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7. Autovalores e Autovetores
7.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear
Seja T :V→ Vum operador linear. Um vetor v ∈∈∈∈ V , v ≠≠≠≠ 0 , é autovetor ou vetor próprio do operador T se existe λ ∈ℜ tal que:
T^ ((((^ v ))))^ ====λλλλ⋅⋅⋅⋅ v
O número real λλλλ tal que T ( v) = λ⋅v é denominado autovalor ou valor próprio de T
associado ao autovetor v.
Observações:
1) Como se vê pela definição, um vetor v ≠ 0 é autovetor se a imagem T ( v)for um múltiplo escalar
de v. No ℜ 2 e no ℜ 3 diríamos que v e T ( v)têm a mesma direção. Assim, dependendo do valor de
λ , o operador T dilata v , contrai v , inverte o sentido de v ou o anula no caso de λ = 0.
x
y
vetor qualquer v
v
x
y
T(x, y) = (2x, 2y) = 2v O vetor v dilata por um fator 2
2v
v é um autovetor autovalor: λ= 2
x
y
vetor qualquer v
v
x
y
T(v) = (x, 2y) O vetor v não mantém a direção
(x, 2y)
v não é um autovetor
Os autovetores ou vetores próprios são também denominados vetores característicos.
Os autovalores ou valores próprios são também denominados valores característicos.
Resumo:
Generalizando, todo operador T :V→ Vdefinido por T ( v) = λ⋅vtêm: a) λλλλ >>>> 1 ⇒ dilata o vetor v. b) λλλλ <<<< 1 ⇒ contrai o vetor v. c) λλλλ ==== 1 ⇒ transformação identidade. d) λλλλ <<<< 0 ⇒ inverte o sentido do vetor v. e) λλλλ ==== 0 ⇒ anula a transformação.
EXERCÍCIO PROPOSTO :
- Dada a transformação linear T :ℜ 2 →ℜ^2 definida T ( x,y) =( 4 x+ 3 y, 2 x−y)
verificar, aplicando a definição, se os vetores u = ( 3 , 1 ) e v = ( 5 , 2 ) são autovetores deste operador linear.
7.2 Determinação dos Autovalores e Autovetores de um Operador Linear
A grande indagação neste ponto não é a de simplesmente verificar se um vetor é ou não um autovetor de um operador linear, mas sim, a de encontrar todos os autovetores deste operador linear.
1) Determinação dos autovalores Seja T :V→ Vum operador linear definido por sua matriz de transformação A , isto é, T (((( v )))) ==== A ⋅⋅⋅⋅ v Um vetor v é autovetor se: T^ ((((^ v ))))^ ====λλλλ⋅⋅⋅⋅ v
EXERCÍCIOS PROPOSTOS :
- Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear: T :ℜ 2 →ℜ^2 , T ( x,y) = ( 2 x+ 2 y,x+ 3 y).
- Determinar os autovalores e os autovetores do ℜ 2 da seguinte matriz:
−^3 5 −^45 .
- Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear: T :ℜ 3 →ℜ^3 , T ( x,y,z) = ( x−y, 2 x+ 3 y+ 2 z,x+y+ 2 z).
- Determinar os autovalores e os autovetores do ℜ 3 da seguinte matriz:
7.3 Propriedades dos Autovalores e Autovetores de um Operador Linear
I) Se v é autovetor associado ao autovalor λ de um operador linear T , o vetor α v, para qualquer real α ≠ 0 , é também autovetor de T associado ao mesmo λ.
Demonstração:
De fato, se v é autovetor associado ao autovalor λ de um operador linear T , então T (((( v )))) ====λλλλ⋅⋅⋅⋅ v Aplicando a transformação sobre o vetor α v, tem-se: T (α ⋅v) =α⋅T(v ) =α⋅( λ⋅v) ou ainda, T (((( αααα⋅⋅⋅⋅ v )))) ====λλλλ⋅⋅⋅⋅(((( αααα⋅⋅⋅⋅ v ))))
o que prova que o vetor α vé também autovetor associado ao autovalor λ.
Observação: Tendo em vista que α vé autovetor associado ao autovalor λ , fazendo
v α =^1
pode-se obter sempre um autovetor unitário associado ao autovalor λ.
II) Se λ é um autovalor de um operador linear T :V→ V, o conjunto S (^) λde todos os vetores v ∈ V, inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor λ , é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
Se v 1 , v 2 ∈ Sλ, então para S (^) λ ser um subespaço vetorial de V , devemos provar que v 1 + v 2 ∈S λe que α ⋅v 1 ∈Sλ. De fato, se v 1 ,v 2 ∈ Sλ, então T ( v 1 +v 2 ) =T( v 1 ) +T(v 2 ) =λ⋅v 1 +λ⋅v 2 =λ⋅(v 1 +v 2 )
e, portanto, v 1 + v 2 ∈Sλ. Analogamente, se v 1 ∈ Sλe α ∈ℜ, então T (α ⋅v 1 ) =α⋅T(v 1 ) =α⋅λ⋅v 1 =λ⋅(α ⋅v 1 )
e, portanto, v 1 ∈ Sλpara qualquer α ∈ℜ.
Conclusão, S (^) λλλλ===={{{{ v ∈∈∈∈ V/T (((( v ))))====λλλλ⋅⋅⋅⋅ v }}}}
é um subespaço vetorial de V.
Observação: O subespaço S (^) λ é denominado de subespaço associado ao autovalor λ ou espaço característico de T correspondente a λ ou auto-espaço associado a λ.
( a 1 ⋅λ 1 ⋅v 1 +a 2 ⋅λ 2 ⋅v 2 ) −( a 1 ⋅λ 1 ⋅v 1 +a 2 ⋅λ 1 ⋅v 2 ) = 0 − 0 a 1 ⋅λ 1 ⋅v 1 +a 2 ⋅λ 2 ⋅v 2 −a 1 ⋅λ 1 ⋅v 1 −a 2 ⋅λ 1 ⋅v 2 = 0 a 2 ⋅λ 2 ⋅v 2 −a 2 ⋅λ 1 ⋅v 2 = 0 a 2 ⋅ ( λ 2 ⋅v 2 −λ 1 ⋅v 2 ) = 0 a 2 ⋅ ( λ 2 −λ 1 ) ⋅v 2 = 0
entretanto, λ 1 e λ 2 são distintos, isto é λ 2 −λ 1 ≠ 0
e como v 2 ≠ 0 , pois por definição um autovetor é não nulo, necessariamente, na igualdade:
a 2 ⋅ ( λ 2 −λ 1 ) ⋅v 2 = 0 tem-se: a 2 ==== 0
sabendo que v 1 ≠ 0 , pois ele também é um autovetor, então na igualdade:
a 1 ⋅v 1 +a 2 ⋅v 2 = 0 tem-se: a 1 ==== 0 Conclusão, o conjunto {{{{ v 1 ,v 2 }}}}é linearmente independente.
7.4.2 Corolário
Sempre que tivermos um operador T :ℜ 2 →ℜ^2 com λ 1 ≠λ 2 , o conjunto {v 1 ,v 2 }, formado pelos autovetores associados, será uma base de ℜ^2. Este fato vale em geral, isto é, se T :V→ V é linear, dim V= ne T possui n autovalores distintos, o conjunto {{{{ v^ 1 , v 2 , K , vn }}}} , formados pelos autovetores associados, é uma base de V.
Exemplo 1. Seja o operador linear T :ℜ 2 →ℜ^2 , T ( x,y) = ( − 3 x− 5 y, 2 y), determine uma base de ℜ 2 formada pelos autovetores desse operador.
Solução : A matriz canônica de T é:
[ ]T (^) = (^) ^ − 03 − 25 A equação característica de T é: det ( A−λ⋅Id) =−^30 −λ 2 −−^5 λ= 0
ou ( − 3 −λ) ⋅( 2 −λ) = 0 λ^2 +λ− 6 = 0 cuja solução é: λ 1 = 2 e λ 2 =− 3
sendo portanto os autovalores desse operador. Como λ 1 ≠λ 2 , os correspondentes autovetores formam uma base de ℜ 2. Calculando os autovetores através da substituição dos autovalores em: − 30 −λ 2 −− (^5) λ⋅yx= 00
obteremos: para λ 1 = 2 os autovetores v 1 = x( 1 ,− 1 ); para λ 2 =− 3 os autovetores v 2 = x(− 1 , 0 ). Portanto, o conjunto: { ( 1 , − 1 ), ( − 1 , 0 )} é uma base de ℜ^2.
Observação: A recíproca do corolário também é válida, ou seja, sempre que tivermos uma base de um espaço vetorial formada por autovetores e conhecermos os autovalores associados correspondentes, poderemos determinar o respectivo operador nesse espaço, isto é, a lei que define o operador linear.
T ( v 2 ) =λ 2 ⋅v 2 = 0 ⋅v 1 +λ 2 ⋅v 2 + 0 ⋅v 3 T ( v 3 ) =λ 3 ⋅v 3 = 0 ⋅v 1 + 0 ⋅v 2 +λ 3 ⋅v 3
o operador T é representado na base P dos autovetores pela matriz diagonal:
[ ] D 0 0
T
3
2
1 P =
λ
λ
λ
constituída de autovalores na diagonal principal. Sendo A a matriz canônica do operador T , isto é, [T^ ] = A, as matrizes A e D são semelhantes por representarem o mesmo operador T em bases diferentes. Logo, a relação entre matrizes semelhantes permite escrever:
D = M−^1 ⋅A⋅ M sendo M a matriz mudança de base P para a canônica C = {e 1 ,e 2 ,e 3 }, onde e 1 = ( 1 , 0 , 0 ), e 2 = ( 0 , 1 , 0 )e e 3 = ( 0 , 0 , 1 ). Como: M = [I ]PC =C−^1 ⋅P=I−^1 ⋅P=P
a relação anterior escreve-se:
D ==== P −−−−^1 ⋅⋅⋅⋅ A ⋅⋅⋅⋅ P sendo P a matriz cujas colunas são os autovetores do operador T (estamos designando por P tanto a base dos autovetores quanto a matriz acima descrita: no contexto identifica-se quando é uma e quando é outra ). A relação motiva a definição a seguir: A matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P −^1 ⋅A⋅P seja diagonal. Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A , ou que P é a matriz diagonalizadora. A definição acima pode ser expressa de modo equivalente: U m operador linear T :V→ V é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T.
7.4.4 Propriedades da Diagonalização de Matrizes Simétricas
I) A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais. Será apresentada apenas a demonstração para o caso de uma matriz simétrica A de ordem 2. De fato: Seja a matriz A= (^) pr qr A equação característica de A é: det ( A−λId) = pr−λ q−rλ = 0
isto é: ( p −λ) ⋅( q−λ) −r^2 = 0 ou, p q−λp−λq+λ^2 −r^2 = 0 λ^2 − (p +q) λ+(p q−r^2 ) = 0 O discriminante dessa equação do 2º grau em λ é: (p +q) 2 − 4 (p q−r^2 ) =p^2 + 2 pq+q^2 − 4 pq+ 4 r^2 =p^2 − 2 pq+q^2 + 4 r^2 =(p −q) 2 + 4 r^2 Tendo em vista que esse discriminante é uma soma de quadrados (não-negativa), as raízes da equação característica são reais e, por conseguinte, a matriz A possui dois valores próprios. Deste modo, podemos concluir que um operador linear simétrico possui grandes chances de apresentar uma base formada por autovetores e, por conseqüência, apresentar uma matriz que diagonaliza.
Exemplo 2. Determinar uma matriz P que diagonaliza:
A
e calcular a matriz diagonal P −^1 ⋅A⋅P.
Solução : No exercício proposto número 5 já foi calculado os autovalores e os autovetores de A e encontramos λ 1 = 2 e v 1 = ( 1 , 0 ,− 1 ), λ 2 = 3 e v 2 = ( 1 , 1 , 1 ), λ 3 = 6 e v 3 = ( 1 ,− 2 , 1 ). Como os λ (^) i são distintos, o conjunto P = {v 1 ,v 2 ,v 3 } forma base do ℜ 3 e, portanto, a matriz:
P
diagonaliza A. Calculemos:
P 1 A P
P 1 A P
D
P 1 A P =
Observação: Se forem trocadas as colunas dos autovetores em P , então também será trocada a coluna da matriz diagonal D de forma respectiva.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS :
- Seja T :ℜ 2 →ℜ^2 um operador linear dado por
T ( x,y) =( 4 x+ 5 y, 2 x+y) Encontrar uma base de ℜ 2 em relação à qual a matriz de T é diagonal, em seguida, calcule a matriz diagonal P −^1 ⋅A⋅P.
- Determinar uma matriz P que diagonaliza:
A
e calcular a matriz diagonal P −^1 ⋅A⋅P.
- Encontre a transformação linear T :ℜ^2 →ℜ^2 , tal que T tenha autovalores 1 e 3 associados aos autovetores ( y, − y)e ( 0 , y), respectivamente.
- Determinar o operador linear T :ℜ^2 →ℜ^2 , cujos autovalores são λ 1 = 3 e λ 2 =− 2 associados aos autovetores v 1 = x( 1 , 2 )e v 2 = x( − 1 , 0 ), respectivamente.
- a) Quais são os autovalores e os autovetores da matriz identidade? b) Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são autovalores de um operador linear T :ℜ 2 →ℜ^2 , associados aos autovetores u = ( 2 , 1 )e v = ( − 1 , 3 ), respectivamente, determinar T ( 3 u− v). c) Mostrar que se u e v são autovetores de uma transformação linear associados a λ , então αu −βv é também autovetor associado ao mesmo λ.
- Os vetores v 1 = ( 1 , 1 ) e v 2 = ( 2 ,− 1 ) são autovetores de um operador linear T :ℜ 2 →ℜ^2 , associados a λ 1 = 5 e λ 2 =− 1 , respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = ( 4 , 1 )por esse operador.
- Seja T :ℜ^2 →ℜ^2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = ( 2 , 1 ) e triplica o comprimento do vetor v = ( 1 , 2 ), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. a) Determinar T ( x,y). b) Calcular T ( 0 , 3 ).
- Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P −^1 ⋅A⋅P.
a) (^) 32 14
b) (^) 49 61
c) (^) ^15 − 31
d)
e)
f)
- Seja T :ℜ 2 →ℜ^2 um operador linear dado por
T ( x,y) =( 7 x− 4 y,− 4 x+y)
a) Determinar uma base do ℜ 2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal. b) Dar a matriz T nessa base.
- a) P = (^) −^1134 e P −^1 ⋅A⋅P=− 02 50
b) P = (^) 11 −^14 e P −^1 ⋅A⋅P=^10050
c) Não diagonalizável
d)
P e
P 1 A P
e) Não diagonalizável
f)
P e
P 1 A P
- a) {( − 2 , 1 ), ( 1 , 2 )}
b) (^) 09 −^0 1
