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UNIVERSIDADE DE LISBOA

I

Faculdade de Ciências DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

11 oANO

GEOMETRIA

Armando Machado

REANIMAT

Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário

Capítulo I Trigonometria

1. As razões trigonométricas do ângulo agudo (revisão).

As razões trigonométricas associadas a um ângulo agudo, seno, co-seno e tangente, foram já estudadas no ensino básico. Vamos recordar rapidamente a respectiva definição e, na sequência do que fizémos no início do décimo ano, examinamos de novo alguns exemplos típicos de aplicação destas razões em situações concretas.

Consideremos um triângulo rectângulo e seja !um dos seus ângulos agudos. Nessas condições: O seno de !é o quociente do comprimento do cateto oposto pelo da hipotenusa. O co-seno de !é o quociente do comprimento do cateto adjacente pelo da hipotenusa. A tangente de !é o quociente do comprimento do cateto oposto pelo do cateto adjacente.

Assim, por exemplo, no contexto da figura seguinte, tem-se:

sen

tg

Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ

FG EF EG EF FG EG

cos

Figura 1

O importante na definição anterior é que as três razões trigonométricas só dependem da amplitude do ângulo; elas não dependem das dimensões do triângulo rectângulo considerado, nem da unidade escolhida para medir os comprimentos. A explicação desse facto reside nas propriedades da semelhança de triângulos: Dois triângulos rectângulos com um mesmo ângulo agudo têm o outro ângulo agudo também igual, pelo que são semelhantes, e têm assim os lados correspondentes directamente proporcionais.

Nota. A notação para as três razões trigonométricas que utilizámos acima é a mais frequente no nosso país, pelo menos no quadro do Ensino Básico e Secundário. A notação mais usada hoje em dia para duas delas é ligeiramente diferente, como já deve ter reparado na sua calculadora: Em vez de sen Ð !Ñ costuma escrever-se sinÐ !Ñ , e em vez de tg Ð !Ñ é usual escrever-se tanÐ !Ñ. Por outro lado, é habitual omitir os parênteses e escrever, por exemplo, sen! em vez de sen Ð! Ñ. Convirá estarmos alertados para essa prática, embora neste texto se evite segui-la, na convicção que “nisto de parênteses, antes a mais do que a menos…”.

Exercício 1. Apresente uma justificação para cada uma das seguintes fórmulas bem conhecidas, envolvendo as razões trigonométricas de um ângulo agudo arbitrário:

trigonométricas de um ângulo e do seu complementar:

sen Ð!°  !Ñ œ cosÐ Ñ , Ð!°  !Ñ œ Ð Ñ, tg Ð*!°  !Ñ œ.

Ð Ñ

cos sen tg

Exercício 4. Na figura 3 está representado um triângulo rectângulo isósceles. Utilize-a para obter valores exactos para as razões trigonométricas

sen Ð%& Ñ° , cosÐ%& Ñ° , tg Ð%& Ñ°.

Resumimos na tabela seguinte os valores a que chegou nos exercícios anteriores:

Ângulo Seno Co-seno Tangente ° ° °

"

# $

$ $

$

"

È È È È È (^) È

Exercício 5. Na figura 4, a circunferência tem raio igual a "unidade e os ângulos entre os três raios representados encontram-se assinalados. Chamamos jao comprimento do segmento representado a traço grosso contínuo. Reparemos que esse segmento é o lado de um decágono regular inscrito na circunferência. a) Determine os restantes três ângulos assinalados. b) Determine o comprimento do segmento a tracejado e deduza, da semelhança de triângulos convenientes, que se tem

j  " œ

j

Figura 4

c) Utilize a igualdade obtida em b) para mostrar que

j œ

È

.^1

d) Deduza do valor obtido em c) os seguintes valores para as razões trigonométricas:

sen °

Ð") Ñ œ

Ð$' Ñ œ

È

È

cos

e destes os valores

cosÐ") Ñ œ

Ð$' Ñ œ

sen °.

É È

É È

Confira estes resultados com os que obtém se utilizar a sua calculadora. e) Utilize o valor de jque encontrou na alínea c) para descobrir um método de construir, com a ajuda de régua e compasso, o lado de um decágono inscrito numa circunferência. Para simplificar a construção, pode supor já determinados dois diâmetros perpendiculares dessa circunferência.

Exercício 6. Utilize os valores encontrados no exercício precedente para mostrar que

tg Ð$' Ñ œ° É&  #^ È&

e confira esta resultado com o que obtém se utilizar a calculadora. É claro que também poderia determinar, se assim o desejasse, o valor exacto para tg Ð") Ñ°.

Exercício 7. A partir das razões trigonométricas determinadas no exercício 5, quais os outros ângulos agudos cujas razões trigonométricas ficam conhecidas?

No exercício seguinte consideramos que a Terra tem a forma aproximada de uma esfera e lembramos que, de acordo com a própria origem da unidade de comprimento “metro”, tanto o equador como os meridianos têm %! !!!Km de perímetro.

Exercício 8. As coordenadas geográficas aproximadas do centro da cidade de Lisboa são $)Þ($° de latitude Norte e *Þ"&° de longitude Oeste. a) Com o auxílio da sua calculadora determine um valor aproximado ao Km para o perímetro do paralelo que passa pela cidade de Lisboa. Sugestão: Com o auxílio da figura seguinte determine a razão entre o raio do paralelo e o raio do equador.

(^1) A este valor dá-se, deste a antiguidade, o nome de razão de ouro. Ela aparece, por exemplo, em certas proporções utilizadas na arquitectura, por se acreditar que assim se obtêm formas agradáveis à nossa vista.

c) Qual o ângulo entre as extremidades do navio no momento em que a ré deste já se encontrava a 1 Km de distância do ponto da trajectória mais próximo de mim?

Exercício 10. Considere o triângulo da figura junta, onde os comprimentos de dois lados (numa certa unidade de medida) e a amplitude do ângulo que estes formam se encontram assinalados.

Figura 7

Utilize a sua calculadora para determinar o comprimento do terceiro lado, com aproximação às centésimas, e as amplitudes dos dois outros ângulos, com aproximação às décimas de grau. Sugestão: Comece por determinar o comprimento da altura do triângulo correspondente ao vértice G , assim como os comprimentos dos segmentos que ela determina na base ÒEFÓ.

Exercício 11. Considere o triângulo da figura junta, onde o comprimento de um lado (numa certa unidade de medida) e as amplitudes dos dois ângulos adjacentes se encontram assinalados.

Figura 8

Determine a amplitude do terceiro ângulo e os comprimentos dos dois restantes lados. Sugestão: Para calcular o comprimento FG determine, de dois modos distintos o comprimento da altura correspondente ao vértice F. Para calcular o comprimento EGdetermine, de dois modos distintos o comprimento da altura correspondente ao vértice E.

O método utilizado para resolver o penúltimo exercício pode ser naturalmente utilizado sempre que conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo que eles determinam e pretendemos conhecer os restantes lados e ângulos do triângulo. Não seria difícil fazer o mesmo raciocínio no caso geral, utilizando variáveis em vez dos valores numéricos, e obter uma fórmula que poderíamos aplicar sempre que quiséssemos. Não o fazemos agora uma vez que essa fórmula pode ser obtida de modo mais natural quando estudarmos adiante as aplicações do produto escalar de vectores.

Já no que diz respeito ao exercício 11, e apesar de o programa em vigor não o exigir, vamos examinar rapidamente o que se pode fazer em geral com os mesmos métodos. A simplicidade e aplicabilidade da fórmula que obteremos compensará largamente o pouco tempo que vamos gastar. Consideremos então um triângulo arbitrário e utilizemos a convenção cómoda habitual de utilizar letras maiúsculas para designar tanto os seus vértices como as amplitudes dos respectivos ângulos e as correspondentes letras minúsculas para designar tanto os lados opostos como os respectivos comprimentos (numa certa unidade de medida).

Figura 9

Nesta situação há uma afirmação simples que podemos fazer, envolvendo as alturas do triângulo:

P1. A altura de um triângulo, correspondente a um dos seus vértices, é igual ao produto de cada um dos lados adjacentes pelo seno do ângulo oposto ao outro.

Por exemplo, usando a notação (^2) Gpara a altura a partir do vértice G,

Figura 10

podemos escrever qualquer das duas fórmulas seguintes:

(^2) G œ , senÐEÑ , (^2) Gœ + senÐFÑ.

A justificação da propriedade anterior é muito simples: A altura vai determinar dois triângulos rectângulos e, utilizando-os para aplicar a definição das razões trigonométricas, pode-se escrever sen ÐEÑ œ 2 (^) G Î, e sen ÐFÑ œ 2 (^) GÎ+. Há, no entanto, um cuidado a ter: Uma vez que só conhecemos a definição das razões trigonométricas dos ângulos agudos, cada uma das fórmulas anteriores só faz sentido se o ângulo

sen Ð# !Ñ œ # sen Ð !Ñ cosÐ !Ñ,

válida para qualquer ângulo agudo !.

Exercício 14. Tendo em conta a conclusão da alínea c) do exercício precedente, mostre que, para cada ângulo agudo !,

Ð senÐ !Ñ  cosÐ !ÑÑ #œ "  senÐ# !Ñ.

A propriedade P1, para além do interesse que apresenta em si mesma, vai servir também para descobrir uma relação importante envolvendo os lados e os ângulos de um triângulo arbitrário. Partamos então de um triângulo qualquer, para o qual usamos as convenções usuais de nomeação dos vértices e dos lados.

Figura 13

Partindo de um vértice arbitrário, por exemplo o vértice G, podemos considerar a correspondente altura (^2) G que, como já verificámos, pode ser obtida por qualquer das fórmulas (^2) G œ , senÐEÑ e (^2) Gœ + senÐFÑ. Estas fórmulas implicam, em particular que se tem , senÐEÑ œ + senÐFÑ , igualdade em que intervêm apenas lados e ângulos do triângulo. Esta igualdade toma uma forma mais útil e fácil de memorizar se dividirmos ambos os seus membros por sen ÐEÑ sen ÐFÑ, obtendo então

, + ÐFÑ ÐEÑ

œ sen sen

Exercício 15. Sem repetir o raciocínio feito atrás e partindo apenas do facto que “todos os vértices dum triângulo têm os mesmos direitos”, descubra qual a igualdade que corresponde a , + senÐFÑ œ^ senÐEÑquando, em vez de partir do vértice^ G^ , se parte, por exemplo, do vértice^ F. Se resolveu o exercício anterior terá encontrado a justificação para a propriedade que enunciamos em seguida e que é conhecida por “lei dos senos”.

P2. (Lei dos Senos) Num triângulo arbitrário, e com as notações da figura 13, tem-se

• , - ÐEÑ ÐFÑ ÐGÑ

œ œ sen sen sen

por outras palavras, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

A lei dos senos é usada tipicamente quando conhecemos os ângulos dum triângulo e um dos seus lados e queremos determinar algum dos outros lados. Uma questão deste tipo já foi resolvida no exercício 11 mas agora passámos a dispor de um método muito mais directo para a tratar.

Exercício 16. Um automóvel viajava numa estrada rectilínea em África à velocidade constante de *! Km/h. Num dado instante um dos passageiros descobriu uma girafa imóvel ao longe, numa direcção $&° à direita da direcção do movimento. Dez segundos depois a direcção em que se via a girafa já era de &!° à direita da do movimento. Pegando na sua calculadora, de que nunca se separa, mesmo em férias, o passageiro determinou rapidamente a que distância se encontrava agora da girafa. a) Que distância era essa? b) Quantos segundos faltavam nesse momento para o automóvel passar no ponto mais próximo da girafa?

2. Os ângulos generalizados e as suas razões trigonométricas.

A noção de ângulo, no quadro da Geometria Plana, já nos apareceu em duas situações distintas: Por um lado, sabemos o que é o ângulo entre duas rectas, que pode tomar valores entre !° e *!°; Por outro lado, sabemos o que é o ângulo entre duas semi-rectas (ou, o que é equivalente, entre dois vectores não nulos), que pode tomar valores entre !° e ")!°. Por exemplo, na figura seguinte estão representadas duas semi-rectas determinando um ângulo de "$!° e as rectas correspondentes “fazem” um ângulo de &!°.

Figura 14

Vamos examinar em seguida uma outra situação em que a noção de ângulo vai jogar um papel, agora com a possibilidade de tomar um valor arbitrário. Trata-se de quantificar o movimento de um semi-recta com origem fixada de forma que as partes do movimento com um dos sentidos (a que se dá o nome de positivo ou directo ) tenham uma contribuição positiva e as partes do movimento com o sentido oposto (o sentido negativo , ou retrógrado ) tenham uma contribuição negativa. Por exemplo, se a semi-recta se deslocar no sentido directo desde uma posição inicial até à posição perpendicular ela terá feito um movimento de !° e se tiver feito o mesmo, mas no sentido oposto, dizemos que ela fez um movimento de !°; se a semi-recta tiver feito uma volta completa no sentido directo dizemos que ela fez um movimento de $'!° e se tiver feito uma volta e um

Ao resolver o exercício precedente deve ter reparado que nenhuma das duas setas, no esquema que referimos atrás, pode ser invertida: Da posição da segunda semi-recta não podemos deduzir qual o ângulo do movimento, uma vez que existem vários ângulos aos quais corresponde uma mesma posição final da semi-recta; pensar, por exemplo, nas alíneas c), d) e e). Do conhecimento do ângulo de posição das duas semi-rectas não podemos concluir qual a posição da segunda, uma vez que, em geral, há duas posições distintas que determinam o mesmo ângulo de posição; pensar, por exemplo, nas alíneas a) e c).

Exercício 18. No caso de dispor de acesso à internet, complemente o que fez no exercício anterior, examinando cada alínea com a ajuda da figura interactiva que encontra no endereço

http://ptmat.lmc.fc.ul.pt/~armac/angulos.html

Na figura está representada uma semi-recta na sua posição inicial, na qual está marcado um ponto \ que ao ser movido com a ajuda do rato, arrasta com ele a semi-recta. Um contador vai contabilizando o ângulo do movimento desde o instante inicial. Será interessante examinar o modo como o contador varia quando o movimento se faz no sentido directo ou no sentido retrógrado, assim como os valores que este toma quando a semi-recta passa pela mesma posição depois de várias voltas completas num ou noutro sentido. Para facilitar a identificação das diferentes posições, estão traçadas semi-rectas auxiliares em traço mais fino, espaçadas de "& em "&graus.

Se resolveu o exercício 17 e, eventualmente, o exercício 18, facilmente compreenderá a caracterização paramétrica, que destacamos em seguida, dos diferentes ângulos de movimento que correspondem a uma dada posição das semi-rectas de partida e de chegada.

P3. Dadas duas semi-rectas com a mesma origem, se !é o ângulo, em graus, de um movimento da primeira para a segunda, os ângulos dos movimentos com o mesmo início e o mesmo fim são exactamente os que se podem escrever na forma !  5 ‚ $'!,

com 5 a variar no conjunto ™dos números inteiros.

Exercício 19. Uma semirecta foi deslocada de uma posição inicial para uma posição final com um ângulo de movimento de "!!!°. a) Qual o menor ângulo de movimento, no sentido directo, que leva da posição inicial para a mesma posição final? b) Se quiser passar da posição inicial para a posição final percorrendo o sentido retrógrado, qual o menor ângulo, em valor absoluto, que terá que percorrer?

As observações que temos estado a fazer sobre a noção de ângulo generalizado vão-nos conduzir à extensão da definição das razões trigonométricas, inicialmente definidas apenas para ângulos entre !° e *!°, ao quadro dos ângulos com valores reais arbitrários. Vamos começar por fixar no plano uma certa unidade de comprimento e um referencial ortonormado com origem S. Nos movimentos de semi-rectas de origem S vamos considerar implicitamente que a posição inicial é a do semi-eixo positivo das abcissas e que o sentido directo é

o que aponta para o semi-eixo positivo das ordenadas.

Figura 16

À posição final de uma semi-recta, inicialmente sobre o semi-eixo positivo das abcissas, depois de efectuado o movimento associado ao ângulo generalizado !chamaremos simplesmente

semi-recta determinada pelo ângulo generalizado !.

Suponhamos, para começar, que o ângulo! está entre !° e *!° e consideremos o ponto \da semi-recta determinada que está à distância " da origem S.

Figura 17

Se nos recordarmos da definição das razões trigonométricas do ângulo agudo, vemos que sen Ð !Ñe cosÐ !Ñ são respectivamente a ordenada e a abcissa do ponto , ambas positivas por este ponto estar no primeiro quadrante. Tem-se assim

\ Ç Ð cosÐ !Ñß senÐ !ÑÑ.

É agora evidente o modo natural de definir o seno e o co-seno de um ângulo !, não necessariamente entre !° e *!°.

Dado um ângulo generalizado !, consideremos a semi-recta de origem Sdeterminada por ! e o ponto \ dessa semi-recta à distância " de S. Definem-se então as razões trigonométricas sen Ð !Ñ e cosÐ !Ñcomo sendo respectivamente a ordenada e a abcissa do ponto .

A novidade é que agora tanto o seno como o co-seno podem ser positivos, negativos ou nulos, conforme o quadrante ou os semi-eixos em que a semirecta determinada se situe. Por exemplo,

Figura 19

Refira-se, a propósito, que da mesma figura se conclui que cosÐ*! Ñ œ !° e, para um ângulo !entre *! ° e ")! °, cosÐ !Ñ œ  cosÐ")! °  !Ñ. Em particular:

O co-seno de um ângulo obtuso é negativo.

Repare-se que, no quadro dos ângulos generalizados, continua a ser válida a relação fundamental entre o seno e o co-seno:

sen Ð !Ñ #^  cosÐ !Ñ #œ ".

Para o reconhecermos basta recordarmos a fórmula que nos dá o comprimento de um vector em termos das suas coordenadas num referencial ortonormado: Sendo \o ponto da semirecta utilizada para definir o seno e o co-seno do ângulo generalizado !, o facto de \ estar à distância "da origem

S S\ Ç Ð Ð Ñß Ð ÑÑ

Ä

e de se ter cos! sen! permite-nos escrever

" œ mS\m œ Ð Ñ  Ð Ñ

Ä # #

cos! sen!.

Ainda não definimos o que deve ser a tangente tg Ð !Ñ de um ângulo generalizado !. Isso é, no entanto, muito simples, bastando tomar como definição a relação que sabemos existir no quadro dos ângulos agudos:

Define-se a tangente tg Ð! Ñde um ângulo generalizado !pela igualdade

tg ,

sen Ð Ñ œ

Ð Ñ

Ð Ñ

cos!

no caso em que cosÐ !Ñ Á !.

Ao contrário do que acontecia com o seno e o co-seno, a tangente não está definida para ângulos generalizados arbitrários mas apenas para aqueles cujo co-seno não é !, ou seja, para aqueles que determinam uma semi-recta não vertical. De acordo com o que referimos em P3, os ângulos generalizados para os quais a tangente não está definida são os da forma

! °  5 ‚ $'! ° ou ! °  5 ‚ $'!°,

com 5 no conjunto ™dos números inteiros. A tangente do ângulo generalizado !, definida atrás, admite uma interpretação importante. Recordemos que, sendo \ o ponto da semi-recta determinada por !que está à distância "da

origem S, tem-se, no referencial ortonormado que estamos a considerar, S\ Ç Ð Ð Ñß sen Ð ÑÑ.

Ä

cos!!

A tangente tg Ð Ñ, igual a , é assim simplesmente o do vector S, que estudámos no

Ä

! sencosÐÐ !!ÑÑ declive

décimo ano. Uma vez que o declive do vector S\ é, por definição, o declive da recta S, a que

Ä

podemos dar o nome de recta determinada pelo ângulo !, podemos dizer que

A tangente do ângulo generalizado !é igual ao declive da recta que ele determina.

No estudo que temos estado a fazer das razões trigonométricas associadas a um ângulo generalizado !, tem tido um papel preponderante o ponto \da semi-recta determinada por !que está à distância " da origem S; de facto, e como reconhecemos imediatamente, temos uma correspondência biunívoca entre o conjunto das semi-rectas de origem S e o conjunto dos pontos à distância " de S. Este último conjunto é, naturalmente, uma circunferência de raio "centrada na origem, circunferência a que se dá usualmente o nome de círculo trigonométrico^2. Com a ajuda do círculo trigonométrico é possível “ler” muito facilmente os valores das três razões trigonométricas dum ângulo generalizado! a partir do correspondente ponto : Para além do seno e do co-seno que, por definição, são respectivamente a ordenada e a abcissa do ponto , a tangente, que é o declive da recta S, pode ser caracterizado como a ordenada do ponto dessa recta que tem abcissa " ; essa ordenada obtém-se muito facilmente intersectando a recta S\ com a recta vertical de abcissa ". A figura a seguir, onde foram sublinhados a traço grosso os segmentos cuja medida está associada às diferentes razões trigonométricas, explica o método prático que pode ser utilizado. Repare-se que os segmentos verticais são considerandos como positivos (respectivamente negativos) quando situados para cima (resp. para baixo) do eixo das abcissas e que o segmento horizontal é considerado como positivo (resp. negativo) quando situado para a direita (resp. para a esquerda) do eixo das ordenadas.

Figura 20

Exercício 21. Este exercício pode ser resolvido com a ajuda de dois instrumentos alternativos:

1. Se tiver acesso à internet, utilize a figura interactiva que se encontra no endereço

http://ptmat.lmc.fc.ul.pt/~armac/circtrig.html.

Tal como acontecia no exercício 18, está representado com a letra \ um ponto do círculo trigonométrico que pode ser deslocado com a ajuda do rato, arrastando consigo a semi-recta que ele determina. Estão marcados a traço grosso os segmentos que permitem avaliar o valor aproximado das razões trigonométricas dos correspondentes ângulos generalizados e aparece assinalado o valor

(^2) É talvez um pouco estranho chamar “círculo” a uma circunferência, mas isso é algo que entrou no uso, talvez por influência da língua inglesa, onde “circle” significa tanto círculo como circunferência.

Mais geralmente, podemos apresentar a seguinte definição:

Dado um número real T Á !, diz-se que um função de variável real 0 é periódica , com período T, se se verifica a seguinte condição: Um número real B está no domínio da função se, e só se B  T está nesse domínio e, quando isso acontecer, 0 ÐB  T Ñ œ 0 ÐBÑ.

O facto de uma função ser periódica com um certo período ressalta em geral claramente do exame do respectivo gráfico. Vejamos, por exemplo, o que se passa com a função associada ao seno, cujo gráfico esboçamos em seguida (possivelmente já obteve um gráfico com este aspecto ao resolver a alínea f) do exercício 21).

Figura 21

Como já estudámos no décimo ano, se, a partir deste gráfico, quisermos traçar, por exemplo, o gráfico da função que a B associa sen ÐB °  '! Ñ° , basta-nos deslocar para a esquerda o gráfico anterior 60 unidades, obtendo o gráfico a tracejado na figura seguinte

Figura 22

O resultado pode ser obtido, na prática, de forma muito simples desde que se decalque o gráfico sobre uma folha transparente e se desloque horizontalmente em seguida essa folha. E se, em vez de '! unidades, tivéssemos deslocado o gráfico para a esquerda $'!unidades? Ressalta claramente da figura que o gráfico se sobrepunha ao inicial, o que exprime precisamente o facto de se ter

sen ÐB°  $'! Ñ œ° sen ÐB Ñ° ,

para cada B, ou seja, o facto de a função ser periódica com período $'!. Uma maneira alternativa de reconhecer que uma função, de que se conhece o gráfico, admite um certo período é construir uma régua de papel com comprimento igual ao do período e deslocá-la, mantendo-a paralela ao eixo das abcissas, de forma que uma das suas extremidades esteja sempre sobre o gráfico. A outra extremidade vai então permanecer também sobre o gráfico, como está sugerido na figura seguinte:

Figura 23

É claro que, depois de se ter adquirido um certo hábito, o reconhecimento do gráfico de uma função periódica pode ser feito sem recorrer a instrumentos auxiliares, como a cópia em papel

transparente ou a régua de papel, imaginando, em vez disso algum desses instrumentos. É também importante sublinhar que, em muitos casos, como no das funções trigonométricas, o fenómeno da periodicidade pode ser previsto a partir do próprio método usado para definir as funções, independentemente de termos ou não o esboço do gráfico na nossa frente.

Exercício 23. A figura seguinte foi adaptada do traçado de um electrocardiograma, exame médico destinado a avaliar o correcto funcionamento do coração. Trata-se do gráfico de uma certa função, cuja variável independente é o tempo, medido em segundos, e a variável dependente é a diferença de potencial, medida em mV, entre dois eléctrodos colocados em dois pontos sobre a pele.

Figura 24

a) Verifique que o gráfico é aproximadamente o de uma função periódica e determine um período para esta função. b) Repare que temos tido a preocupação de preferir a expressão “um período” a “o período”, o que sugere que uma mesma função periódica pode admitir vários períodos. Determine outros períodos, positivos e negativos, para a função que estamos a estudar. c) Generalizando o que fez na alínea anterior, o que poderá dizer sobre outros períodos de uma função periódica 0 , da qual conhece um dos seus períodos T.

No exercício precedente chegou certamente à conclusão de que, se uma função admite um período T , então ela também admite os períodos #T , $T , %T ,…, tal como os períodos T , #T, $T ,…, mais precisamente, admite como períodos todos os números da forma 5T , com 5 Á !em ™. A explicação é simples: Se 0 ÐB  T Ñ œ 0 ÐBÑ, para qualquer B, então a mesma igualdade deverá ser válida com B  T no lugar de B, e portanto

0 ÐB  #T Ñ œ 0 ÐB  T  T Ñ œ 0 ÐB  T Ñ œ 0 ÐBÑ.

Do mesmo modo,

0 ÐB  $T Ñ œ 0 ÐB  #T  T Ñ œ 0 ÐB  T Ñ œ 0 ÐBÑ,

e assim sucessivamente. Para verificar que Té um período, basta repararmos que

0 ÐB  T Ñ œ 0 ÐB  T  T Ñ œ 0 ÐBÑ

e, como já vimos atrás, podemos deduzir sucessivamente daqui que #T , $T, etc… também são períodos.