Fundamentos de Matemática Elementar, Notas de aula de Matemática Discreta

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Fundamentos de Matem´atica Elementar (MAT133)

Notas de aulas

Maria Julieta Ventura Carvalho de Ara´ujo

(Colabora¸c˜ao: Andr´e Arbex Hallack)

Mar¸co/

Cap´ıtulo 1

Conjuntos

1.1 A no¸c˜ao de conjunto e alguns exemplos

Conjuntos

CONJUNTO ´e uma no¸c˜ao primitiva que associamos a qualquer cole¸c˜ao de objetos, os quais chamamos de ELEMENTOS DO CONJUNTO.

Exemplos: Conjunto S dos s´ımbolos 4 , © , F e . Conjunto A de todos os alunos matriculados na UFJF. Conjunto IN dos chamados n´umeros naturais 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,.... Dada uma reta r em um plano, r ´e o conjunto de todos os seus pontos.

Dados um elemento x (de algum conjunto X) e um conjunto Y arbitr´arios, a rela¸c˜ao b´asica entre x e Y ´e a RELAC¸ AO DE PERTIN˜ ENCIA. Seˆ x ´e um dos elementos do conjunto Y ent˜ao dizemos que x pertence a Y e escrevemos x ∈ Y. Se x n˜ao ´e um dos elementos do conjunto Y ent˜ao dizemos que x n˜ao pertence a Y e escrevemos x /∈ Y.

Exemplos: Considerando os exemplos anteriores, temos: © ∈ S ,  ∈ S , ♦ ∈/ S. Cristiano A. D. ∈ A , Andr´e A. H. ∈/ A.

2 ∈ IN ,

2 ∈/^ IN^ ,^ −^5 ∈/^ IN.

P ∈ r , Q /∈ r.

Conjuntos 3

A cada ponto desta reta est´a associado um ´unico n´umero e o conjunto IR dos n´umeros reais ´e a cole¸c˜ao de todos os n´umeros associados a todos os pontos da reta (RETA REAL).

O ponto 0 “separa dois lados da Reta Real”. Pontos (distintos do 0) do mesmo lado do 0 que o 1 s˜ao associados aos n´umeros reais positivos e pontos (distintos do 0) no lado do 0 que ´e oposto ao lado do 1 s˜ao associados aos n´umeros negativos.

Obs.: Podemos ainda definir as opera¸c˜oes de ADIC¸ AO e MULTIPLICAC˜ ¸ AO de n´˜ umeros reais atrav´es da Geometria (veja o exerc´ıcio mais `a frente). O conjunto dos n´umeros reais, com essas duas opera¸c˜oes, satisfaz a uma s´erie de propriedades (comutativa, associativa, elemento neutro, elemento inverso, distributiva) e por isso ´e considerado o que chamamos de CORPO.

E f´´ acil ver que todo n´umero RACIONAL (inteiro ou n˜ao, natural ou n˜ao) tem seu ponto correspondente na reta real:

Mais ainda, existem n´umeros reais (pontos na Reta Real) que n˜ao s˜ao racionais. S˜ao os chamados n´umeros IRRACIONAIS. Para ver isto, como exemplo, vamos exibir um n´umero irracional na Reta Real.

Tomemos um triˆangulo retˆangulo cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Do Teorema de Pit´agoras, temos que a medida da hipotenusa corresponde a um n´umero positivo cujo quadrado ´e igual a 2 e que chamaremos portanto de

Agora estamos portanto em condi¸c˜oes de marcar na Reta Real o ponto correspondente ao n´umero

Finalmente, mostra-se (TENTE!) que n˜ao existe n´umero racional cujo quadrado seja igual a 2, ou seja, o n´umero

2 que acabamos de marcar na Reta Real ´e um n´umero irracional.

4 CAP´ITULO 1

Exerc´ıcio: Dados os n´umeros reais a e b (na Reta Real abaixo), obtenha geometricamente (e marque na Reta Real) os n´umeros a + b , a − b , b − a , 1 /a , a/b , a.b e

a.

• AXIOM ATICA: um modo simples de se definir conjuntos pode ser obtido atrav´´ es do uso de axiomas que envolvam as caracter´ısticas desejadas para esses conjuntos.

O conjunto IR dos n´umeros reais (com todas as suas caracter´ısticas) pode ser definido de modo axiom´atico: “EXISTE UM CORPO ORDENADO COMPLETO IR” (An´alise na Reta).

O conjunto IN dos n´umeros naturais ´e caracterizado atrav´es dos AXIOMAS DE PEANO (veremos mais `a frente no Curso).

O conjunto vazio φ tamb´em ´e usualmente definido de modo axiom´atico (adiante).

• CONSTRUC¸ AO: a partir de conjuntos j´˜ a definidos e atrav´es de ferramentas como ´algebra dos conjuntos, rela¸c˜oes de equivalˆencia, etc.

O conjunto Z dos n´umeros inteiros pode ser constru´ıdo a partir dos naturais. O conjunto Q dos n´umeros racionais pode ser constru´ıdo a partir dos inteiros (via rela¸c˜ao de equivalˆencia, que estudaremos no pr´oximo cap´ıtulo).

O conjunto IR dos n´umeros reais pode ser constru´ıdo a partir dos racionais (atrav´es das chamadas Sequˆencias de Cauchy ou dos Cortes de Dedekind).

O conjunto vazio

Axioma: Existe um conjunto que n˜ao possui elemento algum. Esse conjunto ´e chamado CONJUNTO VAZIO, denotado por φ e qualquer que seja x, tem-se x /∈ φ.

Exemplos: { x ∈ IR ; x^2 = − 1 } = φ , { } = φ , { x ∈ IN ; x + 7 = 0 } = φ.

Obs.: O axioma acima utilizado para garantir a existˆencia do conjunto vazio ´e conhecido como AXIOMA DE EXISTENCIA e faz parte de um conjunto de axiomas conhecidos comoˆ Axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF), os quais, juntamente com o chamado Axioma da Escolha (“Choice” , em inglˆes), constituem a base (ZFC) mais utilizada para o desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos.

6 CAP´ITULO 1

Temos ent˜ao que φ ⊂ A , qualquer que seja o conjunto A, pois caso contr´ario ( φ 6 ⊂ A ) deveria haver pelo menos um elemento do conjunto vazio φ que n˜ao pertenceria ao conjunto A, o que ´e claramente um ABSURDO (pois o conjunto φ n˜ao possui elemento algum).

Inclus˜ao e igualdade de conjuntos

Dizemos que dois conjuntos A e B s˜ao IGUAIS (e escrevemos A = B) se, e somente se, possuem os mesmos elementos, ou seja, todo elemento de A pertence a B (A ⊂ B) e todo elemento de B pertence a A (B ⊂ A). Assim, temos:

A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A

Quando se escreve A ⊂ B n˜ao se exclui a possibilidade de se ter A = B. No caso em que A ⊂ B e A 6 = B (B 6 ⊂ A necessariamente) dizemos que A ´e uma PARTE PR OPRIA ou um´ SUBCONJUNTO PR OPRIO de´ B (alguns autores usam a nota¸c˜ao A B para este caso).

Propriedades da inclus˜ao

1. φ ⊂ A qualquer que seja o conjunto A ;
2. A ⊂ A qualquer que seja o conjunto A ;
3. A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B ;
4. A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Conjunto das partes de um conjunto

Dado um conjunto X, indica-se por P(X) o conjunto cujos elementos s˜ao os subconjuntos de X. P(X) ´e chamado o CONJUNTO DAS PARTES de X.

Afirmar que A ∈ P(X) ´e o mesmo que dizer que A ⊂ X. P(X) = { A ; A ⊂ X }. P(X) nunca ´e vazio, pois φ ∈ P(X) e X ∈ P(X) (propriedades 1 e 2 acima). Exemplos: Se X = { 4, F,  }, temos:

P(X) = { φ , {4} , {F} , {} , {4, F} , {4, } , {F, } , {4, F, } = X }.

P( φ ) = { φ }. Q ∈ P(IR) , pois Q ⊂ IR.

Conjuntos 7

1.3 Algebra dos conjuntos´

Obs.: As vezes, ´` e ´util a representa¸c˜ao de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada e n˜ao entrela¸cada qualquer. Tal representa¸c˜ao recebe o nome de DI- AGRAMA DE VENN. Num Diagrama de Venn, os elementos do conjunto s˜ao representados por pontos internos ao recinto e elementos que n˜ao pertencem ao conjunto s˜ao representados por pontos externos ao mesmo recinto. Por exemplo, sejam A = { 2 , 3 } , B = { 1 , 2 , 3 , 4 } e U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } :

Reuni˜ao ou uni˜ao de conjuntos

A REUNI AO de dois conjuntos˜ A e B, denotada por A ∪ B, ´e o conjunto

A ∪ B = { x ; x ∈ A ou x ∈ B }

Conv´em observar que a palavra ou empregada na propriedade que define A ∪ B n˜ao tem sentido exclusivo, ou seja, pode acontecer que um elemento x ∈ A ∪ B perten¸ca simultanea- mente aos conjuntos A e B.

Propriedades da reuni˜ao: (EXERC´ICIO) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos:

1. A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B ;
2. A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ;
3. A ⊂ C e B ⊂ C ⇔ (A ∪ B) ⊂ C ;
4. A ⊂ B ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ C) ;

Conjuntos 9

Diferen¸ca de conjuntos - Complementar

A DIFERENC¸ A entre os conjuntos A e B, nessa ordem, ´e o conjunto A\B formado pelos elementos de A que n˜ao pertencem a B:

A\B = { x ; x ∈ A e x /∈ B }

Obs.: Muitos autores usam a nota¸c˜ao A − B para a diferen¸ca entre A e B. Vamos evitar essa nota¸c˜ao, pois ela pode causar confus˜ao com OUTRO TIPO de diferen¸ca de conjuntos (muito presente quando trabalhamos com conjuntos num´ericos ou espa¸cos vetoriais), dada por A − B = { a − b ; a ∈ A e b ∈ B }.

Quando B ⊂ A , a diferen¸ca A\B chama-se COMPLEMENTAR de B em RELAC¸ AO a˜

A e escreve-se tamb´em: A\B = CAB.

Em rela¸c˜ao ao conjunto universo U , a diferen¸ca U \X chama-se simplesmente COMPLE-

MENTAR de X e indica-se tamb´em por CX. Assim x ∈ CX ⇔ x /∈ X.

Propriedades da diferen¸ca e do complementar: (EXERC´ICIO) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. Temos:

1. A\B = A(A ∩ B) ;

2) C φ = U e CU = φ ;

3) C(CA) = A ;

4) A = φ ⇔ CA = U ;

5) A ⊂ B ⇔ CB ⊂ CA ;

6) A\B = A ∩ CB ;

7) A ∩ CA = φ e A ∪ CA = U ;

8) A ∩ (B\C) = (A ∩ B)(A ∩ C) ;

9) C(A ∪ B) = CA ∩ CB ;

10) C(A ∩ B) = CA ∪ CB.

10 CAP´ITULO 1

1.4 Exerc´ıcios

1. Sejam A = { x ∈ Z ; x ´e m´ultiplo de 2 } , B = { x ∈ Z ; x ´e m´ultiplo de 3 } , C = { x ∈ Z ; − 3 ≤ x < 5 } e D = { x ∈ Z ; x < 1 }.

Obtenha A ∩ B , C\D , D\C , CD , C ∪ D e C ∩ D.

2. Seja A = { { φ } , φ }. Verifique quais das seguintes senten¸cas s˜ao verdadeiras ou falsas: (a) { { φ } } ∈ A (b) φ ∈ A (c) { φ } ∈ A (d) { { φ } } ⊂ A (e) φ ⊂ A (f) { φ } ⊂ A
3. Mostre que (a) Os conjuntos A ∩ B e A\B s˜ao disjuntos. (b) A ∪ (A ∩ B) = A (c) A = (A ∩ B) ∪ (A\B) (d) A(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) (e) A(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)
4. Sejam A , B e C conjuntos quaisquer num universo U. Demonstre as afirmativas verdadeiras e dˆe contra-exemplos para as falsas: (a) A\B = B\A (b) A(B\C) = (A\B)\C (c) A(B\A) = A (d) A(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)

(e) A(B\C) = A(B ∪ C) (f) C(A\B) = CA ∩ B

(g) (A\C) ∩ (B\C) = (A ∩ B)\C (h) A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C (i) (A\B) ∩ C = (A ∩ C)(B ∩ C) (j) A ∪ (B\C) = (A ∪ B)(A ∪ C)

5. Seja E = {4}. Determine P(P(E)).
6. Determine P(P(P( φ ))).
7. Prove que A ⊂ B ⇔ P(A) ⊂ P(B)
8. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: (i) X ⊃ A e X ⊃ B (ii) Se Y ⊃ A e Y ⊃ B ent˜ao Y ⊃ X Prove que X = A ∪ B
9. Sejam A , B ⊂ U (universo). Prove que:

(a) A ∩ B = φ ⇔ A ⊂ CB

(b) A ∪ B = U ⇔ CA ⊂ B

(c) A ⊂ B ⇔ A ∩ CB = φ

• 1 Conjuntos
  • 1.1 A no¸c˜ao de conjunto e alguns exemplos
  • 1.2 Subconjuntos e a rela¸c˜ao de inclus˜ao
  • 1.3 Algebra dos conjuntos´
  • 1.4 Exerc´ıcios
• 2 Rela¸c˜oes
  • 2.1 Rela¸c˜oes Bin´arias
  • 2.2 Rela¸c˜oes de equivalˆencia
  • 2.3 Rela¸c˜oes de ordem
  • 2.4 Exerc´ıcios
• 3 Fun¸c˜oes
  • 3.1 Conceitos b´asicos e exemplos
  • 3.2 Fun¸c˜oes invert´ıveis: injetoras e sobrejetoras
  • 3.3 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes
  • 3.4 Fam´ılias indexadas de conjuntos e produtos cartesianos em geral
  • 3.5 Exerc´ıcios
• 4 Cardinalidade, conjuntos infinitos, etc.
  • 4.1 Conjuntos de mesma cardinalidade
  • 4.2 Conjuntos finitos/infinitos
  • 4.3 Conjuntos enumer´aveis/n˜ao-enumer´aveis
  • 4.4 N´umeros cardinais
• 5 N´umeros reais: racionais/irracionais, alg´ebricos/transcendentes
  • 5.1 Caracter´ısticas fundamentais de IR
  • 5.2 N´umeros reais e representa¸c˜oes decimais
  • 5.3 N´umeros reais e cardinalidade
  • 5.4 N´umeros racionais/irracionais
  • 5.5 N´umeros alg´ebricos/transcendentes
• Referˆencias
• 12 CAP´ITULO

Cap´ıtulo 2

Rela¸c˜oes

2.1 Rela¸c˜oes Bin´arias

Pares ordenados, produtos cartesianos e rela¸c˜oes

Defini¸c˜ao 2.1. (Par ordenado) Dados dois elementos a e b, chama-se PAR ORDENADO um terceiro elemento que se indica por (a, b).

O elemento a chama-se o primeiro elemento (ou a primeira coordenada) do par orde- nado (a, b) e o elemento b chama-se o segundo elemento (ou a segunda coordenada) do par ordenado (a, b).

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) s˜ao iguais se, e somente se, a = c e b = d.

Obs.: N˜ao se deve confundir o par ordenado (a, b) com o conjunto {a, b}. De fato, como dois conjuntos que possuem os mesmos elemento s˜ao iguais, temos {a, b} = {b, a} sejam quais forem a e b. Por outro lado, se a 6 = b temos (a, b) 6 = (b, a).

Defini¸c˜ao 2.2. (Produto cartesiano) Dados dois conjuntos A e B, chama-se PRODUTO CARTESIANO de A por B e denota-se por A × B ao conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) cujo primeiro elemento pertence a A e cujo segundo elemento pertence a B:

A × B = { (a, b) ; a ∈ A e b ∈ B }

Exemplos: (a) Se A = { 1 , 2 , 3 } e B = {4, F} , temos: A × B = { (1, 4 ) , (1, F) , (2, 4 ) , (2, F) , (3, 4 ) , (3, F) }.

(b) IR × IR = { (x, y) ; x, y ∈ IR } = IR^2. Por exemplo: (

3 , −7) , (8, π) , (0, 0) ∈ IR^2.

Rela¸c˜oes 15

(e) Seja C uma cole¸c˜ao de subconjuntos de um conjunto X, ou seja, C ⊂ P(X). A INCLUS AO de conjuntos representa uma rela¸˜ c˜ao R⊂ de C em C :

R⊂ = { (A, B) ∈ C × C ; A ⊂ B } ,

ou seja, dados A, B ∈ C , temos: A R⊂ B ⇔ A ⊂ B.

(f) Seja R a cole¸c˜ao de todas as retas de um plano α. Dadas duas retas r, s ∈ R , diremos que r e s s˜ao PARALELAS e escreveremos r 66 s quando r e s s˜ao coincidentes (r = s) ou r ∩ s = φ. Definimos ent˜ao a rela¸c˜ao de paralelismo, de R em R :

R 6 6 = { (r, s) ∈ R × R ; r 66 s }.

Obs.: Se A = φ ou B = φ ent˜ao A × B = φ e s´o existir´a uma rela¸c˜ao de A em B, a saber R = φ. Por este motivo, de agora em diante, consideraremos sempre A e B n˜ao-vazios.

Dom´ınio e Imagem de uma rela¸c˜ao

Seja R uma rela¸c˜ao de A em B. Chama-se o DOM´INIO de R e denota-se por D (R) o subconjunto de A formado pelos elementos x para os quais existe algum y em B tal que xR y:

D (R) = { x ∈ A ; ∃ y ∈ B com xR y } = { x ∈ A ; ∃ y ∈ B com (x, y) ∈ R }.

Chama-se o IMAGEM de R e denota-se por Im (R) o subconjunto de B formado pelos elementos y para os quais existe algum x em A tal que xR y:

Im (R) = { y ∈ B ; ∃ x ∈ A com xR y } = { y ∈ B ; ∃ x ∈ A com (x, y) ∈ R }.

Em outros termos, D (R) ´e o subconjunto de A formado pelos primeiros termos dos pares ordenados que constituem R e Im (R) ´e o subconjunto de B formado pelos segundos termos dos pares ordenados de R.

Exemplos: (a) Sejam R 2 = { (2, F) } e R 3 = { (1, 4 ) , (2, 4 ) , (1, F) } rela¸c˜oes de A = { 1 , 2 , 3 } em B = {4, F}. Temos: D (R 2 ) = { 2 } , Im (R 2 ) = {F} , D (R 3 ) = { 1 , 2 } e Im (R 3 ) = B.

(b) Se R 1 =

(x, y) ∈ IR^2 ; y ≥ 0

, ent˜ao D (R 1 ) = IR e Im (R 1 ) = IR+^ ∪{ 0 } (conjunto dos n´umeros reais n˜ao-negativos).

16 CAP´ITULO 2

Representa¸c˜ao de uma rela¸c˜ao

Gr´afico Cartesiano: Quando os conjuntos de partida A e de chegada B de uma rela¸c˜ao R ⊂ A × B s˜ao ambos subconjuntos de IR , temos R ⊂ A × B ⊂ IR × IR = IR^2. Nesse caso, o GR AFICO da rela¸´ c˜ao R ´e o conjunto dos pontos do plano cujas abscissas s˜ao os primeiros termos e as ordenadas s˜ao os segundos termos dos pares ordenados que constituem a rela¸c˜ao:

Exemplos: (a) R = { (x, y) ∈ Z × Z ; x^2 + y^2 ≤ 3 }

(b) R 1 =

(x, y) ∈ IR^2 ; y ≥ 0

Esquema de flechas: Em certas situa¸c˜oes, sobretudo quando A e B s˜ao conjuntos finitos com “poucos” elementos, ´e comum representarmos uma rela¸c˜ao R de A em B representando A e B po meio de Diagramas de Venn e indicando cada par ordenado (x, y) ∈ R por uma flecha com origem x e extremidade y:

Exemplo: R 3 = { (1, 4 ) , (2, 4 ) , (1, F) } ⊂ A × B, com A = { 1 , 2 , 3 } e B = {4, F} :