Exercícios de Álgebra Linear para Ciências Farmacêuticas: Matrizes e Sistemas, Exercícios de Matemática

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MESTRADO INTEGRADO

EM CIÊNCIAS

FARMACÊUTICAS

Susana Carreira

Conteúdos programáticos

1. Álgebra Linear. Matrizes. Propriedades básicas. Método de eliminação de Gauss. Sistemas de equações lineares. Determinantes. Propriedades. Teorema de Laplace. Regra de Cramer.
2. Análise Matemática. Funções elementares. Cálculo integral em R. Definição de primitiva e de integral indefinido. Propriedades básicas. Primitivas imediatas e quase-imediatas. Integração por partes. Integração por substituição. Definição de integral definido. O integral de Riemann. Propriedades básicas. Teorema fundamental. Uma aplicação do integral definido: cálculo de áreas de figuras planas. Introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Conceitos básicos. Solução geral. Solução particular. Condições iniciais e o Problema de Cauchy. Equações de variáveis separáveis. Equações homogéneas. Equações lineares. Equações de Bernoulli. Equações diferenciais exactas. Algumas aplicações das equações diferenciais de primeira ordem.

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1. Seja 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] (^) 2×3 a matriz definida por 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 e sejam as matrizes B e C :

B 

C

a) Escreva a matriz A. b) Indique os elementos 𝑏 21 , 𝑏 32 , 𝑐 12 e 𝑐 22 c) Resolva em ordem a X a equação: 𝐶 + 3𝑋 = 𝑋 − (2𝐵)𝑇 d) Se possível, calcule AB e BC e averigue se alguma das matrizes obtidas é simétrica. e) Calcule 4𝐼^2 − 𝐶𝐵. f) Determine a característica da matriz C e 𝐶𝑇.

2. Considere as matrizes 𝐴 = [^1 2 3 2 1

] e 𝐵 = [

].

Calcule, se possível (caso não seja possível, justifique): a) 2𝐴𝑇^ − 5𝐵. b) 𝐴𝐵 𝑒 𝐵𝐴 e diga se alguma das matrizes anteriores é simétrica.

c) 3𝐴 + (2𝐵)𝑇. d) A inversa da matriz 𝐵𝐴.

3. Considere as matrizes A e B de 4 × 4 definidas por:





 

2i se i j

1 se i j a ij 



 

2j se i j

0 se i j b ij

Diga, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações:

a) 𝐴 = 𝐵𝑇

b) 𝐴𝑇^ − 𝐼 4 = 𝐵

c) 𝐴 + 𝐵 = (𝐴 + 𝐵)𝑇

d) 𝐴 − 𝐵𝑇^ é uma matriz escalar

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4. Se possível, e justificando , dê exemplo de:

a) Uma matriz de ordem 3 com caraterística 3 e com os elementos 𝑎𝑖,𝑖 = 0.

b) Uma matriz de ordem 4 triangular superior, tal que: 𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 + 𝑎4,1 = 10.

c) Uma matriz de ordem 2 que não seja diagonal e que tenha caraterística 2.

5. Dadas as matrizes A , B , C :

𝐴 = [

] 𝐵 = [

] 𝐶4×3 = [𝑐𝑖𝑗] , 𝑐𝑖𝑗 = {

a) Calcule (𝐵 + 2𝐴)𝑇^ − (𝐴 + 2𝐵)𝑇^. b) Determine as matrizes AC e CB. c) Mostre que a matriz CTC é uma matriz simétrica. d) Determine car( B ).

6. Dadas as matrizes P e Q : 𝑃 = [

] e 𝑄 = [^1 1 0 2 −

]

a) Determine 2𝑄 − 4𝑃𝑇^.

b) Determine (𝑃𝑄)𝑇. c) Determine a matriz X tal que: 2𝑋 − (𝑄𝑃)𝑇^ + 𝐼 = 𝑋 − 𝐼.

7. Considere as matrizes reais:

𝐴 = [

] 𝐵 = [

] 𝐶 = [

] 𝐷 = [

]

𝐸 = [2 4 7]^ 𝐹 = [

]

Calcule, se possível : 𝐴𝐵, 𝐵𝑇𝐷, 𝐴𝐷, 𝐶𝐴, 𝐶^2 , 𝐷𝐹, 𝐸𝐷, 𝐸𝐹, 𝐹𝐸, 𝐷𝐷𝑇.

8. Se possível, e justificando, dê exemplo de:

a) Uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖,𝑗]4x4, com 𝑎𝑖,𝑗 = 0 para 𝑖 = 𝑗 que seja invertível.

b) Uma matriz 𝐵 = [𝑏𝑖,𝑗]2x4 simétrica.

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12. Considere a matriz 𝑃 = [

__ __ 3 __

__ 2 0 __

__ __ −1 __

__ __ 0 __

]. Se possível, complete a matriz de modo que:

a) Seja simétrica. b) Seja triangular superior. c) Seja triangular inferior d) Seja diagonal. e) Seja invertível. f) Tenha característica 2.

13. Considere as matrizes 𝐴 = [

] e 𝐵 = [

]

a) Considere 𝑘 = 2 e calcule 𝐴𝑇^ + 2𝐵.

b) Para 𝑘 = 0, determine uma matriz X, de modo que 2𝐴 − 𝑋 = 𝐵𝑇^ + 𝐼 3. c) Calcule, para 𝑘 = 1, a matriz inversa de A. d) Para 𝑘 = 1, determine a matriz C tal que 𝐴𝐶 = 𝐵 + 𝐴^2.

14. Se possível e justificando , dê exemplo de:

a) Uma matriz de ordem 3 simétrica. b) Uma matriz de ordem 5 triangular inferior, tal que 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑖 + 𝑗, para 𝑖 = 𝑗. c) Uma matriz de ordem 4 que seja simultaneamente triangular superior e inferior. d) Uma matriz coluna de ordem 4 com característica 4. e) Uma matriz que seja simultaneamente linha e coluna.

15. Diga, justificando , o valor lógico de cada uma das afirmações seguintes. a) É possível encontrar duas matrizes quadradas não nulas A e B , tal que 𝐴𝐵 = 𝑂. b) Quaisquer que sejam as matrizes quadradas A e B, verifica-se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. c) Toda a matriz diagonal é uma matriz escalar.

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16. Considere as matrizes A do tipo 3 × 4 e B do tipo 4 × 3 nas seguintes condições

0 𝑠𝑒 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 𝑖 + 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

(−1)𝑖^ 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗

a) Escreva as matrizes A e B. b) Determine a característica de 2𝐵. c) Calcule (2𝐴 − 𝐵𝑇)𝑇.

17. Considere as matrizes M do tipo 4 × 3 e N do tipo 3 × 4 nas seguintes condições

1 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 é 𝑝𝑎𝑟 −1 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

a) Escreva as matrizes M e N. b) Determine a característica de 𝑁𝑇. c) Calcule (3𝑀𝑇^ − 2𝑁)𝑇. d) Determine a matriz NM e calcule a sua característica.

18. Considere as matrizes

𝐴 = [

] e 𝐵 = [

]

a) Resolva, em ordem a 𝑋, a equação: A  2 X  X  3 BT. b) Diga, justificando, se a matriz 𝐴𝐵 é simétrica. c) Mostre, justificando, que o sistema 𝐵𝑋 = 𝑂 admite uma infinidade de soluções.

19. Dadas as matrizes 𝑃 = [

] e 𝑄 = [

].

a) Determine 𝑃^2 e indique a sua característica. b) Resolva em ordem a X a equação: 𝑋𝑇^ − 𝑃𝑄 = 2𝑄. c) Determine, se possível, uma matriz R tal que 𝑄𝑇𝑅 = 𝐼.

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c) Determine a característica de C. d) Determine 𝐵𝐶𝑇.

e) Calcule 𝐶^2 − 𝐵𝐶𝑇. f) Diga, justificando , se é verdadeira ou falsa, cada uma das afirmações seguintes: i) Uma das matrizes A, B, ou C é uma matriz diagonal. ii) Uma das matrizes A, B, ou C é uma matriz triangular superior. iii) Uma das matrizes A, B, ou C é simétrica. iv) É possível calcular 𝐴 × 𝐵 mas não é possível calcular 𝐵 × 𝐴.

24. Diga , justificando , se é verdadeira ou falsa, cada uma das afirmações seguintes: a) Uma matriz não nula triangular superior não pode ser uma matriz simétrica. b) Uma matriz não nula de 3x5 poderá ter característica 5. c) Uma matriz e a sua transposta nunca são do mesmo tipo. d) Toda a matriz não nula de ordem 3 tem característica 3. e) Uma matriz pode sempre multiplicar-se pela sua transposta. f) Uma matriz com caraterística 3 pode ter apenas 2 colunas. 25. Se possível , dê exemplo de: a) Uma matriz não nula de ordem 3, triangular superior e com uma linha de elementos nulos. b) Uma matriz do tipo 3 × 4 com característica 2. c) Uma matriz do tipo de ordem 3 invertível. d) Uma matriz diagonal não escalar de ordem 4. e) Uma matriz triangular superior de ordem 5 com 15 entradas nulas. f) Uma matriz de ordem 4 simétrica e com característica 3. g) Uma matriz de ordem 4 que somada com ela própria dê como resultado a matriz identidade. h) Uma matriz de ordem 2 triangular inferior com todos os elementos distintos. i) Uma matriz de ordem 4 simétrica e com característica 2. j) Uma matriz não nula de ordem 3 triangular inferior, com 3 elementos negativos e 3 elementos positivos. k) Uma matriz de 4 × 2 com característica 2. l) Uma matriz de 3x1 que somada com ela própria dê como resultado uma matriz coluna com as entradas todas iguais.

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26. Sejam as matrizes A e B : 𝐴 = [

] e 𝐵 = [

]

a) Discuta a caraterística da matriz AB em função dos parâmetros a e b.

b) Faça a = −2 e b = 2. Determine as matrizes: 𝐴−1^ , 𝐵−1^ , ( 1 2

−

c) Para b = 2, determine: 8𝐵^2 × [𝐵−1^ − 𝐼 − (𝐵−1)^2 ].

27. Sejam as matrizes P , Q , R :

𝑃 = [

] 𝑄 = [

] 𝑅 = [

]

Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes, justificando.

a) Uma das matrizes P, Q, ou R é uma matriz diagonal. b) Uma das matrizes P, Q, ou R é uma matriz triangular superior. c) Uma das matrizes P, Q, ou R é simétrica. d) É possível calcular 𝑃 × 𝑅 e 𝑅 × 𝑃.

28. Preencha os espaços nas matrizes A e B, de modo que:

𝐴 = [

__ __ 1

__ __ 0

] 𝐵 = [

__ 4 1

__ 0 3

__ __ 0

]

a) A matriz A tenha caraterística 1. b) A matriz B esteja em forma de escada. c) Ambas as matrizes sejam invertíveis.

29. Seja a matriz 𝐸 = [𝑒𝑖𝑗] (^) 3×3 tal que 𝑒𝑖𝑗 = {

Diga, para cada uma das seguintes afirmações, se é verdadeira ou falsa, justificando. i) A matriz E é uma matriz triangular superior. ii) A matriz E é simétrica. iii) A matriz E é invertível. iv) Existe uma matriz X, de ordem 3, tal que: 2 E+X = X.

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35. Dadas as matrizes A , B , C :

𝐴 = [

] 𝐵 = [

] 𝐶 = [^2 −2^6

]

a) Determine a entrada 𝑓 22 da matriz F=B^2_._ Indique o processo de cálculo. b) Determine a entrada 𝑑 31 da matriz 𝐷 = (𝐶𝐴)𝑇. Indique o processo de cálculo.

36. Se possível e justificando, dê exemplo de: a) Uma matriz A não nula de ordem 4 e caraterística 3. b) Uma matriz A não nula de ordem 3 tal que: 𝐴 = 2𝐴𝑇 c) Uma matriz A de ordem 5 tal que: −2𝐴 = −4𝐼 d) Uma matriz A de ordem 4, triangular superior e tal que: 𝑎𝑖𝑗 = 4, para 𝑖 = 𝑗.

e) Duas matrizes não nulas, A e B de 3 × 4, tais que: 𝐴 − 𝐵 = [

]

f) Duas matrizes A e B , não quadradas, tais que: 𝐴𝐵 = [2]

37. Seja a matriz:

𝑃 = [

]

a) Mostre que existe um valor de x para o qual P é uma matriz triangular. Justifique. b) Diga se existe um valor de x para o qual a matriz P é uma matriz diagonal. c) Diga se existe um valor de x para o qual a matriz P é simétrica.

38. Considere as matrizes 𝐴 = [^1 2 4

] e 𝐵 = [−1^0 −2 1

]

Determine a matriz X tal que: (𝑋 + 𝐴)𝑇^ = 𝐵 − 𝑋𝑇.

39. Preencha os espaços nas matrizes A e B, de modo que:

𝐴 = [

2 __ 1

__ 4 0

__ __ 0

] 𝐵 = [

__ __ 1

2 0 __

__ 1 3

]

a) A matriz A seja triangular superior. b) A matriz A esteja em forma de escada. c) A matriz B tenha caraterística 2. d) Ambas as matrizes sejam invertíveis.

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40. Considere as matrizes 𝑃 = [

] e 𝑄 = [

].

a) Mostre que: 𝑃^2 + 𝑃 = 𝑂.

b) Mostre que: 𝑄^2 = 2𝑄.

c) Determine a matriz X tal que: 𝑃 + 𝑄𝑇^ − 2𝑋 = 𝐼 2.

41. Sejam as matrizes:  

A 

B

a) Determine as matrizes A^3 e    13 A.

b) Calcule a matriz (^) A^2 B  AB.

c) Mostre que B (^) A  (^) AB T T (^) .

d) Determine, se possível, uma matriz X tal que 2𝐴𝑋 = 3𝐼 2. e) Resolva em ordem a P a equação: (2𝐵)𝑇^ − 𝑋 = 𝑂3𝑥2.

42. Considere as matrizes U e V tais que:

𝑈 = [

] 𝑉 = [^1 −

]

a) Resolva, em ordem a X , a equação (2𝑉 − 𝑋)𝑇^ = −3𝐼^2. b) Mostre que 𝑈𝑇𝑈 é uma matriz simétrica.

c) Determine 𝑉^2. d) Mostre que 𝑈𝑇𝑈- 2𝑉^2 é uma matriz triangular. e) Mostre que a matriz 𝑈𝑈𝑇^ não é invertível.

43. Considere as matrizes A e B de 4 × 4:

0 0 _ _

_ 0 0 _

_ 2 2 2

_ _ 2 0

A

3 2 _ _

3 2 _ _

3 2 _ 0

3 _ 0 0

B

Se possível , complete as matrizes, de tal modo que:

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46. Sejam as matrizes M e N , sendo k um parâmetro real:

M = [

] N = [

]

a) Mostre que a matriz 𝑀 + 𝑁 é simétrica para qualquer valor de k.

b) Faça 𝑘 = 0. Determine a matriz  M  N ^2.

c) Determine a característica da matriz 𝑀. d) Discuta a caraterística da matriz N em função do parâmetro k. e) Faça k = 2. Determine a inversa da matriz 𝑁.

47. Considere as matrizes A, B e C :

𝐴 = [^1 − 0 −

] 𝐵 = [

] 𝐶 = [

]

a) Determine a matriz X , tal que: (𝑋 + 2𝐼)𝑇^ = 4𝐶𝑇^ − 𝑋𝑇^. b) Mostre que a matriz 𝐴^2 não é uma matriz simétrica.

c) Determine a caraterística da matriz 𝐶. Justifique. d) Usando transformações elementares, obtenha a matriz B na forma condensada.

48. Diga, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações: a) Uma matriz de 4 × 3, não nula, na forma condensada tem de ter uma ou mais linhas de zeros. b) Dadas as matrizes A e B, de ordem 3, ambas de caraterística 3, a matriz 𝐴 + 𝐵 também tem caraterística 3.

c) Existem valores de a para os quais a matriz 𝐴 = [^0 𝑎 1 𝑎

] tem caraterística 1.

49. Sejam A e B as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por:

0 se épar

se éímpar , i

i j i a (^) ij 

i j

i j b (^) i j 0 se

1 se ,

a) Determine as matrizes A e B. b) Diga, justificando, se alguma das matrizes é diagonal. c) Diga, justificando, se alguma das matrizes é triangular. d) Diga, justificando, se alguma das matrizes é invertível.

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50. Sejam as matrizes:

𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] (^) 4×3 a matriz definida por 𝑎𝑖𝑗 = {

𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] (^) 3×4 a matriz definida por 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗

a) Apresente as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵. b) Calcule a matriz 𝐵𝐴 e diga se é invertível, justificando. c) Determine a matiz 𝑋 tal que: (𝑋 + 𝐵𝐴)𝑇^ = 2(𝐵𝐴).

51. Considere as matrizes U e V , em que x é um número real:

𝑈 = [

] 𝑉 = [

]

a) Mostre que 𝑈𝑉 = (1 + 𝑥)𝑈. b) Obtenha o valor de x para o qual se verifica 𝑈𝑉 − 3𝑈 = 𝑂. c) Determine 𝑉^2.

d) Mostre que há um único valor de x para o qual 𝑉^2 é uma matriz triangular. e) Faça 𝑥 = 1. Determine a caraterística da matriz 𝑉^2.

52. Seja a matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] (^) 3×3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = {

e a matriz 𝐵 = [

].

a) Escreva a matriz A e calcule a matriz (𝐴𝐵)−1. b) Obtenha a matiz X tal que: (𝐴𝐵)−1(𝐴 + 𝐴𝐵) = 2𝑋𝐵−1. c) Diga, para cada uma das seguintes afirmações, se é verdadeira ou falsa, justificando. i) A matriz 𝐴^2 é uma matriz triangular superior.

ii) A matriz 𝐴^2 é simétrica. iii) A matriz 𝐴^2 é invertível. iv)A matriz 𝐴^2 é uma matriz escalar.

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57. Sejam as matrizes 𝐴 = [

] e 𝐵 = [

]

57.1. Qual das igualdades é verdadeira?

(a) (𝐴𝐵)𝑇^ = [−1^11 1 9

] (b) 𝐴𝐵 = [−1^11 1 9

]

(c) 𝐴 − 𝐵𝑇^ = [

] (d) 𝐴𝑇𝐵𝑇^ = [

]

57.2. Qual das igualdades é verdadeira?

(a) 𝐴 + 𝐵𝑇^ = [^0 3 1 2 −

] (b) 𝐴𝑇^ + 𝐵 = [^0 3 1 2 −

]

(c) 𝐴 − 𝐵𝑇^ = [^0 3 1 2 −

] (d) 𝐴𝑇^ + 𝐵𝑇^ = [−1^11 1 9

]

58. Considere as matrizes de 2×2:

M 

x 1

1 x N (^2)

a) Determine x de modo que 2𝑀 − 𝑁 = [^1 2 3

]

b) Determine x de modo que se tenha: M^2 N 0. c) Averigue se a matriz M é invertível.

d) Para 𝑥 = 0, determine a matriz  1 4 (^) N .

59. Determine a característica das seguintes matrizes reais:

𝐴 = [

], 𝐵 = [^5 1

], 𝐶 = [

], 𝐷 = [

]

𝐸 = [

], 𝐹 = [

], 𝐺 = [

]

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60. Sejam as matrizes: 

d

c

b

a

A

0 0 0

B

a) Determine para que valores de a , b , c , d , a matriz A é invertível e calcule 𝐴−1.

b) Determine a , b , c , d de modo que a matriz 𝐴 + 𝐵 seja invertível.

61. Seja a matriz 𝐶 = [

].

a) Determine os valores de x de modo que a matriz C seja invertível.

b) Faça x = 0. Mostre que existe a inversa de 𝐶 + 𝐼 3 mas não existe a inversa de 𝐶 − 𝐼 3.

c) Faça x = 2. Determine a matriz: 𝐶^2 (𝐼 3 + 𝐶−1)𝐶−1.

62. Discuta em função do parâmetro p a característica da matriz 𝑃 = [

].

63. Sejam as seguintes matrizes: 𝐴 = [^2 𝑎 2 2

] e 𝐵 = [𝑏^1 0 1

]

a) Mostre que a matriz AB é invertível se e só se 𝑎 ≠ 2 e 𝑏 ≠ 0.

b) Faça a = 1 e b = 2. Justifique que a matriz 𝐴 + 𝐵 é invertível mas a matriz 𝐴 − 𝐵 não é.

c) Para b = 2, determine: 𝐵 × [4𝐵−1^ − 2𝐼 + (𝐵−1)^2 ].

64. Considere as matrizes:

𝐴−1^ = [

] e 𝐵−1^ = [

1 2 1 0 0

]

a) Determine a matriz (𝐵𝐴)−1. b) Determine a matriz 𝐴𝐵. c) Mostre que 𝐵^2 = 2 × 𝐵−