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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo III
LEMBRETE:quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II
Módulo III
Neste Módulo apresentaremos um dos principais assuntos tratados em concursos públicos e um dos mais temíveis por parte dos alunos: “Progressão Aritmética e Progressão Geométrica”. Pesquisei sobre a História das Progressões e encontrei um link que você deve ler antes de começar nossa aula: http://www.unopec.com.br/revistaintellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf
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Progressões Aritméticas (P.A.)
É uma sucessão de termos em que a diferença de cada termo e seu precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Essa diferença é chamada razão da progressão aritmética.
Na seqüência genérica (a 1 ,a 2 ,a 3 ...a (^) n − 1 ,a (^) n ), temos: a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = ... = a (^) n -a (^) n − 1 = r = razão da P. A.
Exemplo:
(3, 8, 13, 18) é uma P.A., onde a 1 = 3 e r = 5
A P.A. é finita ou limitada , se tiver número finito de termos. A P.A. é infinita ou ilimitada , se tiver número infinito de termos.
Classificação: Quanto ao valor da razão, uma P.A., pode ser:
- Crescente, se r 〉 0 Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9) = r = 2
-Decrescente, se r 〈 0 Exemplo: (6, 4, 2, 0) = r = -
- Estacionária ou constante, se r = 0 Exemplo: (5, 5, 5, 5) = r = 0
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a (^) n = a 1 + ( n − 1 )⋅ r a 10 = 1 + (10-1) ⋅ 2 a 10 = 1 + 9 ⋅ 2 a 10 = 19
Resposta: O 10 0 termo é o número 19.
- Numa P.A., o 1 0 termo vale 2 e o 6 0 termo vale 17. Calcular a razão.
Solução:
a 1 = 2 a 6 = 17 r =? n = 6 a (^) n = a 1 + ( n − 1 )⋅ r a 6 = a 1 + ( n − 1 )⋅ r 17 = 2 + (6 - 1) ⋅ r 17 = 2 + 4⋅ r -5 r = 2 - 17 r = (^155) r = 3
Resposta: A razão é 3.
Esclarecimentos: Mas de onde eu tirei n = 6? O problema está me dizendo que o 1 0 termo vale 2, isto é, a 1 = 2 e o 6 0 termo vale 17, isto é, a 6 = 17 → 6 0 lugar está o número 17, então, n = 6.
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Poderíamos, também completar a P.A.:
- Sabemos que o 1 0 termo é 2 e que o 6 0 termo (último termo) é 17, então:
P.A. = (2, ..., 17)
Achamos a razão que é 3 → r = 3, então:
P.A. = (2, 5, 8, 11, 14, 17)
2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 11 + 3 = 14 14 + 3 = 17
Propriedades (P.A.)
1 0 ) Em toda a P.A., um termo qualquer, excetuando-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.
(1, 3, 5, 7, 9) = 5 + 2 9 = 7^ a^3^^ + 2 a^5^ = a 4
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) 3 + 2 7 = 5^ a^2^^2 +^ a^4^ = a 3 (^1 5 ) 2
a + a (^) = a
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- Qual é o valor de x , dados os números ( x + 1, 10, x + 15) em P.A.?
Solução:
P.A.: ( x + 1, 10, x + 15)
Aplicando a 3 a^ propriedade
1 15 10 2 1
x + + x + (^) =
2 16 20 2 20 16 2 4 4 2
x x x x
- Encontre o valor de a − , sabendo-se que 2 a, a + 10, a + 18 formam progressão aritmética nesta ordem.
Solução:
PA = (2 a, a + 10, a + 18)
(^2 18 ) 2 2 18 2( 10) 3 18 2 20 3 2 20 18
a a (^) a
a a a a a a a
Resposta
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PA = (2a, a + 10, a + 18) PA sendo a = 2 (4, 12, 20)
- Quanto deve valer x − a fim de que os números (4 x + 1), (x-2), ( x^2 - 5), nesta ordem fiquem em P.A.
Solução:
2
2 2 2
I II
x x x
x x x x x x x x x x x x
Resposta = x = 0 ou x = − 2
Interpolação
Interpolar ou inserir K meios aritméticos entre os termos a 1 e a (^) n significa determinar K termos que devem formar a P.A. onde a 1 e a (^) n sejam os extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é n = K + 2 e que nos falta apenas a razão da P.A. Esta razão é dada por:
1 1 r a^ n^ a k
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Resposta: O valor de S 20 = 770.
- Um produtor colheu em 10 dias sua produção de maçãs. No primeiro dia colheu 11 dúzias; no segundo dia 12 dúzias e assim por diante. Qual foi o total da produção colhida?
Solução: Progressão aritmética
10 10
r n a S
1 10 10 10
10 1
10 10
Re.
n
n
a a n r a a a Entao
S a^ a n
S S dúzias sposta
= ^ +
Prova real: Temos uma PA = r = 1 e a 10 =
PA = (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)
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Somando (11+12+13+14+15+16+17+18+19+20) temos o total de 155 dúzias.
- Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, determine o 6 0 termo da P.A.
a 1 = 15 a (^) n = a 11 = 45 n = 11 último termo fica no 11 0 lugar r =?
a (^) n = a 1 + ( n − 1 )⋅ r a 11 = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ r 45 = 15 + (11 - 1)⋅ r 45 = 15 + (10) ⋅ r
- 10 r = 15 - 45
- 10 r = - 30 r = 3 descobrimos a razão então sempre adicionamos (+3) na PA existente:
PA = (15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45) 15 + 3 = 18 18 + 3 = 21...
Então logicamente qual é o 6 0 termo da P.A.? É o n 0 30
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Progressão Geométrica (PG)
É uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo e seu precedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse quociente é chamado razão da progressão geométrica.
Na seqüência (a 1 , a 2 , a 3 , .... a (^) n − 1 , a (^) n ), temos 2 3 1 2 1
n n
q a^ a^ a = (^) a = (^) a = ⋅⋅⋅ = a (^) −
q = razão da P.G.
Exemplo:
(1, 2, 4, 8, 16) é uma P.G. onde a 1 = 1 e q = 2
A P.G. é finita ou limitada , se tiver um número finito de termos. A P.G. é infinita ou ilimitada , se tiver um número infinito de termos.
Classificação da P.G.
Quanto ao valor da razão:
a) se a 1 (^) 〉 0 e q 〉 1 Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16)
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b) se a 1 (^) 〈 0 e 0 〈 〈 q 1 Exemplo: (-8, -4, -2, -1)
a) se a 1 (^) 〉 0 e a q 〈 〈 1 Exemplo: (20, 10, 5)
b) se a 1 (^) 〈 0 e q 〉 1 Exemplo: (-1, -2, -4, -8)
- Oscilante, quando q 〈 0 Exemplo: (-2, -6, -18, -54)
- Estacionária, quando q = 1 Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2)
Fórmula do termo geral
a n = a ⋅ qn −
Exemplo: Calcular o 1 0 termo da P.G. cujo 6 0 termo vale 1 e a razão 2.
Solução:
a 1 =? a 6 = a 1 ⋅ q n −^1 a 6 = 1 1 = a 1 ⋅ 2 6 1− q = 2 1 = 2 5 ⋅ a 1
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(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...) = a 2 = a 1 (^) ⋅ a 3
- Em toda PG limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
(1, 2, 4, 8, 16, 32) = 2⋅ 16=1. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) = a 2 (^) ⋅ a 5 = a 1 (^) ⋅ a 6
- Em uma PG de número ímpar de termos, o termo central em módulo é média geométrica entre os extremos.
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) = a 3 = a 1 (^) ⋅ a 5
Interpolação
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os termos a 1 e a (^) n significa determinar k termos que devem formar uma PG onde a 1 e a (^) n sejam extremos. Podemos observar que a quantidade de termos é n = k + 2 e que nos falta apenas a razão da PG. Essa razão é dada por:
q = k+1 an a 1
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Exercícios
- O 3 0 e o 5 0 termo de uma progressão geométrica crescente valem 1 e 9, respectivamente. Calcule o 4 0 termo:
PG = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) PG = ( a 1 , a 2 (^) ,1, a 4 ,9) 1 9⋅ = 9 = 3 a 4 = 3 1 a^ propriedade
- Calcule x , se x , x + 2 e x + 6 estão em progressão geométrica, nesta ordem:
Solução:
PG = ( x , x + 2 , x + 6 )
x ⋅ ( x + 6) = x + 2
( Ι ) x^2 + 6 x = x^2^ + 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 ( ΙΙ )
2 x = 4 4 x = 2
Resposta
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k = 3 q =^4
n = k + 2 q =^4
n = 3 + 2 n = 5
a 1 = 3
a 5 = 243
Sabemos que a razão é 3, então:
PG = (3, 9, 27, 81, 243)
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Soma dos termos da PG finita
A soma dos termos de uma PG finita é dada por:
1 1 Sn a q^ n^ a q
− ou^
1 (^ 1)
n n S a^ q q
Exemplo:
Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, ...)
Solução:
S 10 =? 1
n n S a^ q q
a 10 =? S 10 = (^ )
n = 10 S 10 = 1023 Resposta a 1 = 1 q = 2
Soma de PG decrescente e ilimitada
Uma PG é decrescente e ilimitada se / q / 1〈 e n →∝. Numa PG decrescente e ilimitada, quando n →∝ , o último termo tende a zero.
