Introdução à Proporção e Razão: Conceitos, Aplicações e Exercícios, Notas de estudo de Matemática Financeira

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O que é melhor juros simples ou juros compostos?

Pagar a vista ou comprar a prazo?

Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?

Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido

numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento

envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no

decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de

procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A

Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do

comportamento do dinheiro em função do tempo.

O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo

capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais

e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade

na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o

competitivo mercado de trabalho.

Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática

Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes

e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara

das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos

negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se

consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área

pela primeira vez.

Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão

relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das

ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as

Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão

ÍNDICE

• INTRODUÇÃO
• OPERAÇÕES ELEMENTARES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
• RAZÃO.........................................................................................................
• PROPORÇÃO...................................................................................................
• DIVISÃO PROPORCIONAL....................................................................................
• DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAL....................................................
• DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL.................................................................
• DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA......................................................................
• REGRAS DE SOCIEDADE
• REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES..........................................................................
• REGRAS DE SOCIEDADE COMPOSTA.......................................................................
• REGRA DE TRÊS SIMPLES...................................................................................
• REGRA DE TRÊS COMPOSTA................................................................................
• OPERAÇÕES COMERCIAIS
• PORCENTAGEM................................................................................................
• ACRÉSCIMOS SIMPLES......................................................................................
• ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS................................................................................
• ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS.................................................................................
• DESCONTOS SIMPLES.......................................................................................
• DESCONTOS SIMULTÂNEOS.................................................................................
• DESCONTOS SUCESSIVOS..................................................................................
• LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO........................................................................
• LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA........................................................................
• PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO....................................................................
• PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA....................................................................
• CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA SIMPLES
• NOMENCLATURA..............................................................................................
• TAXA NOMINAL...............................................................................................
• TAXAS PROPORCIONAIS.....................................................................................
• OUTROS TIPOS DE TAXAS..................................................................................
• JUROS.........................................................................................................
• JUROS SIMPLES..............................................................................................
• MONTANTE SIMPLES.........................................................................................
• TAXA EFETIVA SIMPLES.....................................................................................
• DESCONTO SIMPLES.........................................................................................
• DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO....................................................
• DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA......................................................
• DESCONTO BANCÁRIO.......................................................................................
• CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA
• JUROS COMPOSTOS..........................................................................................
• MONTANTE COMPOSTO......................................................................................
• TAXAS EQUIVALENTES.......................................................................................
• TAXA EFETIVA COMPOSTA..................................................................................
• DESCONTO COMPOSTO......................................................................................
• DESCONTO RACIONAL COMPOSTO.........................................................................
• DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO.......................................................................
• SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO
• ANUIDADES OU RENDAS CERTAS..........................................................................
• VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA....................................................
• VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.....................................................
• ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA..............................................................
• VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA......................................................
• VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA........................................................
• COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO.........................................................................
• ANUIDADES PERPÉTUAS.....................................................................................
• VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL........................................................
• VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL...........................................................
• ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA.
• SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
• SISTEMA DO MONTANTE....................................................................................
• SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS........................................................................
• SISTEMA AMERICANO........................................................................................
• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC................................................
• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC.........................................................
• SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM...............................................................
• SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS.................................................................
• ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
• VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV.........................................................................
• TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR........................................................................
• QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS..............................
• REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro

ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.

A Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver

problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que

permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando

algumas das características do mercado.

O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos

da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de

tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada

somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por

todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser

tomada.

Para uma melhor compreensão e uso das ferramentas da Matemática

Financeira, faz-se necessário uma breve apresentação de algumas operações

elementares da Matemática.

Estas operações são:

> RAZÃO

> PROPORÇÃO

> DIVISÃO PROPORCIONAL

> REGRA DE SOCIEDADE

meios

4. Numa prova de 45 questões uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o

número de acertos e o número de questões. Resposta:

5. Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é

de

. Se na turma existem 14 rapazes, qual é o número de moças? Resposta: 21

6. Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante

tem capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a

menor é: Resposta: 2

7. A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a

altura de Beatriz e a altura de Clovis é: Resposta: 1,

8. Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do

percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num

tempo de 2 horas. Resposta: 50 km/h.

9. Hamilton possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a

altura do cachorro e a de Hamilton? Resposta:

 PROPORÇÃO

Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser

expressas por razões de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o

mesmo quociente. Dessa maneira, quando um pesquisa escolar revelar que, de 40

alunos entrevistados, 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem

entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na

verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.

Dadas duas razões

d

c

e

b

a

, com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se

a c

b d

ou a : b = c : d

Propriedades:

1ª) Propriedade fundamental: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

∴ 6 x 96 = 24 x 24 = 576

2ª) Em toda proporção existe uma constante ‘k’

3ª) Somando-se ou subtraindo-se os antecedentes e os conseqüentes a proporção

não se altera (desde que o denominador não seja nulo):

a c

b d

a c a c

b d b d

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

10. Determine o valor de x nas proporções:

a)

7 x

( x=8,75 ) b)

x+4 2

( x=6 )

11. Calcular x e y na proporção

x y

, sendo x + y = 24 ( Resposta:

x=6; y=18 )

12. Na série de razões

x y z

, calcular x, y e z, sabendo que x +

y + z = 44

( Resposta: x=10; y=20; z=14 ).

13. Calcular x, y e z, na série de razões

x y z

, sabendo que 3x

• y + 2z = 140 ( Resposta: x=10; y=50; z=30 ).

14. A importância de $ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo

que a parte do 1º está para a parte do 2º como 7 para 9, e que a do 2º está para

o 3º como 3 para 5, determine as três partes. ( Resposta: 1º: R$ 4,90; 2º R$ 6,30;

3º: R$ 10,50).

15. Dois números têm por soma 30 e estão para si como 1 pra 5. Calcule

esses números. Resposta: 25 e 5

16. Determine os valores desconhecidos na sentença

x y z

sabendo que x + y + z = 72. Resposta: x = 6; y = 32; z = 24

17. Calcule o valor de x na proporção

1

1

3

1

−

=

x

x

. Resposta: 2

18. Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios.

Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto recebeu? Resposta: R$

525,

 DIVISÃO PROPORCIONAL

 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o

número proporcional está para a parte que a representa.

Exemplo 1 : Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente

proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que a + b = 120, cuja solução

segue de:

24 72

3

24 48

2

24

5

120

2 3 2 3

= → =

= → =

→ =

= →

b

b

a

a

a b a b

Exemplo 2 : Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e

2. Desta forma, será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução segue

no cálculo abaixo:

10 20

2

10 40

4

10

6

60

4 2 4 2

= → =

= → =

→ =

= →

b

b

a

a

a b a b

Exemplo 3 : Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades

de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá?

Resolução:

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 +

R$ 4.000,00 + R$ 6.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

c

c

b

b

a

a

a b c a b c

Exemplo 4 : Dividir o número 2.400, em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 4.

Resolução:

c

c

b

b

a

a

a b c a b c

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

19. Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6. Resposta:

96, 120, 144

20. Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a

4

1

,

3

1

,

2

1

Resposta: 78, 52, 39

21. Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

Resposta: 100, 60 ,

22. Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Resposta:

80 e 120.

23. Carlos, Daniel e João resolveram aplicar em um fundo de investimento, que

exigia um capital inicial de R$100 mil. Carlos deu R$50 mil, Daniel R$30 mil e João

R$20 mil. Ao final do período de carência do plano, eles resolveram sacar o

dinheiro. O valor era R$120 mil. Quanto cada um retirou? Resposta: 60 mil, 36

mil, 24 mil.

24. Uma herança de R$ 240.000,00 deve ser dividida em partes

diretamente proporcionais as idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos.

Quanto receberá cada herdeiro? Respostas: R$ 72.000,00, R$ 80.000,00 e R$

88.000,

25. Em certa empresa de informática, a produção dos quatro técnicos de

montagem de microcomputadores é de 3, 5, 8 e 4 unidades semanais,

respectivamente. Num lote de 80 computadores, quanto cada técnico montará?

Respostas: 12; 20; 32 e 16

c

c

b

b

a

a

a b c a b c

Exemplo 7 : Duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para

fabricar e vender por $ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3

dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão?

a: parte inversamente proporcional à 3 (a) → a/1/

b: parte inversamente proporcional à 5 (b) → b/1/

a b

a b

a b a b

a + b a b

a

→ a = 100

b

→ b = 60

R: ( a) receberá $ 100,00 e ( b) , $ 60,00.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

27. Dividir 1.600 em partes inversamente proporcionais a

e .

( Resposta: 300; 800; 500 )

28. Dividir o número 24 em partes inversamente proporcionais aos números 1 e 5.

Resposta: 20; 4

29. Divida o número 224 em partes inversamente proporcionais a

e .

Respostas: 84; 140

30. Dividir o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5.

Resposta: 50 e 40

31. Dividir o número 1.225 em partes inversamente proporcionais aos números 1,

2, 3, 4, 5 e 6. Resposta: 500; 225; 166,6; 125; 100; 83,

 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA

Divisão proporcional composta ocorre quando se divide proporcionalmente a mais

de um grupo de números.

Vejamos a situação seguinte:

Exemplo 8 : Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o

trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi

realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5

dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a

empreiteira tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia

entre as duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão

composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais

a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando

veremos que:

• Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em

um dia (10. 5).

• Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único

dia (12.4)

Neste caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos

produtos dos números da proporcionalidade.

Então, resolvendo o problema, temos:

98

29. 400

30. 5 12. 4 50 48 50 48

⇒

= ⇒ = ⇒

x y x y x y

= ⇒ x = ⇒ x = ⇒ x =

x

Como x + y = 29.400 → y = 19.400 – 15.000 → y = 14.

Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empreiteira e a

segunda R$ 14.400,00.

Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes

diretamente proporcionais a um grupo de números e inversamente a outro. Parece ser

mais complexo; no entanto, basta dividir o número em partes diretamente ao produto

de cada elemento do primeiro grupo da proporcionalidade pelo inverso de seu

correspondente no segundo grupo.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

32. Dividir 860 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e

inversamente proporcionais a

e

. Respostas: 240; 420; 200

33. A importância de R$ 43.500,00 deve ser dividida entre 3 pessoas,

em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais às idades e inversamente

proporcionais ao tempo de serviço na empresa. Considerando que suas idades são

35, 30 e 36 anos e que estão no trabalho, respectivamente, há 10, 6, e 6 anos,

calcular quanto receberá cada um. Respostas: R$ 10.500,00, R$ 15.000,00 e R$

18.000,

34. Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3

e inversamente proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente. Respostas: 260; 360;

405

35. Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3

e 4 e inversamente proporcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente. Respostas: 168;

280; 360 e 420

São aplicações dos casos de divisão em partes proporcionais.

Sociedade: um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com

um determinado capital, que deverá ser aplicado por um certo tempo numa atividade

qualquer e com o objetivo de obter lucro.

Neste tópico iremos estudar:

> REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES

> REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

> REGRA DE TRÊS SIMPLES

> REGRA DE TRÊS COMPOSTA