Baixe Matemática Lista - MAT 241 III e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Universidade Federal de Vi¸cosa
Departamento de Matem´atica
3 a^ Lista de exerc´ıcios de C´alculo III - MAT 241
- Calcule, se existirem, as derivadas parciais
∂f ∂x
(0, 0) e
∂f ∂y
(0, 0) sendo:
(a) f (x, y) =
x + 4y^3 x^2 + y^2 , se (x, y) 6 = (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)
(b) f (x, y) =
3 x^3 − 2 y^3 x^2 + y^2
, se (x, y) 6 = (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0)
- Dada a fun¸c˜ao f (x, y) =
2 x + y − 3 , se x = 1 ou y = 1 3 , se x 6 = 1 e y 6 = 1 (a) Calcule
∂f ∂x
(1, 1) e
∂f ∂y
(b) f ´e diferenci´avel em (1, 1)?
- Verifique se a fun¸c˜ao f (x, y) =
x^3 x^2 + y^2
, se (x, y) 6 = (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) ´e diferenci´avel na origem.
- Calcule as derivadas parciais das seguintes fun¸c˜oes: (a) z = 5x^2 + 6xy + exp(2x + y) (b) w = 2xyz (c) z = 5x^4 + 6xy^3 + log(2xy) (d) w = sen
ln
xyz^2
(e) z = arctg
x^2 + y
(f) w =
x^2 − y^2 + z^2 (g) z = arcsec
x y^3
(h) w = sec
xy^2 z
(i) z = senh
xy
(j) w = 6
xyz
- Verifique que w =
x^2 − y +
y^2 + 5z
satisfaz a equa¸c˜ao 5
∂w ∂x
∂w ∂y
− 4 xy
∂w ∂z
- Verifique que as fun¸c˜oes dadas satisfazem `a equa¸c˜ao de Laplace ∂
(^2) f ∂x^2 +^
∂^2 f ∂y^2 = 0. (a) f (x, y) = ln
x^2 + y^2. (b) f (x, y) = e−x^ cos(y). (c) f (x, y) = arctg
( (^) y x
, x > 0.
- Verifique que as fun¸c˜oes dadas satisfazem `a equa¸c˜ao de Laplace em dimens˜ao 3 , ∂^2 f ∂x^2 +^
∂^2 f ∂y^2 +^
∂^2 f ∂z^2 = 0. (a) f (x, y, z) = x^2 + y^2 − 2 z^2. (b) f (x, y, z) = e^3 x+4y^ cos(5z).
- Verifique que a fun¸c˜ao f (x, y) = ln (x − y) + tg (x + y) satisfaz a equa¸c˜ao fxx − fyy = 0.
- Determine duas fun¸c˜oes distintas f (x, y) tais que fx(x, y) = 6 xy − 9 y^2 + 7 e fy (x, y) = 3x^2 − 18 xy + 3y^2.
- Calcule o gradiente das seguintes fun¸c˜oes: (a) z = (^) x (^2) +^1 y 2 (b) w = cos(xy) + sen(yz) (c) w = ln(xyz) (d) w = xyz (e) w = cos(2x) cos(3y) senh(4x) (f) w = xy ez^ +yz ex
- Sendo f (x, y, z) = x^2 + y^3 + z^4 , x = x(t, u, v), y = y(t, u, v), z = z(t, u, v) e ainda x(0, 0 , 1) = 5,
y(0, 0 , 1) = 2, z(0, 0 , 1) = −1;
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
∂x ∂u
∂y ∂u
∂z ∂u
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v
(0, 0 , 1) = 3; calcule as derivadas parciais de F (t, u, v) = f (x(t, u, v), y(t, u, v), z(t, u, v)) no ponto (0, 0 , 1).
- Usando a regra da cadeia para z = f (x, y) e w = f (x, y, z), calcule
∂z ∂t
∂z ∂s
e
∂w ∂t
∂w ∂s
e
∂w ∂r
(a) z = e
yx , x = 2s cos(t), y = 4s sen(t) (b) z = x^2 + y^2 , x = cosh (s) cos(t), y = senh (s) sen(t) (c) z = arcsen (3x + y), x = s^2 , y = sen(st) (d) w = xey^ , x = arctg (rst), y = ln (3rs + 5st) (e) w = x^2 + y^2 + z^2 , x = r sen (t) cos (s), y = r sen (t) sen (s), z = r cos (t)
- Se z = f (x, y) ´e diferenci´avel, x = r cos θ e y = r sen θ, verifique: ∂z ∂x
∂z ∂r
cos (θ) −
∂z ∂θ
sen (θ) r
∂z ∂y
∂z ∂r
sen (θ) +
∂z ∂θ
cos (θ) r
- Sejam f (x, y) e g (x, y) fun¸c˜oes diferenci´aveis tais que: ∂f ∂x
∂g ∂y
e ∂f ∂y
∂g ∂x
. Se x = r cos θ e
y = r sen θ, verifique que
∂f ∂r
r
∂g ∂θ
e
∂g ∂r
r
∂f ∂θ
- Verifique que se w = f (x, y, z) ´e diferenci´avel e homogˆenea de grau n, ent˜ao
x ∂f ∂x
= nf (x, y, z).
- Sendo x (ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ cos θ, y (ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ sen θ e z (ρ, θ, ϕ) = ρ cos ϕ,
f (x, y, z) = y x
exp
x^2 + y^2 + z^2
x^2 + y^2 √ x^2 + y^2 + z^2
e F (ρ, θ, ϕ) = f (x, y, z), calcule
∂^2 F ∂ρ∂ϕ
1 , π 3 , π 4
- Suponha que w = f (x, y) tem parciais de primeira e segunda ordens cont´ınuas, e que F (ρ, θ) = f (x (r, θ) , y (r, θ)), onde x (r, θ) = r cos θ e y (r, θ) = r sen θ. Mostre que: se ∆f = ∂^2 f ∂x^2
∂^2 f ∂y^2
, ent˜ao ∆f =
∂^2 F
∂r^2
r
∂F
∂r
r^2
∂^2 F
∂θ^2
- Se o raio r e a altura h de um tanque cˆonico decrescem `a raz˜ao de 0, 3 cm/h e 0, 2 cm/h respectivamente, determine a raz˜ao de decrescimento do volume do tanque quando r = 6 cm e h = 30 cm.
- Num certo instante, a altura de um cone ´e 30cm e o raio da base ´e 20 cm e cresce
a raz˜ao de 1 cm/seg. Qual ´e a velocidade com que a altura aumenta no instante em que o volume crescea raz˜ao de 2000 3 πcm
(^3) /seg?
- Determine a derivada direcional da fun¸c˜ao dada no ponto P 0 e na dire¸c˜ao v: (a) f (x, y) = x^2 + y^2 ; P 0 = (2, 1); v =
cos
( (^) π 6
, sen
( (^) π 6
(b) f (x, y) = ln
x^2 + y^2
; (1, 0); v =
cos
( (^) π 3
, sen
( (^) π 3
(c) f (x, y) = ey^ cos x + ex^ cos y; P 0 = (0, 0); v = (1, 1). (d) f (x, y, z) = 3x^2 + y^2 − 4 z^2 ; P 0 = (1, 1 , 1); v =
cos
( (^) π 3
, cos
( (^) π 4
, cos
( (^2) π 3
(e) f (x, y, z) = arcsec(xyz); P 0 = (1, 1 , 2) ; v = (0, 1 , 1)
- Determine o valor m´aximo da derivada direcional de f no ponto dado P 0 e a dire¸c˜ao em que ocorre: (a) z = 2^2 y^ arctg
( (^) y 3 x
, P 0 = (1, 3). (b) w = cosh(xyz), P 0 = (1, 0 , 1).
- Considere a fun¸c˜ao f (x, y) =
4 x^2 + y^2 + 64
(a) Esboce as curvas de n´ıvel c = 5, z = 8 e z = 10. (b) Esboce o gr´afico de f. (c) Suponha que a fun¸c˜ao f descreve a topografia de uma montanha. Se uma pessoa est´a no ponto (0, 4 , 8) e deseja descer o mais r´apido poss´ıvel, determine um vetor do R^2 que indica a dire¸c˜ao inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.
- A temperatura do ar em certa altitude ´e dada por f (x, y, z) = x^2 + xyz − xz. Um avi˜ao locaizado no ponto (1, 2 , 1) deseja resfriar o motor o mais rapidamente poss´ıvel. Em que dire¸c˜ao deve voar?
- Classifique os pontos cr´ıticos de: (a) f (x, y) = 2x^3 + y^3 − 6 x − 27 y + 2. (b) f (x, y) = − 14 x^4 − 14 y^4 + x + y. (c) f (x, y) = x^5 + y^5 − 5 x − 5 y. (d) f (x, y) = x^2 − 2 xy + y^2. (e) f (x, y) = e1+x
(^2) +y (^2). (f) f (x, y) = (^2) xx 2 +2+yy 2 +1+. (g) f (x, y) = ex^ sen (y), 0 ≤ x ≤ 2 π (h) f (x, y) = ey^ + ex^ − exy
- A distribui¸c˜ao de temperatura na chapa retangular R definida por
R =
(x, y) ∈ R^2 ; − 2 ≤ x ≤ 4, − 1 ≤ y ≤ 3
´e dada por T (x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2. Ache as temperaturas m´axima e m´ınima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.
- A temperatura no ponto (x, y) da placa circular x^2 + y^2 ≤ 1 ´e dada por T (x, y) = x^2 − y^2 + 2xy + 4. Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa.
- Uma calha deve ser constru´ıda com uma folha de a¸co, de largura a e comprimento b. Se a se¸c˜ao da calha ´e um trap´ezio is´osceles, qual deve ser a largura da base e a inclina¸c˜ao das faces para que sua capacidade seja m´axima?
- Encontre os pontos de m´aximo e m´ınimo absoluto da fun¸c˜ao f (x, y) = x + 3y + 5 com a restri¸c˜ao x^2 + y^2 = 1.
- Encontre os pontos de m´aximo e m´ınimo absoluto de f (x, y) = x^2 +y^2 +y em A =
(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 ≤ 1
- Ache os extremos de f (x, y) = y^2 − 4 xy + 4x^2 , sujeito ao v´ınculo g(x, y) = x^2 + y^2 − 1 = 0.
- Uma aplica¸c˜ao num doente de x miligramas de um rem´edio A e y miligramas de um medicamento B ocasiona uma resposta R (x, y) = x^2 y^3 (c − x − y), c > 0. Que quantidade de cada rem´edio dar´a a melhor resposta?
- Determine a equa¸c˜ao do elips´oide
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
= 1 que passa pelo ponto (1, 2 , 3) e tem menor volume. (O volume do elipso´ıde ´e V = f (a, b, c) = 4 abcπ 3 ).
- Um dep´osito cil´ındrico fechado de a¸co deve conter 2 litros de um fluido. Determine as dimens˜oes do dep´osito de modo que a quantidade de material usada em sua constru¸c˜ao seja m´ınima.
- Um fio de cobre de comprimento a, deve ser dividido em 3 partes tais que o produto dos comprimentos das partes seja m´aximo. Determine o comprimento dessas partes.
- Determine os pontos da curva x^6 + y^6 = 1 mais afastados e os mais pr´oximos da origem.
- Determine o valor m´aximo de f (x, y, z) = 2x + 2y − z sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.
- Determine o valor m´ınimo de f (x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 sobre o plano x − y − z = 1.
- Determine a distˆancia m´ınima entre a superf´ıcie 4x^2 + y^2 − z = 0 e o ponto (0, 0 , 8).
- Se uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume fixo V , que dimens˜oes relativas minimizar˜ao a ´area da superf´ıcie?
- De todos os paralelep´ıpedos retangulares cuja soma das arestas ´e constante e igual a a (a > 0), qual ´e o que tem volume m´aximo?
- Determine as dimens˜oes do paralelep´ıpedo retangular de volume m´aximo sabendo que as 3 faces do par- alelep´ıpedo est˜ao nos planos coordenados e um v´ertice pertence ao plano x a +^
y b +^
z c = 1 (a,b,c >^ 0). Calcule o volume.
- Ache o volume do maior paralelep´ıpedo que pode ser inscrito no elips´oide x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 1, se os faces devem ser paralelas aos eixos coordenados.
- Determine o ponto da reta interse¸c˜ao dos planos x + y + z = 1 e 3x + 2y + z = 6 mais pr´oximo da origem.
- Determine o ponto do plano x + 2y + 3z = 6 mais pr´oximo da origem..
- A companhia Mochilas S.A. usou informa¸c˜oes antigas para estabelecer os seguintes dados sobre as mochilas que fabica, do modelo I e do modelo II, conforme a tabela abaixo. Modelo Quant. produzida e vendida (por dia) Pre¸co de venda em reais I x 80 − x II y 50 − y O custo para fabricar (por dia) x unidades do modelo I e y unidades do modelo II ´e C(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2xy. (a) Mostre que a fun¸c˜ao lucro ´e L(x, y) = − 2 x^2 − 3 y^2 + 80x + 50y − 2 xy. (b) Que quantidade de cada modelo deve ser programada, para que o lucro seja m´axima? Qual ´e o lucro m´aximo?
