 = { x 4 } e A 5 = X – { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 }.
{Ai | i ∈ {1,2,3,4,5}} é uma partição de X e, portanto, define uma (única) relação de equivalência em X e X/~ = {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 }. Outra solução Considere X = Z e ~ a relação de equivalência: a
~ b ⇔ a – b é múltiplo de 5. As classes de equivalência (módulo 5) são
0 , 1 , 2 , 3 e 4. Quais são os elementos da classe de equivalência 3?
Exemplo Em Z, a congruência módulo p ( a ~ b ⇔ a – b é múltiplo
de p) nos dá Z/~ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,..., p − 1 }, que também será representado
por Zp. Qualquer que seja p ∈ Z, temos que Zp possui exatamente p elementos.
Exercício Descubra todas as relações de equivalência em A = {0,1,2}.
Sugestão: basta descobrir todas as partições de A.
Dada uma relação de equivalência ~ em A, a função π : A → A/~, definida por π( x ) = x , é chamada de projeção canônica de A sobre A/~. Dada uma função f : A → B e a relação de equivalência induzida, temos que F : A/~ → B, definida por F( x ) = f ( x ) para algum x ∈ x , é injetiva.
No caso em que f seja sobrejetiva, teremos F bijetiva.Veja o diagrama ao lado:
f ( x ) = F○π( x ) = F(π( x )).
Exemplos 1. f : R → R, definida por f ( x ) = maior inteiro menor ou igual a x , conhecida como função escada. f ( x ) também se denota por INT ( x ) que pode ser pensada como a parte inteira do número real x. Por
exemplo, INT (2,74) = 2 e π(2,74) = 2 = [2,3). A relação de equivalência
em R, induzida por f , é x ~ y ⇔ ∃ n ∈ Z ⎪ n ≤ x , y < n + 1. As classes de equivalência são intervalos do tipo [ a , a +1), onde a ∈ Z. Podemos pensar nos números inteiros para representantes de suas respectivas classes.
Temos: 2 = [2,3), n = [ n , n + 1), com n ∈ Z.
A função π : R → R/~ é definida como π ( x ) = x = INT ( x )= [ INT ( x ),
INT ( x ) + 1) Já a função F : R/~ → R é dada por F( x ) = f ( x ) = INT ( x )
- Sejam A e B conjuntos não vazios, com ~ e ≈ relações de equivalência em A e B respectivamente. Uma função f : A → B induz a função f * : A/~ → B/≈, dada por f * ( x ) = f ( ) x. À direita, temos o diagrama, que é
comutativo, ou seja, f * (πA( x )) = πB( f ( x )).
- Em N, considere a relação de equivalência: a ~ b ⇔ ∃ n ∈ N⎪10(n –
- ≤ a, b < 10(n – 1) + 10. Por exemplo 1 ~ 7; 12 ~ 19; 103 ~ 108. Defina a função f : N → N como sendo f (1) = f (2) = " = f (9) = 1; f (10) = f (11) =
" = f (19) = 2; " ; f (10n) = f (10n + 1) = " = f (10n + 9) = n – 1; ". Esta
função induz a relação de equivalência dada e f –1^ (n) = {10(n – 1), 10(n -
- 1, 10(n – 1) + 2, " , 10(n – 1) + 9} é uma classe de equivalência.
Exercícios 1. Releia o exemplo 2 acima e, a partir da função f : Z → Z, dada por f ( n ) = 2 n + 1, construa o respectivo diagrama e descreva como é a função f * : Z/~ → Z/≈, sendo Z/~ = Z 3 e Z/≈ = Z 5.
- Partindo de uma relação de equivalência em um conjunto A, dê uma função f : A → A que induz esta relação de equivalência. 4. Avaliando o que foi construído
Nesta unidade, apresentamos o conceito de Relação de Equivalência em um conjunto A, verificando que toda relação de equivalência em A ≠ ∅ está associada a uma função f : A → B e vice- versa, ou seja, dada f : A → B, existe uma relação de equivalência em A associada a f. Com uma relação de equivalência ~ em A, “simplificamos” o conjunto A com o uso do conceito de conjunto quociente A/~.
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