Terceira Tarefa - Vetores
1. Encontre as componentes do vetor:
(a) Os vetores !
P Q e!
QP onde P= (1;4;2) eQ= (1;2;0)
(b) O vetor a partir do ponto A= (2;3;1) até a origem (preste atenção no sentido).
(c) A soma e a subtração dos vetores !
AB e!
CA onde A= (1;1;0),B= (1;0;4) eC= (1;2;3).
2. Encontre um versor no espaço, na mesma direção e mesmo sentido que o vetor v:
(a) v= 2ij3k
(b) v=2
3i1
2j2k
3. Veri…que se os pontos abaixo formam um triângulo:
(a) A(0;4;1),B5
2;2;1eC1;12
5;1
(b) A(0;0;1),B(0;2;1) eC(0;5;1)
4. Suponha A,BeCsejam os vértices de um triângulo e que MA,MBeMCsejam, respectivamente, os
pontos médios dos lados opostos. Mostre que !
AMA+!
BMB+!
CMC=~
0(exercício difícil).
5. Determine uv,juj,jvj, o cosseno entre ueve as projeções proj vueprojuvpara os seguintes conjuntos
de uev.
(a) u=i+ 2jkev= 2i+j3k
(b) u=h3;1;1iev=h2;4;7i
6. Ache xde modo que ~v ?~w onde ~v = (x+ 1;1;2) e~w = (x1;1;2):
7. Obtenha um vetor ~u ortogonal a ~v =h4;1;5ie a ~w =h1;2;3ital que ~u h1;1;1i=1.
8. Ache ~v de norma 3p3, sabendo que ~v é ortogonal a ~w = (2;3;1) e a ~u = (2;4;6). Dos vetores ~v
encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1;0;0)?
9. Mostre que as diagonais de um losango (paralelogramo com lados de comprimento iguais) são perpen-
diculares. Dica: Veja o exemplo 5dos slides de vetores - tópico 2.
10. Cálcule o produto vetorial dos seguintes conjuntos de uev.
(a) u=i2kev=j+ 3 k
(b) u=1
2;5
3;3
2ev=2
7;4
3;2
11. Encontre a área do triângulo cujos vértices são A= (6;0),B= (10;5) eC= (2;4).
12. Calcule a área e a altura relativa ao lado AB do paralelogramo ABC D sendo !
AB = (1;1;1) e
!
AD = (2;1;4).
13. Dados A= (1;2;3),B= (1;1;0),C= (1;0;2) eD= (0;2;1), determine:
(a) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores !
AB,!
AC e!
AD.
(b) O volume do tetraedro formado pelos vetores !
AB,!
AC e!
AD.
14. Resolva os sistemas para v=hv1; v2; v3i:
v(i+j) = i+j
v(i+j) = 2
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