Matemática Financeira: Exercícios e Aplicações, Notas de aula de Matemática Financeira

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APOSTILA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

TEORIA E APLICAÇÕES

Arturo Toscanini Soares Batista

SUMÁRIO

• Introdução,
• I Capitalização Simples,
• 1.1 Conceitos,
• 1.2 Fórmulas de Juros e Montante Simples, 4,
• 1.3 Taxas Proporcionais e Equivalentes,
• 1.4 Equivalência de Capitais em Juros Simples,
• 1.5 Valor Nominal e Valor Atual,
• 1.6 Desconto Simples,
• 1.7 Desconto Racional Simples,
• 1.8 Desconto Comercial Simples,
• II Capitalização Composta,
• 2.1 Conceitos,
• 2.2 Fórmulas de Juros e Montante Compostos,
• 2.3 Taxa Nominal, Taxa Equivalente e Taxa Efetiva nos Juros Compostos,
• 2.4 Equivalência de Capitais em Juros Compostos,
• 2.5 Inflação: Correção Monetária, Taxa Aparente e Taxa Real,
• 2.6 Desconto Composto,
• III Rendas ou Anuidades,
• 3.1 Conceito,
• 3.2 Classificação,
• 3.3 Termos Postecipados,
• 3.3.1 Fator de Acumulação de Capital (FAC),
• 3.3.2 Fator de Formação de Capital (FFC),
• 3.3.3 Fator de Valor Atual (FVA),
• 3.3.4 Fator de Recuperação de Capital (FRC),
• 3.2 Termos Antecipados,
• IV Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos,
• 4.1 Conceitos,
• 4.2 Sistema de Amortização Constante,
• 4.3 Sistema de Amortização Francês,
• 4.4 Sistema de Amortização Misto,
• 4.5 Sistema de Amortização Americano,
• Bibliografia,

I. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

1. Juros e Montante simples

1.1 Juros Simples: no regime de capitalização simples a taxa de juros simples incide

somente sobre o capital inicial. Este tipo de regime se comporta como uma progressão aritmética e o seu gráfico de juros versos prazo é uma reta. Por isso, a expressão “linear” é sinônimo de juros simples.

Fórmula de juro simples: J  P. i. n

J = valor dos juros simples; P = capital inicialmente empregado; i = taxa de juros simples; n = período de tempo em que o capital foi empregado

1.2 Montante Simples: é o valor dos juros dos períodos anteriores adicionados ao

capital inicial. Fórmulas de Montante: S  P  J e S  P ( 1  in )

P = capital inicialmente empregado; i = taxa de juros simples; n = período de tempo em que o capital foi empregado e S = montante formado pelos juros e o capital inicial.

Observação: a) A expressão (^)  1  in , decorrente da fórmula do montante é chamada de Fator de

Acumulação de Capital;

b) A expressão  1  in 

é chamada de Fator de Atualização de Capital;

1.3 Exercícios Resolvidos

Juros Simples

1. Qual o valor de juros simples correspondentes a um empréstimo de R$ 100.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Dados: P  R $ 100. 000 , 00 n  15. meses i  3 %. a. m J  P. i. n J  100. 000 , 00 x 0 , 03 x 15  R $. 45. 000 , 00

2. Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros linear de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente. Dados: P  R $ 25. 000 , 00 J  R $ 5. 000 , 00 n  10. meses

am Pn x

j i 0 , 02 2 %...

25. 000 , 0010

Montante Simples

1. Calcular o montante de uma aplicação de um capital de R$ 10.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. Dados: P  R $ 10. 000 , 00 n  12. meses i  3 %. a. m S ? S  P ( 1  in ) 10. 000 , 00 ( 1  0 , 03 x 12 ) S  R $ 13. 600 , 00

2. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 500.000,00, sabendo- se que a taxa de juros é de 3% ao mês e que faltam 7 meses para o seu vencimento. Dados: S  R $ 500. 000 , 00 n  7 meses

$ 413. 223 , 14 1 0 , 03 7

R

in x

S

P 

1.4 Exercícios de Fixação

1. Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Resposta: R$ 6.000,

2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Resposta: R$ 500.000,00.

3. Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Resposta: 2,2% ao mês.

Exemplo: P  R $ 500. 000 , 00 I (^) 1  2 , 5 %. a. m I (^) 2  15 %. a. s. n  1. ano. P  500. 000 , 00 x 0 , 025 x 12  R $ 150. 000 , 00 P  500. 000 , 00 x 0 , 15 x 2  R $ 150. 000 , 00

2.2 Exercícios Resolvidos

Calcular a taxa mensal proporcional de juros simples de: a)14,4% ao ano; b)6,8% ao quadrimestre; c)11,4% ao semestre; d)110,4% ao ano; e)54,72% ao biênio. Resposta:

a) 1 , 2 %.. a. m 12

 ; b) 1 , 7 %.. a. m 4

 ; c) 1 , 9 %.. a. m 6

d) 9 , 2 %.. a. m 12

 e) 2 , 28 %.. a. m 24

2.3 Exercícios de Fixação

1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: a) 36% ao ano; Resposta: 3% ao mês. b) 6,8 % ao quadrimestre; Resposta: 1,7% ao mês. c) 110,4% ao ano; Resposta: 9,2% ao mês. d) 54,72% ao biênio. Resposta: 2,28% ao mês.

2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de: a) 120% ao ano; Resposta: 30% ao trimestre. b) 3,2% ao quadrimestre Resposta: 2,4% ao trimestre c) 1,5% ao mês. Resposta: 4,5% ao trimestre

3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas: a) 2,5% ao mês: Resposta: 30% ao ano. b) 56% ao quadrimestre; Resposta: 168% ao ano. c) 12,5 para 5 meses. Resposta: 30% ao ano.

4. Calcule a taxa de juros proporcional para 10 dias: 12% para 20 dias; 16% para 8 dias; 20% ao mês. Resposta: 6% para 10 dias; 20% para 10 dias; 6,67% para 10 dias.

5. Calcular o montante de R$ 85.000,00 aplicados por: a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês; Resposta: R$ 99.875, b) 9 meses à taxa linear de 11,6% ao semestre; Resposta: R$ 99.790, c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano. Resposta: R$ 110.287,

4. Equivalência de Capitais em Juros Simples

4.1 Conceito: dois ou mais capitais representativos, dizem-se equivalentes quando, a uma

determinada taxa de juros, produzem resultados iguais em uma data comum.

Por exemplo: uma capital de R$ 1.000,00 hoje equivale a um capital de R$ 1.200,00, daqui a dois meses, caso seja utilizada uma taxa de 10% ao mês. Graficamente, temos:

R$1.000,00 R$ 1.200,

Isto é, o capital de R$1.200,00 daqui a dois meses, valem hoje, o valor de R$1.000,00. ou seja: VA = valor atual VF = valor futuro VF  VA ( 1  in ) 1. 000 , 00 .( 1  0 , 1 x 2 ) R $ 1. 200

VF = R$ 1.200,00.

   

. R

in x

VA VF 

VA = R$ 1.000,00.

4.2 Exercícios Resolvidos

1. Determinar se R$ 1.400,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$1.000,00, à uma taxa de juros simples de 5% ao mês.

Na data focal igual a zero (hoje), temos:

Na prática, em questões relacionadas com equivalência de capitais no regime de juros simples, a determinação da data focal deve ser definida (negociada), naturalmente, entre as partes.

4.3 Exercício de Fixação

1. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 a vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. Resposta: 2,79% ao mês.

2. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro. Resposta: R$ 32.500,

3. Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:  Preço a vista = R$ 1.800,00;  Condições a prazo = 30% de entrada e 1306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. Resposta: 3,65% ao mês.

4. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:  R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias;  R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias;  R$ 100.000,00 vencíveis em 114 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:  R$ 20.000,00 em 60 dias;  R$ 50.000,00 em 100 dias;  Restante em 150 dias. Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual. Resposta: R$ 94.054,

5. Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições:  R$ 128,00 de entrada;  R$ 192,00 em 30 dias;  R$ 192,00 em 60 dias. Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista. Resposta: R$ 505,

6. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é investida numa caderneta de poupança por 30 dias, sendo remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mês. O

total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$ 1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido. Resposta: R$ 33.527,

7. Um empréstimo de R$ 42.000,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7% ao mês. Em determinado momento o devedor resgata este empréstimo e contrai outro no valor de R$ 200.000,00 pagando 5% de juros simples ao mês por certo prazo. Após dois anos de ter contraído o primeiro empréstimo, o devedor liquida sua dívida remanescente. O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atinge R$ 180.000,00. Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos. Resposta: x 1 = 8,5 meses; x 2 = 15,5 meses.

5 Valores Nominal e Atual

5.1 Valor Nominal: O valor nominal é o valor de resgate, ou seja, é o valor definido

para um título em sua data de vencimento.

Nota:

1. O valor nominal está, geralmente, atribuído a um título, seja ele emitido por uma pessoa física ou uma pessoa jurídica. Como exemplos de títulos, temos: as Notas Promissórias, as Duplicatas, as Letras de Câmbio, etc.
2. O valor nominal ou valor de resgate surge da concretização de uma dívida, pois ele é o próprio montante da dívida, por exemplo: uma pessoa que empresta R$ 1.000,00 a juros de 10% ao mês para ser pago daqui a 8 meses, recebe uma Nota Promissória, do devedor, no valor de R$ 1.800,00, ou seja:

R$ 1.800,

i = 10% ao mês

8 meses R$ 1.000,

S  P ( 1  in )

S  1. 000 , 00 ( 1  0 , 10 x 8 ) R $ 1. 800 , 00

Nota: o valor que será estampado na nota promissória é o montante que o devedor deverá liquidar daqui a 8 meses.

5.1.2 Valor Atual: o valor de uma dívida numa data anterior a sua data de vencimento,

chama-se valor atual da dívida naquela data (anterior). Graficamente temos:

S

VA 0 VA 1 VA 2 VA 3 0 1 2 3 4

Na prática, o valor nominal, também chamado de valor de resgate, vem definido no título. Assim, para facilitar os cálculos, deduz uma formula que o desconto em função do valor nominal.

Dr  S  VD

in

Sin in

S in S in

S

D (^) r S VD S 

in

Sin Dr 

6.2.1Exercícios Resolvidos

1. Seja um título de valor nominal de R$ 10.000,00, vencível em um ano, que está sendo liquidado, dois meses antes do seu vencimento. Sendo de 72% ao ano a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e valor descontado desta operação, utilizando a modalidade de desconto racional.

Solução: graficamente:

S= R$ 10.000,

Vd=?

2 meses i = 72% ao ano = 6% ao mês

R

x

x x in

Sin Dr  

V D  S  DR  10. 000 , 00  1. 071 , 42  R $. 8. 928 , 58

2. Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.

Dr  S  VD  26. 000 , 00  24. 436 , 10  R $ 1. 563 , 90

am V n x

D

D Vin i D

r r D 24. 436 , 10 2 3 ,^2 %..

6.2.2 Exercício de Fixação

1. Uma duplicata de $ 70.000,00, vencível em 90 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido creditado ao cliente. De acordo com conceito desconto racional ou “por dentro”. Resposta: R$ 64.754,

2. Calcular o valor do desconto por dentro, de um título de $ 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês. Resposta: R$ 10.313,

3. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de $25.000,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de $22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa de juros, de acordo com conceituação de desconto racional. Resposta: 2,65% ao mês.

4. Dois títulos, nos valores de $ 10.000,00 cada, foram descontados à taxa de 2,5% ao mês, gerando um desconto de $ 1.000,00 para cada um deles. Calcular o prazo decorrido pelo critério de desconto “por dentro”. Resposta: 133 dias

6.3 Desconto Comercial Simples

Desconto comercial ou bancário é o mais amplamente utilizado no mercado financeiro, principalmente nas operações de crédito bancário e comercial de curto prazo. Esse desconto é obtido pela incidência direta sobre o valor nominal (valor de face) do título. Observando assim, um maior volume de encargos financeiros, em relação ao desconto racional que sua incidência se dá sobre o valor descontado (valor atual ). O valor do desconto comercial ou bancário (Dc), no regime de capitalização simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (S), da taxa desconto(id) e do prazo de antecipação definido (n), isto é:

D (^) c  S. id. n

Dc  S  Vd

S. i (^) d. n  S  Vd  Vd  S  S. i. n  S ( 1  in ) Vd  S ( 1  in )

Para observar os valores dos descontos calculados pelos as duas modalidades de desconto, foram utilizados exemplos da modalidade de desconto racional.

6.3.1 Exercícios Resolvidos

1. Seja um título de valor nominal de R$10.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo de 72% ao ano a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.

Solução: graficamente temos:

5. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado à taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (valor líquido creditado) de R$ 38.784,00. Sabe-se que a operação foi feita de acordo com o conceito de desconto bancário ou comercial. Resposta: R$ 48.000,

6. Determinar quantos tempo faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$9.800,00, que sofreu um desconto bancário de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. Resposta: 63 dias

7. Sendo de R$ 3.419,44 o valor do desconto racional ou “por dentro” de uma duplicata, descontada à taxa de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento, calcular o valor do seu desconto bancário. Resposta: R$ 3.905,

8. O valor descontado de um título é de R$ 32.000,00 tendo sido negociado 100 dias antes do seu vencimento à taxa de desconto comercial de 30% ao ano. Determinar o valor nominal deste título. Resposta: R$ 34.909,

9)Um financiamento, para aquisição de um veículo, para ser quitado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago esta, o financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo-se que essa Financeira concede um desconto bancário ou “por fora” de 1,8% ao mês para pagamentos antecipados, calcular o valor do desconto total concedido. Resposta: R$ 6.136,

10. Uma instituição desconta comercialmente um título n dias antes de seu vencimento, creditando o valor líquido de R$ 54.400,00 na conta do cliente. O valor de resgate deste título é de R$ 63.000,00 tendo sido adotada a taxa de desconto comercial de 2,2% ao mês. Pede-se determinar o prazo de antecipação deste título. Resposta: 6,2 meses.

11. Uma empresa apresenta num banco, para desconto, três duplicatas no valor nominal de R$ 19.000,00, R$ 42.000,00 e R$ 63.000,00, cada uma. Respectivamente, as duplicatas foram descontadas 37 dias, 66 dias e 98 dias antes do vencimento. Sendo de 21,2% ao ano a taxa de desconto, calcular o valor do desconto bancário e o valor líquido liberado à empresa. Resposta: R$ 5.695,73 e R$ 118.304,

6.5 Desconto Comercial e Taxas Administrativas

É importante registrar que nas operações de desconto, que envolvem bancos comerciais, são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto que tem o intuito de cobrir eventuais despesas operacionais e administrativas. Estas taxas são geralmente prefixadas, e incidem sobre o valor nominal do título, ou seja: D (^) c  S. id. n  SxT , onde T é a taxa administrativa cobrada pelas instituições financeira.

D (^) c  S .( id. n  T )

6.5.1 Exercício Resolvido

Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 é descontada num banco dois meses antes do seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontado integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. D (^) c  S .( i (^) d. n  T ) 60. 000 , 00 ( 0 , 028 x 2  0 , 015 ) R $ 4. 260 , 00 V (^) d  S  Dc  60. 000 , 00  4. 260 , 00  R $. 55. 740 , 00

6.5.2 Exercício de Fixação

1. Um banco desconta um título de valor nominal de R$ 16.000,00 80 dias antes do seu vencimento. Nesta operação, o banco cobra 39% ao ano de taxa de desconto comercial e 2% de despesa administrativa. Calcular o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva mensal linear desta operação. Resposta: R$ 14.293,33 e 4,48% ao mês.

2. Um banco credita na conta do seu cliente a quantia de R$27.000,00, proveniente do desconto de um título, efetuado 80 dias antes do seu vencimento. Sendo de 2,85% ao mês a taxa de desconto e de 1,5% a taxa administrativa cobrada pelo banco, pede-se determinar o valor nominal deste título. Resposta: R$ 29.702,

3.1 Exercício de Fixação

1. Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros composto ao mês? Resposta: R$ 22.463,

2. Qual valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 15.801,

3. Determinar a taxa mensal de juros composta de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. Resposta: 2,35% ao mês.

4. Uma aplicação de R$ 22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Resposta: 8 meses

5. Determinar o juro pago de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de composta de 4,5% ao mês. Resposta: R$ 21.664,

6. No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00, a 10% ao ano, e o capital de R$ 400,00, a 12% ao ano, produzirão montantes iguais? Resposta: 12 anos, 4 meses e 18 dias.

4. Taxa Nominal, Equivalente e Efetiva.

4.1 Conceito

4.1.1 Taxa Nominal: é a taxa onde possui sua unidade de tempo diferente a unidade de

tempo de capitalização.

4.1.2 Taxa Equivalente: duas ou mais taxas dizem-se equivalentes quando empregada a

um capital, produzem os mesmos resultados, em certa data. Seja ia = taxa anual im = taxa mensal P = capital empregado n= 1 ano = 12 meses S 1 (^)  P ( 1  ia ) 12 S (^) 2  P ( 1  im )

12 S 1 (^)  S 2  P ( 1  ia ) P ( 1  im )

ia   1  im ^12  1

4.1.2.1 Exercício Resolvido

1. Capitalizar as seguintes taxas: a) 2,3% ao mês para um ano; b) 0,14% ao dia para 23 dias; c) 7,45% ao trimestre para um ano; d) 6,75% ao semestre para um ano e) 1,87% equivalente a 20 dias para um ano; Resposta

a) i  1 im ^1  1 0 , 023  1 31 , 37 %. a. a 12 12       

b) i  1  0 , 0014 ^23  1  3 , 27 %. para .. 23. dias

c) i  1  0 , 0745 ^12 /^3  1  3330 %. a .. a.

d ).. i  1  0 , 0675 ^12 /^6  1  13 , 96 %. a. a. e ).. i  1  0 , 0187 ^360 /^20  1  39 , 58 %. a. a

4.1.2.2 Exercício de Fixação

1. Qual taxa trimestral de juro equivalente a 22% ao ano? Resposta: 5,097% ao trimestre
2. Um capital foi aplicado 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente? Resposta: 19,56% ao ano
3. Qual a taxa de juros anual equivalente a 33,4840% para 5 meses? Resposta: 100% ao ano
4. Um banco lança um título de pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de R$ 58.000, daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título? Resposta: R$ 28.824,

4.1.3 Taxa Efetiva

È a taxa que foi realmente utilizada na operação

4.1.3.1 Exercício Resolvido

1. Taxa nominal de 32% a.a capitalizado trimestralmente. Taxa nominal = 32% a.a Taxa linear proporcional = 32 % 4  8 % a. t

Taxa efetiva =  1  0 , 08 ^4  36 , 05 %. a. a.

2. Taxa nominal de 30% ao semestre capitalizado mensalmente Taxa nominal = 30% ao semestre Taxa linear proporcional = 30 % 6  5 % a. m

Taxa efetiva =  1  0 , 05 ^6  34 %. a. a

4.1.3.2 Exercício de Fixação