Matrizes - Parte I, Exercícios de Matemática

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matrizes

Prof. Fernando Gomes Prof. Fernando Gomes

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

MATRIZ

Definição

Chama-se matriz um conjunto de números dispostos numa tabela e

distribuídos em "m" linhas e "n" colunas (m;n  N )

Representação :















 

0 5 4

3 2 1 3 2 1

0 5 4

  

 

 

3 2 1

0 5 4



 Genericame nte

11 12

21 22

31 32

b b

B b b

b b

 

 



 

 

 

I ) 2 x 3 II )^3 x^2

11 12 13

21 22 23

a a a

A

a a a

 

  

 

4 5

a a

23

: matriz "A" com 4 linhas e 5 colunas

a : elemento da matriz"A" localizado na 2 linha e 3 coluna

x

A

 Simbolicamente

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

V) Matriz Nula

Todososelementosiguaisa" zero"

0 0 0

:

0 0 0

Exemplo A

 

  

 

VI) Matriz Triangular

Um tipo de matriz quadrada onde todos

os elementos acima ou abaixo da diagonal

principal são iguais a "zero".

2 0 0

: 4 5 0

3 1 3

Exemplo A

 

 



 

     

VI) Matriz Diagonal

Um tipo de matriz quadrada onde

todos os elementos que não pertencem

a diagonal principal são iguais a "zero"

2 0 0

: 0 5 0

0 0 3

Exemplo A

 

 



 

    

VI) Matriz Identidade ou Unidade

 (^) ij  mxn

ij

Uma matriz quadrada A é dita

1, se i = j

identidade se e somente se a

0, se i j



 

 

1 0 0

: 0 1 0

0 0 1

Exemplo A

 

 



 

 

 

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

 Oposta de uma Matriz

Exemplo :















 



2 0

1 3

A

 

 

 

 



  



1 3

A

2 0

 Transposta de uma Matriz























3 1 5

2 0 1

A

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2 3

A 0 1

1 5

Exemplo :

IX) Matriz Simétrica

t

A  A

2 1 3

: 1 5 4

3 4 7

Exemplo A

 

 



 

    

23 32

13 31

12 21

:

a a

a a

a a

OBS







IX) Matriz Anti-Simétrica

t

A  A

0 1 3

: 1 0 4

3 4 0

Exemplo A

 

 

  

 

    

12 21

13 31

23 32

11 22 33

:

0

OBS

a a

a a

a a

a a a







  

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

 Igualdade entre Matrizes

Duas matrizes são iguais quando elas tiverem o mesmo "tipo" e apresentar todos os

elementos correspondentes iguais.

Exemplo: Calcule x, y e z de modo que se tenha













 















2 8

4 1

x y z

x x y

2

x

2 = 4 x = ± 2

x = 2

x = 2

x – y = 1 y = 1

x = 2

y + z = 8 z =^7

y = 1

 Adição e Subtração de Matrizes

Para somar ou subtrair matrizes de mesmo tipo, basta somar ou subtrair os elementos

correspondentes.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Exemplo: Sendo (^) ,obtenha A-B 2C.

0 1

1 2

e C

4 1

• 1 1

, B

1 3

2 0

A  















 















 

































 















 















0 1

1 2

2

4 1

• 1 1

1 3

2 0

   

     

   

3 -1 2 4

-3 2 0 2



















• 3 4

5 3

Exemplo: Dadas as matrizes: 















 

















0 2

2 4

e B

2 2

0 2

A

Obtenha a matriz X tal que 2 X⋅X

t

• 2 A = B⋅X

2 ⋅X X

t = B – 2A

(B 2 A)

2

1

X

t

  

   

      

   

t

1 2 0 1 0

X

2 -4 -2 -2 -

 

  

 

1 -

Resposta : X

0 -

Solução:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Exemplo: Obter o produto das matrizes em cada caso abaixo.





















 











1

3

1

0

1

2

2 1 2

1 1 0

a)

2 x 2

5 7

3 4



























 











• 1 0

1 1

3 2

2 - 1

b)

2 x 2

1 3

3 2















Exemplo : Qualificar como V (verdadeiro) ou F (falso).

a) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B, então existe o produto de B

por A.

b) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B e existe o produto de B por

A, então AB = BA.

c) ( ) Existe o produto da matriz A pela transposta de A.

d) ( ) Se o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz nula, então A ou B é

nula.

d) resolução 















 































0 0

0 0

• 1 - 1

1 1

1 1

1 1

F

F

V

F

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Exemplo: Dadas as matrizes 











 













• 1

2

e

1 - 1

2 0

A B

obtenha a matriz X tal que A.X = B.

=

A 2 x 2

⋅X X 2 x 1

2 x 1

B 2 x 1

=

Solução:















b

a

seja X













 











 











• 1

2

b

a

1 - 1

2 0

2.a + 0.b = 2 → a = 1

1.a – b = – 1 → b = 2















2

1

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