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Renata de Moura Issa Vianna
Matemática Financeira
MATC
MATEMÁTICA FINANCEIRA
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Renata de Moura Issa Vianna
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Salvador 2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Reitor: João Carlos Salles Pires da Silva Vice-Reitor: Paulo César Miguez de Oliveira
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação Pró-Reitor: Penildon Silva Filho
Faculdade de Ciências Contábeis Diretor: Prof. Joséilton Silveira da Rocha
Superintendência de Educação a Distância -SEAD Superintendente: Márcia Tereza Rebouças Rangel
Coordenação de Tecnologias Educacionais CTE-SEAD Haenz Gutierrez Quintana
Coordenação de Design Educacional CDE-SEAD Lanara Souza
Coordenadora Adjunta UAB Andréa Leitão UAB -UFBA
Bacharelado em Ciências Contábeis EaD Coordenadora: Profª Inês Teresa Lyra Gaspar da Costa
Produção de Material Didático Coordenação de Tecnologias Educacionais CTE-SEAD
Núcleo de Estudos de Linguagens & Tecnologias - NELT/UFBA
Coordenação Prof. Haenz Gutierrez Quintana
Projeto gráfi co Prof. Haenz Gutierrez Quintana Projeto da Capa: Prof. Alessandro Faria
Arte da Capa: Prof. Alessandro Faria Foto de capa: Designed by ijeab / Freepik
Equipe de Revisão: Edivalda Araujo Julio Neves Pereira Márcio Matos
Equipe Design Supervisão Alessandro Faria Editoração / Ilustração Sofi a Guimarães Marcone Pereira Design de Interfaces Raissa Bomtempo
Equipe Audiovisual Direção: Prof. Haenz Gutierrez Quintana
Produção: Letícia Moreira de Oliveira Câmera Maria Christina Souza Edição: Deniere Rocha Animação e videografi smos: Filipe Araújo Caldas Edição de áudio Pedro Queiroz Trilha Sonora: Pedro Queiroz
Esta obra está sob licença Creative Commons CC BY-NC-SA 4.0: esta licença permite que outros remixem, adaptem e criem a partir do seu trabalho para fins não comerciais, desde que atribuam o devido crédito e que licenciem as novas criações sob termos idênticos. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFBA V617 Vianna, Renata de Moura Issa. Matemática financeira / Renata de Moura Issa Vianna. - Salvador: UFBA, Faculdade de Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 131 p. : il. Esta obra é um Componente Curricular do Curso de Bacharelado em Ciências Contábeis na modalidade EaD da UFBA/SEAD/UAB. ISBN: 978-85-8292-166-
- Matemática financeira - Estudo e ensino. 2. Contabilidade - Estudo e ensino (Superior). I. Universidade Federal da Bahia. Faculdade de Ciências Contábeis. II. Universidade Federal da Bahia. Superintendência de Educação a Distância. III. Título. CDU: 657
SÍNTESE DA UNIDADE 53
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 55
UNIDADE 2 – RENDAS CERTAS 65
2.1 – Séries Periódicas Uniformes 67
2.1.1 – Série Uniforme Postecipada 2.1.2 – Série Uniforme Antecipada 2.1.3 – Série Uniforme Diferida 2.1.4 – Série Uniforme Infinita
SÍNTESE DA UNIDADE 81
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 82
UNIDADE 3 – ANÁLISE DE ALTERNATIVA DE INVESTIMENTOS E MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO 89
3.1 – Análise de Alternativa de Investimentos 89
3.1.1 – Método do Valor Presente Líquido 3.1.2 – Método da Taxa Interna de Retorno
3.2 – Métodos para o Cálculo do Fundo de Depreciação 94
3.2.1 – Método de Depreciação Linear 3.2.2 – Método de Depreciação da Taxa Constante 3.2.3 – Método de Cole
SÍNTESE DA UNIDADE 99
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE 100
- UNIDADE 4 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
- 4.1 – Sistema de Amortização Francês
- 4.2 – Sistema de Amortização Constante
- 4.3 – Sistema de Amortização Misto
- 4.4 – Sistema Americano de Amortização
- SÍNTESE DA UNIDADE
- EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA UNIDADE
- TABELAS FINANCEIRAS
- REFERÊNCIAS BÁSICAS
Renata de Moura Issa Vianna
Ilustração: Marcone da Silva
Mini Currículo da Professora
A Profa. Renata de Moura Issa Vianna é graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal da Bahia, Especialista em Matemática pela AVM - Facul- dade Integrada e Mestra em Matemática pela Universidade Federal da Bahia. Atual- mente, é Professora do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico do Instituto Federal Baiano desde 2018.
Carta de Apresentação da Disciplina
Caro(a) estudante,
Vivemos em um mundo onde precisamos estar sempre capacitados para resolver os diversos tipos de problemas que possam surgir. Desenvolver o raciocínio de maneira rápida e objetiva é um dom bastante necessário para edifi carmos uma solução para quaisquer tipos de difi culdades. O estudo da Matemática Financeira o habilitará a encontrar, com mais facilidade, a solução para diversos desafi os, tanto no campo profissional, quanto no campo pessoal.
Controlar as fi nanças é um dos maiores desafi os de um empreendedor. A Matemática Financeira possui ferramentas necessárias para a análise do cotidiano fi nanceiro, por diversos pontos de vista, com o objetivo de planejar a vida fi nanceira tanto de uma empresa como de um indivíduo. Ela tem bastante importância para a tomada de decisões em uma empresa e, quando bem aplicada, traz maior rentabilidade, possibilitando o processo de maximização nos resultados. Ela também pode ser aplicada em diversas situações cotidianas, como fi nanciamentos de móveis e imóveis, empréstimos, aplicações fi nanceiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações.
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Matemática F inanceira
Com o objetivo de possibilitar uma compreensão gradativa e completa sobre a Matemática Financeira, inicialmente analisaremos as capitalizações simples e compostas. Depois, veremos os tipos de descontos e como encontrar capitais equivalentes. Também vamos verificar os vários tipos de séries e de sistemas de amortizações que são utilizados no mercado financeiro, além de analisar algumas alternativas de investimentos.
O módulo está organizado em quatro unidades. A 1ª unidade é introdutória e visa o aprendizado de conceitos e princípios importantes para a Matemática Financeira. A 2ª unidade define as séries de recebimentos e pagamentos. Na 3ª unidade estudaremos um pouco sobre a Análise de Alternativa de Investimentos. A 4ª unidade apresenta os sistemas de amortização mais utilizados.
Bons estudos!
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Matemática F inanceira
Renata de Moura Issa Vianna
Ilustração: Marcone da Silva
UNIDADE 1 – Capitalização Simples e Composta
Considere que duas empresas de calçados, a empresa X e a empresa Y , tenham a receber R$200,00 cada. A empresa X deve receber seus R$200,00 em 30 dias e a empresa Y em 360 dias.
Será que os R$200,00 da empresa X valem o mesmo que os R$200,00 da empresa Y?
Claro que não! Os R$200,00 da empresa X valem mais do que os R$200,00 da empresa Y , pois o valor do dinheiro varia no tempo. Isso é chamado “valor temporal” do dinheiro.
A matemática fi nanceira é a ciência que estuda o valor do dinheiro no tempo.
São em situações como essas que percebemos como a matemática financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
1.1 - Conceitos Fundamentais
Vamos começar com os conceitos fundamentais necessários para uma melhor compreensão.
1. Capital: É a quantia em dinheiro na “data zero”, ou seja, no início da aplicação. Pode ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor fi nanciado de um bem ou de um empréstimo tomado. É também chamado de valor presente, valor inicial, valor principal, entre outros. Notação: C
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Observação: Para simplifi car, utilizaremos, em alguns momentos, as seguintes abreviações:
ao dia: a.d. ao mês: a.m. ao bimestre: a.b. ao trimestre: a.t. ao semestre: a.s. ao ano: a.a.
5. Montante: É a quantia em dinheiro no fi m da aplicação, sendo a soma do capital aplicado e o juro produzido em um determinado período. É também chamado de valor futuro, valor fi nal, saldo, entre outros. Notação: M Matematicamente, temos que M=C+J
1.1.1 - Calendários
Com o objetivo de simplifi car o cálculo com datas, existem várias formas de calendários na matemática fi nanceira. Vejamos alguns exemplos.
- Calendário Civil: O ano tem 365 dias e cada mês tem o número exato de dias. - Calendário Comercial: O ano tem 360 dias e cada mês tem 30 dias. - Calendário de Dias Úteis: Retira-se do período os sábados, domingos e feriados. Neste tipo de calendário, usa-se a Agenda Redoma, que facilita a contagem dos dias úteis num período.
ATENÇÃO! Utiliza-se o Calendário Civil quando o prazo é dado em datas. Neste caso, contam-se os dias corridos acrescentando uma das extremidades.
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Matemática F inanceira
- Calendário de Operações: O dia pode ter até 36h. Exemplo: Considere uma aplicação na poupança feita em 07 de agosto de 2018 que será resgatada em 07 de janeiro de 2019. Vamos calcular o prazo.
Assim, o prazo é de 153 dias.
1.1.2 - Fluxo de Caixa
O Fluxo de Caixa é um registro de uma sequência de movimentações financeiras ao longo do tempo. É representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo, seja em ano, semestre, trimestre, bimestre, mês ou dia. As entradas de recursos são representadas por setas orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. Já as saídas de recursos são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo.
Exemplo: Suponha que uma pessoa fez um empréstimo em um banco de $1.000,00, pagando, no final do período de 6 meses, $1.200,00.
Do ponto de vista do recebedor do empréstimo, teremos o seguinte fluxo de caixa:
Agosto 25 dias (conta o primeiro dia) Setembro 30 dias Outubro 31 dias Novembro 30 dias Dezembro 31 dias Janeiro 6 dias (não conta o último dia)
0 1 2 3 4 5 6 n
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1.2.1 - Regime de Capitalização Simples
No Regime de Capitalização Simples, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do capital. Em cada período, o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa unitária. Desta forma, os juros são iguais em cada período. É também chamado de Juros Simples.
Exemplo: Um investidor aplica $1.000,00 por um prazo de 4 meses a uma taxa mensal de 10%. Encontre o valor do saldo ao final de cada período usando o Regime de Capita- lização Simples.
Resolução:
Primeiramente, façamos o fluxo de caixa correspondente.
Usando que M=C+J, calculamos o montante Mn ao final de cada mês n:
M 1 =1.000+1.000(0,1)=$1. M 2 =1.100+1.000(0,1)=$1. M 3 =1.200+1.000(0,1)=$1. M 4 =1.300+1.000(0,1)=$1.
Podemos montar uma tabela com os respectivos valores de J e de M em cada período n.
n J M 0 - 1.000, 1 100,00 1.100, 2 100,00 1.200, 3 100,00 1.300, 4 100,00 1.400,
M (^1)
M (^3) M 4 M 2
0 1 2 3 4 n
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Renata de M oura I ssa V ianna
Observe que, a cada mês, o montante é acrescido de $100,00. Assim, podemos afirmar que os montantes formam uma Progressão Aritmética de razão 100.
No caso geral, para um capital C aplicado a juros simples durante n períodos a uma taxa unitária i referida nesse período, tem-se uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é C+Ci e a razão é Ci. Assim, lembrando que a equação que relaciona um termo qualquer an de uma Progressão Aritmética com o primeiro termo a 1 e a razão r é dada por
an = a 1 (n-1)r,
temos que o montante será dado por
M = (C+Ci) + (n-1)Ci M = C+Ci + Cin-Ci M = C + Cin M = C (1+in)
Como M=C+J, temos que C+Cin=C+J. Logo,
J = Cin
Portanto, na Capitalização Simples, a cada período, aplicamos a taxa de juros sobre o capital e obtemos o valor do juro daquele período. Quando há mais de um período envol- vido, basta somar todos os juros obtidos ou, de forma mais simples, multiplicar o juro de um período pelo número de períodos da aplicação.
Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples.
Exemplo: Um artigo de preço à vista igual a $700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês, qual o valor do pagamento devido?
Resolução:
$ 700, 00
0 0,5 1 1,5 n
M
