Baixe Matemática Lista 6 - MAT 241 e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UFV - Universidade Federal de ViÁosa
CCE - Departamento de Matem·tica
Lista 6 - MAT 241- C·lculo III
- Em cada caso, esboce a regi„o de integraÁ„o e calcule a integral.
a)
R 1
0
R py y x (^2) y (^2) dxdy b)R^ a a
R pa (^2) x 2 pa^2 x^2 (x^ +^ y)^ dydx^ c)^
R 1
0
R 0
y 1 e x+y (^) dxdy + R^1 0
R (^1) y 0 e x+y (^) dxdy
d)
R 2
0
R 2
x x
p 1 + y^3 dydx e)
R 2
0
R 2
x e
y^2 dydx f) R^1 0
R 1
y sen x
(^2) dxdy g) R^2 0
R 4
y^2
p xsen x dxdy
R:
e 2
2 e
2 e^4
1 cos 1 2 ; sen 4 4 cos 4 :
- Use uma integral dupla para encontrar o volume do sÛlido limitado pelos gr·Öcos das equaÁıes dadas.
a)z = xy; z = 0; y = x; x = 1 (primeiro octante); b) x^2 + y^2 + z^2 = a^2 ; a > 0;
c) x^2 + z^2 = 1; y^2 + z^2 = 1 (primeiro octante) ; d) z =
1 + y^2 ; x^ = 0; x^ = 2; y^ ^0 :
R:
4 a^3 3
- Calcule as integrais a seguir, em coordenadas polares.
a)
R 3
0
R p 9 x 2 0 arctg
y x dydx; b)
R 2
0
R p 2 x x 2 0 xy dydx;^ c)^
R 4
0
R p 4 y y 2 0 x (^2) dxdy:
R:
9 ^2
- Escreva a soma das duas integrais como uma ˙nica integral dupla usando coordenadas polares e calcule.
R (^2) 0
R (^) x 0
p x^2 + y^2 dydx +
R 2 p 2 2
R p 8 x 2 0
p x^2 + y^2 dydx: R: 4
p 2 3
Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume de uma esfera de raio a:
Encontre k de modo que o volume dentro do hemisfÈrio z =
p 16 x^2 y^2 e fora do cilindro x^2 + y^2 = k^2 seja a metade do volume do hemisfÈrio.
R: 2
p 4 2 3
p 2
Calcule o volume do elipsÛide dado por 9 x^2 + 9y^2 + z^2 = 36:
Reescreva a integral
R 4
0
R 4 2 x 0
R 12 ^34 x ^6 y 0 dzdydx^ na ordem^ dydxdz:
- Em cada caso, use a mudanÁa de vari·veis indicada para calcular a integral dupla dada.
a)
R R
R
px+y x dydx; x^ =^ u; y^ =^ uv; R: tri‚ngulo com vÈrtices em^ (0;^ 0);^ (4;^ 0);^ (4;^ 4):
R: 32 (
p 2 1) 9 b)
R R
R ysen xy dydx; x^ =^
u v ; y^ =^ v; R: regi„o entre os gr·Öcos de^ xy^ = 1; xy^ = 4^ y^ = 1; y^ = 4:
- Considere a regi„o R no plano xy dada por x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^ e a transformaÁ„o^ x^ =^ au; y^ =^ bv:^ Esboce a regi„o
R e sua imagem inversa S sob essa transformaÁ„o, e encontre @(x; y) @(u; v) : R: ab
- Calcule o volume do sÛlido limitado superiormente pela superfÌcie z = 16 x^2 y^2 e inferiormente pela
regi„o elÌptica x
2 16
2 9
- Se x cresce ‡ raz„o de 2 cm=s quando passa pelo valor x = 3 cm; com que velocidade deve variar y quando
y = 1 cm a Öm de que a express„o 2 xy^2 3 x^2 y permaneÁa constante? R: ^32 15
- Um ponto move-se sobre a curva interseÁ„o da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 49 com plano y = 2: Quando x È 6 e est· crescendo 4 unidades por segundo, achar:
a) a velocidade de variaÁ„o de z: b) a velocidade com a qual o ponto se move.
R: 8 unidades por segundo; 4
p 5 unidades por segundo.
- A equaÁ„o de estado de um g·s ideal È pv = kT; onde k È uma constante, p; v e T s„o a press„o, o volume e a temperatura do g·s, respectivamente.
a) VeriÖcar que @ p @ v
@ v @ T
@ T
@ p
b) Num dado instante uma certa quantidade de g·s tem 15 litros de volume e est· sob a press„o de 25 N m^2 :
Tomando k = 96; achar a temperatura e a velocidade de variaÁ„o dela se o volume cresce ‡ raz„o de 1 2 litro por
segundo e a press„o decresce a raz„o de 1 10 N por metro quadrado por segundo.
R: Cresce ‡ raz„o de
graus por segundo.
Examinar a express„o 3 axy x^3 y^3 no que concerne m·ximos e mÌnimos. R: M·ximo a^3 :
Achar o volume do maior paralelepÌpedo inscritÌvel no elipsÛide x
2 a^2
2 b^2
2 c^2 = 1: R: 8 abc 3
p 3
- Calcular, por dupla integraÁ„o, a ·rea da regi„o acima do eixo x; limitada pela par·bola semi-c˙bica y^2 = x^3 e a reta y = x :
a) integrando primeiro em relaÁ„o a x; b) integrando primeiro em relaÁ„o a y:
R:
- Achar o volume do sÛlido limitado pela superfÌcie cilÌndrica x^2 + az = a^2 e os planos x + y = a; y = 0; z = 0:
R: 4 a^3 3 :
- Efetue a mudanÁa de coordenadas u = x + t; v = x t na equaÁ„o das ondas ztt = zxx:
R: zuv = 0:
Determine duas funÁıes distintas f (x; y; z) sabendo que fx = y^2 + 2xz; fy = 2xy z; fz = x^2 y + 2z:
Calcular a menor dist‚ncia entre a par·bola y = x^2 + 1 e a reta y = x 2 : R:
p 2 8
Descrever a imagem da circunferÍncia x^2 + y^2 = a^2 pela transformaÁ„o T : (x; y)! (u; v) = ( x 4 ; y):
Descrever as imagens das retas x = c pela transformaÁ„o T : (x; y)! (excos y; exsen y) e fazer os gr·Öcos.
Ache os extremos da express„o x^2 + y^2 + z^2 sujeitos ‡ condiÁ„o x^2 + 2y^2 z^2 = 1: R: 1 ;
- Calcular o volume acima do cone z^2 = x^2 + y^2 e dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = z: R:
- O volume V abaixo do parabolÛide hiperbÛlico z = xy e a cima da regi„o R no plano xy È dado por V =
R 1
0
R (^) y 0 xy dxdy^ +^
R 2
1
R (^2) y 0 xy dxdy:^ Esboce a regi„o^ R^ do plano^ xy;^ expresse^ V^ como uma integral dupla na qual a ordem de integraÁ„o È invertida e calcule V: R:
3 unidade c˙bica.
