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Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 09
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AULA 09: Formas geométricas básicas. Perímetros, área e volume de figuras geométricas.
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SUMÁRIO PÁGINA
- Geometria Plana 1
- Geometria Espacial 18
- Exercícios comentados nesta aula 64
- Gabarito 74
1 - Geometria Plana
Ponto, reta e plano
O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...).
Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta.
O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula qualquer (Į, ȕ, Ȗ, ...).
Reta Semirreta
Segmento de reta
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Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos
Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem ser: paralelas , coincidentes , concorrentes , perpendiculares ou reversas.
Retas Paralelas
Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
Retas Coincidentes
Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
Retas Concorrentes
Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se tocam apenas uma vez.
Retas Perpendiculares
Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°.
Retas Reversas
Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e não possuírem nenhum ponto em comum.
Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, segmentos e planos:
Semirretas Opostas
s r s r s r
s
r
s r
O
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Reta secante (ou concorrente) a um plano
Uma reta será secante (ou concorrente ) a um plano se ambos só tiverem um ponto em comum.
Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são perpendiculares.
Ângulos
Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas semirretas chama-se vértice do ângulo.
Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz. Ela tem origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais.
As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus. Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que percamos nosso tempo com elas.
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e multiplicada por 360.
s O
r
/ /
Bissetriz
s
r
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(em radianos) = R
L
** (em graus) =
- .R**
L
Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2..R.
Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, quanto à posição e quanto à complementação.
Classificação quanto à medida
Os ângulos podem ser:
Nulo : O ângulo nulo é aquele que mede 0° (ou 0 radianos).
Agudo : O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0° (ou 0 radianos) e
menos que 90° (ou ^2 radianos).
Reto : O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90° (ou ^2 radianos).
Obtuso : O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou 2
radianos) e menos que 180° (ou radianos).
Raso : O ângulo raso é aquele que mede 180° (ou radianos).
Classificação quanto à posição
Congruentes : Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles possuem a mesma medida.
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D = 2.R
O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a:
P = 2..R ou P = .D
A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão:
Área = .R^2 ou Área = . 4
D^2
Polígonos
O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo.
O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas extremidades possua pontos fora do polígono.
A
B
A
B
D
R
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Triângulos
Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos internos vale 180°. Para podermos garantir a existência de um triângulo, devemos garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta:
a < b + c a > |b - c|
Eles podem ter as seguintes classificações:
- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo)
- Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno)
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos
Triângulo Acutângulo
O triângulo é classificado como acutângulo , quando ele possui todos os ângulos menores que 90°.
Triângulo Retângulo
Classificamos o triângulo como retângulo , quando ele possui um ângulo medindo exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que formam o ângulo reto denominam- se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa.
Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras. Esse teorema estabelece que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos:
(Hipotenusa)^2 = (Cateto 1)^2 + (Cateto 2)^2
Triângulo obtusângulo
b
a
c
Cateto 1
Cateto 2
Hipotenusa
.^25988224040
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Altura
A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa altura. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”.
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo.
Mediana
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentro do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice
h
a
.
a 2.a
x x^25988224040
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Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta hipotenusa.
Bissetriz
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.
O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro. O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.
Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, possuem a mesma medida.
Área do triângulo
Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. Pode-se calcular a área de um triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa e dividindo o resultado por dois.
Área = 2
a.h
Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para
h a
.
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“Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro”
Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são semelhantes.
Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes:
AA (Ãngulo-Ãngulo) : Se dois triângulos possuem dois ângulos internos correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes.
LAL (Lado-Ângulo-Lado) : Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.
LLL (Lado-Lado-Lado) : Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes.
Quadriláteros
O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero são segmentos de reta que unem seus vértices opostos.
Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios.
Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos.
Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns com os outros. Eles se dividem em: trapézio retângulo, trapézio isósceles e trapézio escaleno.
A B
C
X Y
r
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Quadrado : É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e todos os ângulos iguais a 90°.
Retângulo : É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes.
Losango : É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas diferentes.
Paralelogramo obliquângulo : É um quadrilátero que possui seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes.
Trapézio Reto : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°.
Trapézio Isosceles : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais.
Trapézio Escaleno : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, sem nenhum ângulo reto.
90°
90°
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Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma “fórmula” para o seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado por:
D =
n.( n 3 )
Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima:
Quadrilátero:
D =
n.( n 3 )
2
Pentágono:
D =
n.( n 3 )
2
Hexágono:
D =
n.( n 3 )
2
É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos:
Si = 2 x 180° = 360° (Si é a soma dos ângulos internos)
Para o pentágono, temos:
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Si = 3 x 180° = 540°
Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n lados, existe uma expressão que resume o que fizemos:
Si = (n – 2) × 180°
Perímetro
O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus lados.
Áreas de regiões planas
Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo qualquer. Vamos ver agora como encontrar a área dos outros polígonos.
Área dos paralelogramos : A área de um paralelogramo é dada pelo produto da base por sua altura relativa.
Área = base x altura
No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os lados do quadrado são iguais, temos:
Área do quadrado = L^2
No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e L2). Assim:
Área do retângulo = L1 x L
No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do produto de suas diagonais. Assim:
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O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo.
Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as faces um quadrado é chamado de cubo.
Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e as faces laterais não são retangulares.
Altura do prisma
A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base superior.
Área Lateral e Área Total
A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas faces laterais.
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas duas bases, a inferior e a superior.
Volume
O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura:
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V = Área da base x Altura
Pirâmide
Uma pirâmide é todo sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.
Altura da pirâmide
A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior.
Área Lateral e Área Total
A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas faces laterais.
A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua base.
Volume
O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3:
Vpirâmide = 3
Área daBase Altura
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